江苏省镇江市届高三上学期期中考试数学Word版含答案Word下载.docx

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16.（本小题满分14分）

已知k∈R，函数f（x）＝x2＋（1－k）x＋2－k.

（1）解关于x的不等式f（x）＜2；

（2）对任意x∈（－1，2），f（x）≥1恒成立，求实数k的取值范围．

17.（本小题满分14分）

（文）如图，已知点A（1，1），B（－1，1），过点A作直线l，使得直线l与y轴正半轴交于点C，与射线BO交于点D.

（1）若直线l的斜率为－3，

①求·

的值；

②若＝λ＋μ，求实数λ－μ的值；

（2）求△OCD面积的最小值及此时直线l的方程．

（理）已知函数f（x）＝logax＋log4x（a＞0，且a≠1）在（0，＋∞）上为增函数．

（1）求实数a的取值范围；

（2）当a＝4时，是否存在正实数m，n（m＜n），使得函数f（x）的定义域为[m，n]，值域为？

如果存在，求出所有的m，n；

如果不存在，请说明理由．

18.（本小题满分16分）

如图，郊外有一边长为200m的菱形池塘ABCD，塘边AB与AD的夹角为60°

.拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植区域．记∠ABE＝θ，荷花种植区域的面积为Sm2.

（1）求S关于θ的函数关系式；

（2）求S的最小值．

19.（本小题满分16分）

（文）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n，n∈N*，记bn＝an＋3.

（1）求证：

数列{bn}为等比数列；

（2）设数列{b}的前n项和为Tn，求证：

为定值；

（3）判断数列{2n－an}中是否存在三项成等差数列，并说明你的结论．

（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；

（2）若对任意的a∈[－1，1]，不等式f（x）＜m在x∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围；

（3）若f（x）在x＝x0处取得极小值，且x0∈（0，3），求实数a的取值范围．

20.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝ex，g（x）＝mx2，m∈R，e为自然对数的底数．

（1）如果函数h（x）＝f（x）－g（x）在（0，＋∞）上单调递增，求m的取值范围；

（2）若直线y＝kx＋1是函数y＝f（x）图象的一条切线，求实数k的值；

（3）设x1，x2∈R，且x1＜x2，求证：

＞.

数学附加题

（满分40分，考试时间30分钟）

21.（本小题满分10分）

求曲线y＝ln（x2－2x）在x＝3处的切线方程．

22.（本小题满分10分）

已知n为自然数，当n≥4时，用数学归纳法证明：

2n＞.

23.（本小题满分10分）

已知m，n是正整数，f（x）＝（1＋x）m＋（1＋2x）n.

（1）当m＝2018，n＝2019时，试求f（x）展开式中x的偶次幂项的系数之和；

（2）若f（x）的展开式中x的系数为11，试求x2的系数取最小值时n的值．

24.（本小题满分10分）

高三年级成立语文、数学、英语兴趣小组，学生是否参加哪个兴趣小组互不影响．已知某同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，至少参加一个兴趣小组的概率为0.88.若该学生参加的兴趣小组数为a，没有参加的兴趣小组数为b，记ξ＝2a－b.

（1）求该同学参加数学兴趣小组的概率；

（2）求ξ的分布列和数学期望．

2018秋高三期中考试试卷

（一）（镇江）

数学参考答案及评分标准

1.{2}　2.∃x＞0，x2＜0　3.2　4.（－∞，1）∪（3，＋∞）　5.（文）2　（理）

6.（文）4x－3y＋2＝0　（理）　7.（文）[12，＋∞）　（理）e　8.（文）　（理）[12，＋∞）

9.（文）－　（理）　10.－　11.　12.（0，）∪（100，＋∞）　13.　14.m＜－3

15.解：

（1）在△ABC中，因为＝，由＝得（1分）

＝，（2分）

所以cosC＝.（4分）

又C∈（0，π），（5分）

所以C＝.（6分）

（2）因为C＝，B∈（0，），B－∈（－，），则cos（B－）＞0.（8分）

又sin（B－）＝，则cos（B－）＝＝＝.（10分）

又A＋B＝，即A＝－B，

所以cosA＝cos（－B）＝cos（12分）

＝cos·

cos（B－）＋sin·

sin（B－）＝×

＋×

＝.（14分）

16.解：

（1）由f（x）＜2得不等式可变形为（x－k）（x＋1）＜0，（1分）

①若k＝－1，则（x＋1）2＜0，解集为∅；

（3分）

②若k＞－1，解集为（－1，k）；

（5分）

③若k＜－1，解集为（k，－1）．（7分）

（2）由对任意x∈（－1，2），f（x）≥1恒成立，即x2＋（1－k）x＋1－k≥0恒成立，

即x2＋x＋1≥k（x＋1），对任意x∈（－1，2）恒成立，（8分）

k≤＝（x＋1）＋－1.（10分）

因为（x＋1）＋－1≥2－1＝2－1＝1.（12分）

当x＋1＝，即x＝0∈（－1，2）时，（13分）

＝1，故实数k的取值范围是（－∞，1]．（14分）

17.（文）解：

（1）因为直线l过A（1，1），且斜率为－3，

所以直线l：

y－1＝－3（x－1），即y＝－3x＋4.（1分）

令x＝0得C（0，4）；

令y＝－x得D（2，－2）．（2分）

①因为＝（1，1），＝（1，3），所以·

＝1×

1＋1×

3＝4.（4分）

②因为＝λ＋μ，则（2，2）＝λ（1，1）＋μ（0，4），（5分）

即2＝λ，－2＝λ＋4μ，则λ＝2，μ＝－1，（6分）

所以λ－μ＝3.（7分）

（2）由图中两直线相交位置可得，直线l的斜率k存在，且k＜－1，（8分）

设直线l：

y－1＝k（x－1）．

令x＝0得C（0，1－k）；

令y＝－x得D（，）．（9分）

则S△OCD＝OC·

|xD|＝·

（10分）

＝≥＝4，（13分）

当且仅当－k－1＝，即k＝－3∈（－∞，－1）时，（S△OCD）min＝4.

此时直线l：

y＝－3x＋4.（14分）

（理）解：

（1）（解法1）因为f（x）在（0，＋∞）上为增函数，

则f′（x）＝＋＝（＋）≥0在（0，＋∞）上恒成立．（2分）

则＋≥0，≤0，解得a＞1或0＜a≤.（4分）

又当a＝时，f（x）＝0为常数函数，不合题意．（5分）

所以a＞1或0＜a＜.（6分）

（解法2）因为f（x）＝logax＋log4x＝＋log4x＝log4x（＋1），（2分）

又f（x）在（0，＋∞）上为增函数，则＋1＞0，即＞0，

所以log4a＜－1或log4a＞0，（4分）

即a＞1或0＜a＜.（6分）

（2）当a＝4时，f（x）＝2log4x在（0，＋∞）上为增函数．（7分）

因为函数f（x）在定义域为[m，n]，值域为，

则有f（m）＝2log4m＝，f（n）＝2log4n＝，

所以m，n为方程log2x＝在（0，＋∞）上的两个不等的实数解．（9分）

显然m＝2，n＝4符合方程．（11分）

令h（x）＝log2x－，由h′（x）＝－＝＝0，得x＝.（12分）

当x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，在（0，）上至多有一个零点；

当x∈（，＋∞）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，在（，＋∞）上至多有一个零点．

所以h（x）＝log2x－至多只有两个实数解．（13分）

故存在唯一正实数m＝2，n＝4符合题意．（14分）

18.解：

（1）在△ABE中，∠ABE＝θ，∠A＝，则∠AEB＝－θ.

由＝，得BE＝.（2分）

在△BCF中∠C＝，∠CBF＝－θ，则∠BCF＝＋θ.

同理可得，BF＝.（4分）

则S＝BE·

BF＝.（7分）

（2）设f（θ）＝cosθ·

sin（－θ）＝cosθ·

（sincosθ－cossinθ）

＝cos2θ＋sinθcosθ＝·

＋sin2θ＝＋sin（2θ＋）．（11分）

因为＋θ＜，所以θ∈（0，）．（12分）

则当θ＝时，f（θ）max＝，则Smin＝＝60000（2－）．（14分）

答：

（1）函数关系式为S＝；

（2）当θ＝时，面积S的最小值为60000（2－）m2.（16分）

19.（文）

（1）证明：

因为Sn＝2an－3n　①，当n＝1时，a1＝2a1－3，则a1＝3.

当n≥2时，有Sn－1＝2an－1－3（n－1）　②，

①－②得an＝2an－2an－1－3n＋3（n－1），即an＝2an－1＋3，（2分）

则an＋3＝2（an－1＋3），即bn＝2bn－1，又b1＝a1＋3＝6≠0，（3分）

所以数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列．（4分）

（2）证明：

由

（1）知bn＝6×

2n－1＝3×

2n，an＋3＝bn＝3×

2n，则有an＝3×

2n－3.

同时b＝9×

4n，即数列{b}是以3为首项，4为公比的等比数列，（5分）

得Tn＝＝12（4n－1）．（6分）

因为Sn＝2an－3n，所以S2n＝2a2n－6n＝6（4n－1）－6n，（8分）

则＝＝为定值．（10分）

（3）解：

令cn＝2n－an＝3－2n，若存在m＜p＜n，使得cm，cp，cn成等差数列，

则cp－cm＝cn－cp，2cp＝cm＋cn，即2·

2n＝2m＋2p　（*）．（12分）

等式两边同时除以2m得2n＋1－m＝1＋2p－m.

因为m＜p＜n，所以n＋1－m，p－m均为正整数，（14分）

故（*）式左边为偶数，而右边为奇数，所以（*）式不能成立．

故数列{2n－an}中不存在三项成等差数列．（16分）

（1）（解法1）因为函数f（x）为奇函数，则f（x）＝－f（－x）对一切实数恒成立，

即x3＋3ax2＋（3－6a）x＋12a＝－[（－x）3＋3a（－x）2＋（3－6a）（－x）＋12a]，

即6a（x2＋4）＝0对一切实数x恒成立，（2分）

所以a＝0.（3分）

（解法2）因为函数f（x）为奇函数，且函数的定义域为R，

所以f（0）＝0，得a＝0.（1分）

此时f（x）＝x3＋3x，f（－x）＝（－x）3＋3（－x）＝－x3－3x＝－f（x），

所以函数f（x）为奇函数，故a＝0.（3分）

（2）f（x）＝x3＋3ax2＋（3－6a）x＋12a＝a（3x2－6x＋12）＋x3＋3x.

设函数g（a）＝（3x2－6x＋12）a＋x3＋3x，

因为3x2－6x＋12＝3（x－1）2＋9＞0，所以函数g（a）在[－1，1]上单调递增．

令h（x）＝g（a）max＝g

（1）＝x3＋3x2－3x＋12，（5分）

由h′（x）＝3x2＋6x－3＝3[x＋（1＋）][x－（－1）]，令h′（x）＝0得x＝－1.

当x∈（－1，－1）时，h′（x）＜0，函数h（x）为减函数；

当x∈（－1，1）时，h′（x）＞0，函数g（x）为增函数．（7分）

而h

（1）＝13，h（－1）＝17，所以h（x）max＝17，则m＞17.（8分）

（3）因为f（x）在x＝x0∈（0，3）处取得极小值　（*），

则令f′（x）＝3[x2＋2ax＋（1－2a）]＝0，令s（x）＝x2＋2ax＋（1－2a）　①.

则方程①有两个不相等的实根x1，x2，不妨设x1＜x2，

所以Δ＝4a2－4（1－2a）＞0，解得a＞－1＋或a＜－1－　②.（9分）

设s（x）＝（x－x1）（x－x2），则f′（x）＝3（x－x1）（x－x2）．

当x∈（－∞，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；

当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

当x∈（x2，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

所以f（x）的极小值在较大根x2处取得，令x2＝x0∈（0，3）．（10分）

（解法1）1°

当x1＜0，x0∈（0，3）时，

因为x1＜0＜x0＜3，则s（0）＝x1x0＝1－2a＜0，s（3）＝（3－x1）（3－x0）＝10＋4a＞0，

解得a＞.（11分）

反之，当a＞时，Δ＝4a2－4（1－2a）＞0，方程①有两个实根x1，x0；

且满足s（0）＝1－2a＜0，s（3）＝10＋4a＞0，则方程在区间（0，3）上必有一根x0；

又s（0）＝x1x0＝1－2a＜0，而x0＞0，所以x1＜0.

所以满足条件（*）．此时a＞　③.（12分）

2°

当x1，x0∈（0，3）时，s（x）的对称轴为x＝－a＝∈（0，3）　④，

s（x）在（0，－a）上为减函数，在（－a，3）上为增函数．

因为0＜x1＜－a＜x0＜3，所以s（0）＝1－2a＞s（x1）＝0，s（3）＝10＋4a＞s（x0）＝0.

结合②④，解得－＜a＜－1－.（13分）

反之，当－＜a＜－1－时，Δ＞0，方程①必有两不相等的根x1，x0.

又1＋＜－a＜，所以对称轴x＝－a∈（0，3），而函数s（x）min＝s（－a）＜0，

因为s（x）在（0，－a）上为减函数，且s（0）＝1－2a＞0，则s（x）在（0，－a）上必有一根x1；

s（x）在（－a，3）上为增函数，且s（3）＝10＋4a＞0，则s（x）在（－a，3）上必有一根x0，

显然x1＜x0.所以满足条件（*）．此时－＜a＜－1－　⑤.（14分）

3°

当方程有一根分别为0时，此时s（x）的两根分别为－1，0，不合题意．（15分）

综上，由③⑤得－＜a＜－1－或a＞.（16分）

（解法2）此时方程s（x）＝0有两个实根x1，x0，x1＜x0，

则x1＝－a－＜x0＝－a＋，（12分）

则0＜－a＋＜3，即a＜＜3＋a　⑥.

1°

当a＞－1＋时，⑥平方得a2＜a2＋2a－1＜（3＋a）2，解得a＞.（13分）

当a＜－1－时，a＜恒成立．

由＜3＋a，平方解得－＜a＜－1－.（15分）

综上，由1°

，2°

可得a＞或－＜a＜－1－.（16分）

20.

（1）解：

因为h（x）＝f（x）－g（x）＝ex－mx2在（0，＋∞）上为增函数，

则h′（x）＝ex－2mx≥0在（0，＋∞）上恒成立，即2m≤恒成立．（2分）

设函数k（x）＝，x∈（0，＋∞），则k′（x）＝＝0，得x＝1.

x

（0，1）

1

（1，＋∞）

k′（x）

—

＋

k（x）

所以k（x）min＝k

（1）＝e，所以m≤.（4分）

（2）解：

设切点为（x0，ex0）．因为f′（x）＝ex，所以ex0＝k，ex0＝kx0＋1，（6分）

所以ex0（x0－1）＋1＝0.令l（x）＝ex（x－1）＋1，l′（x）＝ex·

x＝0，得x＝0.

（－∞，0）

（0，＋∞）

l′（x）

l（x）

所以l（x）min＝l（0）＝0，所以x0＝0，所以k＝1.（8分）

（3）证明：

因为f（x）＝ex在（－∞，＋∞）上单调递增，且x2－x1＞0，ex2－ex1＞0，（9分）

所以＞⇔＞⇔＞

⇔（x2－x1）＞⇔（x2－x1）＞1－　（*）．（12分）

令x2－x1＝t＞0，F（t）＝＋－1，F′（t）＝－＝.（14分）

因为t＞0，所以F′（t）＞0，所以F（t）在（0，＋∞）上单调递增，

所以F（t）＞F（0）＝0，（*）式成立，则＞.（16分）

数学附加题参考答案及评分标准

21.解：

y′＝（x2－2x）′＝，（4分）

则切线在x＝3处的斜率k＝＝.（6分）

当x＝3时，y＝ln3，（8分）

则切线方程为y－ln3＝（x－3），即4x－3y－12＋3ln3＝0.（10分）

22.证明：

①当n＝4时，24＝16＞＝15，则结论成立．（2分）

②假设当n＝k（k≥4）时，满足2k＞，（4分）

则当n＝k＋1时，2k＋1＝2×

2k＞2×

＝.（6分）

因为k≥4，

则－＝＞0，

所以＞.（8分）

即当n＝k＋1时，有2n＞成立．（9分）

综合①②，当n≥4，n∈N时，有2n＞.（10分）

23.解：

（1）记f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2019x2019.

令x＝－1，得f（－1）＝a0＋a1（－1）＋a2（－1）2＋…＋a2019（－1）2019＝－1，

即a0－a1＋a2－a3＋…＋a2018－a2019＝－1　①.（2分）

令x＝1，得f

（1）＝a0＋a1＋a2＋…＋a2019＝22018＋32019，

即a0＋a1＋a2＋…＋a2019＝22018＋32019　②.（4分）

由①＋②得2（a0＋a2＋…＋a2018）＝－1＋22018＋32019，

则a0＋a2＋…＋a2018＝（22018＋32019－1）．（6分）

（2）根据题意得C＋2C＝11，则m＋2n＝11，（7分）

则x2的系数为C＋22C＝＋2n（n－1）（8分）

＝＋（11－m）（－1）＝（m－）2＋.（9分）

因为m∈N*，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.（10分）

24.解：

（1）设该同学参加了语文、数学、英语兴趣小组的事件分别为A，B，C，

对应的概率分别为P（A）＝x，P（B）＝y，P（C）＝z.（1分）

因为该同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，

则P（AB　C）＝P（A）P（B）P（C）＝x（1－y）（1－z）＝0.08　①；

（2分）

因为该同学只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，

则P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）＝xy（1－z）＝0.12　②；

因为该同学至少参加一个兴趣小组的概率是0.88，

则P（A＋B＋C）＝1－P（A　B　C）＝1－P（A）P（B）P（C）

＝1－（1－x）（1－y）（1－z）＝0.88　③.（4分）

由①②③，解得x＝0.4，y＝0.6，z＝0.5.

该同学参加数学兴趣小组的概率为0.6.（5分）

（2）依题意知ξ的所有可能取值为－3，0，3，6，（6分）

P（ξ＝－3）＝（1－x）（1－y）（1－z）＝0.12，

P（ξ＝0）＝x（1－y）（1－z）＋（1－x）y（1－z）＋（1－x）（1－y）z＝0.38，

P（ξ＝3）＝xy（1－z）＋x（1－y）z＋（1－x）yz＝0.38，

P（ξ＝6）＝xyz＝0.12.（8分）

ξ的分布列为

ξ

－3

3

6

P

0.12

0.38

（9分）

数学期望E（ξ）＝－3×

0.12＋0×

0.38＋3×

0.38＋6×

0.12＝1.5.（10分）