高考数学复习圆锥曲线方程专题教案Word文件下载.docx

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例1．设F1、F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离。

错解

（1）双曲线的实轴长为8，由，即

∴

错解

（2）由双曲线第一定义：

，∴

∴或17

解析：

错解

（1）对双曲线第一定义掌握不够，属于概念性错误；

错解

（2）若，则由

＜

这与“三角形两边之和大于第三边”矛盾。

故正确答案为。

例2、已知双曲线（1，1）能否作一条直线A，B两点，且P为线段AB的中点？

错解：

设能作直线满足条件，设（），B（）

则

—化为

（1，1）

（）即

用“点差法”得出的结论必须加以验证。

正解：

把直线代入双曲线方程为

即直线与双曲线无公共点,不存在直线满足条件。

例3、求离心率为（4，0），相应的准线方程为的椭圆方程。

由条件知

故所求的轨迹方程为

错解的原因是按椭圆的中心在原点得出结论，造成遗漏题设条件，从而导致错误的结果。

设椭圆上任意一点P（），由椭圆的焦点F（4，0），相应的准线方程为，且

【经典题例】

例1、设双曲线与（a＞0，b＞0）的离心率分别为e1、e2，则当a、b变化时，的最小值是（）（A）2（B）4（C）4（D）

[思路分析]由题意知：

e1=,e2=,∴===≥4

当且仅当a=b时等号取得，则（）min=4

[简要评述]本题难点之一是分别求出两双曲线的离心率的表达式。

如果不理解离心率的实质，盲目套用“e=”必将导致错误。

双曲线的离心率=，将目标函数转化为只有一个自变量的函数是解决这类问题的常用方法。

例2、已知双曲线－y2=1，M为其右支上一动点，F为其右焦点，点A（3，1），则的最小值为。

[思路分析]∵（F1为双曲线的左焦点）

∴∴=

∴当M、F、A三点共线时，最小为

[简要评述]本题巧妙地运用双曲线的第一定义，没有=-2a这一步的转化，则解题很可能陷入僵局。

例3、已知

　　　　　　　　的两个焦点，P是椭圆上一点，且

，请将题目中所空缺的一个可能条件填入_________处.

[思路分析]此题所空缺条件一般是应满足什么条件.首先确定焦点所在的坐标轴.假设焦点在轴上,

由题意有则

从而

与题设矛盾,知椭圆的焦点在轴上.

于是

有,亦即综上应有.

答案可以是满足的任一开放条件.

[简要评述]焦点三角形的面积问题是解析几何中一种常见问题,改变一下问题的结构形式,将其设计成一个条件开放性问题,思考与训练的价值是相当大的.本题的难点之一是确定焦点所在位置,考查了分类讨论的思想.

例4、已知一条曲线上的每个点到A（0,2）的距离减去它到x轴的距离差都是2.

（1）求曲线的方程;

（2）讨论直线A（x－4）+B（y－2）=0（A，B∈R）与曲线的交点个数.

[思路分析]

（1）设点M（x,y）是曲线上任意一点,则－|y|=2，

整理=|y|+2，所求曲线的方程.C1：

当y≥0时，x2=8y；

C2：

当y<

0时，x=0.

（2）直线A（x－4）+B（y－2）=0过定点（4,2）且A、B不同时为零，

（数形结合）当B=0时，A≠0，直线x=4与曲线有1个的交点；

当B≠0时，令k=－，则y=k（x－4）+2，与x2=8y联列：

x2－8kx+32k－16=0

当∆=0时，k=1，即A=－B时，直线与C1和C2各一个交点；

当k>

1时，<

－1时，直线与C1两个交点，和C2一个交点；

当<

k<

1时，－1<

<

－时，直线与C1两个交点，和C2一个交点；

当k≤时，≥－时，直线与C1有两个交点.

∴直线与曲线有1个的交点,当B=0时，A≠0；

直线与曲线有2个的交点,A=－B和≥－；

直线与曲线有3个的交点,－1<

－和<

－1.

[简要评述]轨迹问题是高考考查的热点，本题主要考查用定义法求轨迹方程，还考查了数形结合的思想、方程思想和分类讨论的数学思想。

例5、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

（I）求椭圆的方程及离心率；

（II）若求直线PQ的方程；

[思路分析]（I）：

由题意，可设椭圆的方程为（a＞）

由已知得

解得所以椭圆的方程为，离心率

（II）由（I）可得设直线PQ的方程为由方程组

得

依题意得

设则

①

②

由直线PQ的方程得

③

④

由①②③④得从而所以直线PQ的方程为或

[简要评述]利用向量引进条件，体现了新课程、新教材的要求，新内容与传统内容的联系，这是高考新课程卷的创新题型和发展趋势。

平面向量的知识与解析几何的知识得到了很好的结合，是一个典型的考查综合能力的试题。

例6．如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）（m>

0）作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。

（Ⅰ）设点P分有向线段所成的比为λ，证明

（Ⅱ）设直线AB的方程是x－2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

（Ⅰ）依题意,可设直线AB的方程为

代入抛物线方程得

设A、B两点的坐标分别是（x1,y1）、（x2,y2）,

则x1、x2是方程①的两根。

所以

由点P（0，m）分有向线段所成的比为，

得，即

又点Q是点P关于原点的以称点，

故点Q的坐标是（0，--m）,从而

=

=0，所以

（Ⅱ）由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（--4，4）。

由得，所以抛物线在点A处切线的斜率为。

设圆C的方程是，

则

解之得

所以圆C的方程是

，

[简要评述]函数处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线斜率，这就为解决解析几何中的曲线的切线问题提供了有利的工具。

例7如图,已知的面积为S,且

（1）、若，求向量与的夹角的范围；

（2）、设

，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，求Q的纵坐标；

（3）、在

（2）的条件下，当取得最小值时，求此椭圆的方程。

　　　　　　　　　　　Ｑ　　　

[思路分析]

（1）由已知得：

则

（2）以O为原点，所在直线为轴建立坐标系，

设椭圆方程为设Q点的坐标为

（3）又由

得

[简要评述]平面向量已成为中学数学解决问题的一种必备工具，它已经从高考后台走向前台，因此平面向量很容易成为中学数学的一个交汇点，与曲线、数列、三角等综合命题，考查逻辑推理与运算能力，为多角度展开解题提供了广阔的空间。

例８、已知椭圆

，椭圆上有不同的三点A，B，Ｃ且

成等差数列，

（1）求弦AC的中点M的横坐标；

（2）设弦AC的垂直平分线的方程为

（1）由题意可得，

，由焦半径公式，

得

由此有故弦AC的中点的横坐标

（2）将代入，故点M的坐标为（），则，又

由

即

[简要评述]此题的难点在“如何建立参数m的不等关系”利用程序二求出弦AC的中点M的坐标（坐标中含参数m），由点M必在椭圆内，得关于m的不等关系。

这是解决二次曲线弦中点问题的通法，大家要认真领会，熟练掌握。

试卷

1、抛物线顶点是坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是（B）

（A）（B）（C）（D）

2、直线

（A）

（A）[1，5）∪（5，+∞）（B）（0，5）（C）（D）（1，5）

3、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（　Ｄ）

（A）（B）（C）（D）

4、若双曲线的一条准线与抛物线y2=8x的准线重合，则双曲线的离心率为（A）

（A）（B）（C）4（D）4

5、过定点P（0,2）作直线l，使l与曲线y2=4（x-1）有且仅有1个公共点，这样的直线l共有（Ｃ）

（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条

6.已知F1、F2为双曲线=1（a＞0,b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线，它与双曲线的一个交点为P，且∠PF1F2=30°

，则双曲线的渐近线方程为（　D　　）

（A）y=±

x（B）y=±

x（C）y=±

x（D）y=±

x

7、已知A、B、C三点在曲线

的面积最大时，m的值为（Ｃ）

（A）（B）（C）（D）

8、在椭圆

为直角三角形，则这

样的点P有（Ｄ）

（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个

9、已知双曲线

的离心率互为倒数，那

么以为边长的三角形是（Ｂ）

（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）锐或钝角三角形

10、设点P为双曲线右支上除顶点外的任意一点，为其两焦点，则在（A）

（A）直线上（B）直线上（C）直线上（D）直线上

二．填空题

11、已知椭圆

____________

12、双曲线_____４________

13．对任意实数K，直线：

与椭圆：

恰有一个公共点，则b取值范围是__b＝１或３_____________

14、设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1、2、3、…），，，，…组成公差为d的等差数列，则实数d的取值范围是

三、解答题

15、已知椭圆C的焦点分别为F1（-2,0）和F2（2,0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。

.解设椭圆C的方程为+=1，由题意知a=3,c=2，于是b=1。

∴椭圆C的方程为+y2=1。

由

得10x2+36x+27=0

因为该二次方程的判别式△>

0，所以直线与椭圆有两个不同交点。

设A（x1,y1）,B（x2,y2）

则x1+x2=-,故线段AB的中点坐标为（-,）。

16、如图，线段AB过x轴正半轴上一定点M（m,0），端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，求该抛物线的方程。

y

A

Mx

O

B

解设所求抛物线方程为y2=2px（p>

0）。

若AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为：

y=k（x-m）（k≠0），②

由①，②消去x，得y2-y-2pm=0③

设A、B的坐标分别为A（,a）,B（,b）。

则a,b是方程③的两个根。

∴ab=-2pm，

又|a|·

|b|=2m，即ab=-2m，∴由-2pm=-2m（m>

0）得p=1,则所求抛物线方程为y2=2x。

若AB垂直于x轴，直线AB的方程为x=m,A、B两点关于x轴对称，

故=2pm,2m=2pm,又m≠0，∴p=1，

则所求抛物线方程为y2=2x。

综上，所求抛物线方程为y2=2x。

17、．直线：

与双曲线C：

的右支交于不同的两点A、B。

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？

若存在，求出的值。

若不存在，说明理由。

解：

（Ⅰ）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理得。

…………①

依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，则

。

解得的取值范围为。

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①得

………………②

假设存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FA⊥FB得

既

整理得

……………………③

把②式及代入③式化简得。

解得或（舍去）。

可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。

18、如图，P为双曲线（a、b为正常数）上任一点，过P点作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点．若．

y

　　A

OP

x

B

（1）求证：

A、B两点的横坐标之积为常数；

（2）求△AOB的面积（其中O为原点）．

（1）设A（，）、B（，）、P（，）．因为，所以，．又，．所以．从而．又因为P点在双曲线上．所以，

为常数．

（2）又∠，则，

19、设、y∈R，i、j为直角坐标平面内、轴正方向上的单位向量，向量a＝xi＋（y＋2）j，b＝xi＋（y－2）j，且|a|＋|b|＝8．

（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；

（2）过点（0，3）作直线与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形OAPB是矩形？

若存在，求出直线的方程；

若不存在，试说明理由．

（1）解：

∵a＝xi＋（y＋2）j，b＝xi＋（y－2）j，且|a|＋|b|＝8

∴点M（x，y）到两个定点F1（0，－2），F2（0，2）的距离之和为8

∴轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，方程为

（2）解：

过轴上的点（0，3），若直线是轴，则A、B两点是椭圆的顶点

∴0，∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．

∴直线的斜率存在，设方程为y＝kx＋3，A（x1，y1），B（x2，y2）

得：

此时，

恒成立，

且

∵，∴四边形OAPB是平行四边

　若存在直线，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即0

∴

即

　⇒　

解得：

　∴存在直线l：

，使得四边形OAPB是矩形．

20、在△ABC中，A点的坐标为（0，3），BC边的长为2，且BC在x轴上的区间［－3，3］上滑动.

（1）求△ABC的外心P的轨迹方程；

（2）设一直线l：

y=x+b与P的轨迹交于E、F点，原点O到直线l的距离为d，求的最大值，并求此时b的值.

（1）设B，C的坐标分别为B（t,0）,C（t－2,0）（－1≤t≤3）,

则线段BC的中垂线方程为x=t－1,①

AB中点（,）,AB斜率为（t≠0）,所以线段AB的中垂线方程为y－=（x－）②

由①②得：

x2=6y－8（－2≤x≤2且x≠－1）③

当x=－1时，t=0时，三角形外心P为（－1,）,适合③；

所以P点的轨迹为x2=6y－8（－2≤x≤2）

（2）由

得x2－2x－6b+8=0（－2≤x≤2）④

x1x2=8－6b,x1+x2=2所以｜EF｜==

又因为d=,所以

==

因方程④有两个不相同的实数根，设f（x）=x2－2x－6b+8

∴＜b≤,≤＜.

当=时，（）max=.

所以的最大值是,此时b=.