高考数学二级结论版整理doc.docx
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高考数学二级结论版整理doc
第一篇考前必看公式与结论
专题02活用二级结论
结论一奇函数的最值性质
已知函数f（x）是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x€D,都有f（x）+f（-x）=O.特别地,若奇函数f（x）
在D上有最值,则f（x）ma+f（x）min=0,且若0€D,则f（0）=0.
例1已知函数fx和gx均为奇函数，hxafxbgx2在区间0,上有最大值5,那么
hx在,0上的最小值为
A.-5B.—3C.-1D.5
【答案】C
【解析】令因为为奇屋I数'；兀丘（0「初）时，A（x）^5
F（x）=/i（x）-2<3f戈兀ei—込0）吋,-meiQ+cc）?
F（-x）<3=>-3<
二应（兀）耳一3十2=一1,故选U
【变式训练】
1.已知函数
x2sinx2017
2
x22017
2017
则f
i0
i
2017
2.已知函数
2.
xcosxsinx
2~
xcosx1
]（x
R）的最大值为M,最小值为m,则M+m=
结论二函数周期性问题
已知定义在R上的函数f（x）,若对任意x€R,总存在非零常数T,使得f（x+T）=f（x）,则称f（x）是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外，还有一些常见的与周期函数有关的结论如下：
（1）如果f（x+a）=-f（x）（a丰0）,那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T=2a.
I1
（2）如果f（x+a）^——（a丰0）,那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T=2a.
（3）如果f（x+a）+f（x）=c（a丰0）,那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T=2a.
（4）如果f（x）=f（x+a）+f（x-a）（a丰0）,那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T=6a.
例2【山东省德州市2019届高三期末联考】已知定义在風的奇函数满足.df灯，当_，_时,fW=x2,则（）
A.'B.1C.0D.-1
【答案】D
【解析】［来源：
学§科§网］
根据题意，函数f（x）满足f（x+2）=-f（x）,则有f（x+4）=-f（x+2）=f（x）,即函数是周期为4的周期函数，
则f（2019）=f（-1+2020）=f（-1）,
又由函数为奇函数，则f（-1）=-f
（1）=-
（1）2=-1;
则f（2019）=-1;
故选：
D.
【变式训练】
1.【2018山西太原第五中学模拟】已知定义域为R的奇函数fx满足f3xfx0,且当
3
x,0时，fxlog22x7,则f2017
2
A.log25B.2C.2D.log25
2.已知函数『（对是周期为2的奇函数，且rt［-1.0］时，二彳，则f（弓）=.
结论三函数的对称性
已知函数f（x）是定义在R上的函数.
（1）若f（a+x）=f（b-x）恒成立，则y=f（x）的图象关于直线x=对称，特别地，若f（a+x）=f（a-x）恒成立,
则y=f（x）的图象关于直线x=a对称；
（2）若f（a+x）+f（b-x）=c,贝Uy=f（x）的图象关于点；了对称.特别地，若f（a+x）+f（a-x）=2b恒成立,
则y=f（x）的图象关于点（a,b）对称.
例3【2018四川省广元市统考】已知定义在R上的函数fx满足f（1x）f（1x）2,
3
gxx11，若函数fx图象与函数gx图象的交点为,y,X2,y2,L,X2°18,y2018，则
2018
xyi（）
i1
A.8072
B.6054
C.4036
D.2018
【答案】B
【解析】由题意知」函数朗（刃二（工-厅十1的團象也关于点（1.1）对称.
3013
苛—仙+x“i9）+（花+J^bqt）+…+（西《»+西恥）=100?
><2=2018?
另比=（"十旳01J十也十如门）十十〔〉1工；十如）0）二1°%2=2018
M1S
所叹十
xm十
2x2018=403$-SC.
沁
；-i
【变式训练】
1.【2018安徽省六安市第
•中学模拟】设函数
fx是定义在
R上的偶函数，且fx
x
当x2,0
时，fx
2
1，若在区间2,6内关于x的方程
fxloga
x20（a
0,a
1）有且只有
4个不同的根，则实数a的取值范围是（
A.丄,1
B.1,4
C.
1,D.
8,+
4
2.【2019年安徽省宿州市十二所重点中学】定义在
R上的偶函数
y=fM,其图像关于点
）
）
〔护〕对称，且当
[0J|时，畑=一工+土，则f（町二（
A.
C
D
[7
B.
结论四反函数的图象与性质
若函数y=f（x）是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f"（X）.特别地，y=a%与y=logax（a>0
且1）互为反函数，两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称，即（xo,f（xo））与（f（xo）,x0）分别在
函数y=f（x）与反函数y=f-1（x）的图象上.
例4【2019年上海市浦东新区】已知函数，的图像经过点，反函数的图像经过点.
（1）求丄一$；，「的解析式；
（2）求证:
T；J-.迸.』；•V是增函数.
【答案】
（1）/、：
—■「,-⑵见证明【解析】
由题意可得:
皑，
•-山护得
（2）——-：
-■'-：
任取x|Tx2e且砂<勺,
F（x^-F^x2）-（41-4】）-（4J42）
.•.聲*争（1+丄花0
X/IX-+X*
\412J
•是增函数•
21
【变式训练】【2018四川省成都市9校联考】已知函数fXX2ax（xe,e为自然对数的底数）
e
与gx
ex的图象上存在关于直线
y
x对称的点，则实数
a取值范围是
1
1
1
1
1
A.1,e
—
B.1,e
—
C.
e一，e
-D.
e一，e
e
e
e
e
e
结论五
两个经典不等式
（1）对数形式
X
ln（x+1）
wx（x>
-1）,
当且仅当
x=0时,等号成立.
⑵指数形式:
ex>x+1（x€R）,当且仅当x=0时,等号成立.
例5设函数f（x）=1-e-x.证明：
当x>-1时，f（x）》.•.
证明
x>-1时，f（x）
>e-x（x>-1）
1
>（x>-1）e
x+1wex（x>-1）.
当x>-1时,ex>x+1恒成立，所以当x>-1时，f（x）
【变式训练】「已知函数f（x）=—•.；『则y=f（x）的图象大致为（
与曲线
2.已知函数f（x）=ex,x€R.证明：
曲线y=f（x）
2、
y=x+x+1有唯一公共点
结论六三点共线的充要条件
设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数入与卩,使得
0P=入血+卩血,且入+卩=1.特别地，当P为线段AB的中点时，肋」如月.
例6【福建省厦门市2019届高三上期末】在平面四边形卩：
士；屈中，弟：
：
工面积是H面积的2倍，数列满足旳=3|,且币=他+1-閒宓+他-2）切，则也=（）
A.31B.33C.63D.65
【答案】B
【解析】
设交于点『和0A眈的高分另优饥忌.
\AACD的面积是山月匚面积的2倍…•九二2兀n|DE|=2|EJJ|,
=gpCE-CJ=2（CB-CE^.,
:
XE^-CB十丄丽,
RCA=—3）丽*（氏-2）丽・
由平面向量基本定理得
由几CE三点共纯iSS^ACE=pCB+¥而』
•••”讥1-了=2（馮-2）,即叫*I-11）|,
•••数列|：
：
飞■花是以卜为首项，以2为公比的等比数列,
所以«5=32+1=33.
【变式训练】
1.【2018河南省郑州市质量检测】如图，在VABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN
uuv
上且AP=m
2ULUV2UUV
—AB—BC，则实数m的值为（
1111
1
9
5
A.1
B.-
C.—
D.
2
11
11
2.【河北省唐山一中2019届高三上期中】如图，在△
ABC，；，过点M的直线分别交射线ABAC
于不同的两点P、Q若AP—n\ABrAQ—nAC，则eh+m的最小值为（）
A.2B.I®詞C.6D.
结论七三角形“四心”向量形式的充要条件
a,b,c,贝U
（1）0ABC的外心？
||=||=|制|=.
⑵OABC的重心?
++=0.
⑶OABC的垂心?
••=••=•.
（4）OABC的内心？
a+b+c=0.
例7【2019年吉林省辽源市田家炳高级中学】在厶
设OABC所在平面上一点，内角A,B,C所对的边分别为
ABC中，点M是BC的中点，AM=1，点P在AM上,
44
-1
A.-
B.——
C.弓
D.~
39
9
【答案】B
且满足AP=2PM，则乱3用-卜丸j等于（）
【解析】
"是DC的中点,知皿是巩边上的中线，又由点.F在AM上且;荷足卫P=2PM
・〔P是三角形血的重心
:
.PA・〔而+P?
）二芮•乔=-|wf
又・.・AM=i
|=;
:
.PA■血十反）二一|方「二--.
【变式训练】
1.【吉林省长春市实验中学2019届高三上学期期中】点M为财呦的重心，打甘二占甘心=，贝U
-.（）
A.B..C.D.
2.O是平面上一定点,A、BC是平面上不共线的三个点，动点P满足旳理卡竝+入打，入€[0,+s）,贝UP
2
的轨迹一定通过厶ABC的（）
动点P满足『二；=-
入€[0,+s）,
A.外心B.内心C.重心D.垂心
3.0是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点
则P的轨迹一定通过厶ABC的（）
A.外心B.内心C.重心D.垂心
4.【吉林省长春市实验中学2019届高三期末】乩1勺是平面上不共线的三点，•为；所在平面内一点，
”是川啲中点，动点卩满足前=扌（2-鮎）0初+（1+2刖此|口€/?
）,则点P的轨迹一定过斶C心（内心、
■J
外心、垂心或重心）.
结论八等差数列
设Sn为等差数列｛an｝的前n项和•
*
（1）an=ai+（n_1）d=am+（n_m）d,p+q=m+n?
ap+aq=am+an（m,n,p,q€N）.
（2）ap=q,aq=p（p丰q）?
ap+q=0.
⑶Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列
!
-片是关于n的一次函数或常函数，数列
也是等差数列
_ng+
』（叫+岛-i）
陀4+叫-Z）
\2
=2
2\
（5）Sn：
（6）若等差数列｛an｝的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项
之和S2n=m（am+am+1）,S偶-S<=md
（7）若等差数列｛an｝的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶,则所有项之和
S2m-1=（2m-1）amS奇=man,S偶=（m-1）am,S奇-S偶=am
（8）若Sr=n,S门=口（金n）,贝USm+n=-（m+n）.
（9）Sm+r=Srn+Si+mnd・
例8【广东省揭阳市2019届高三学业水平考试】已知数列｛%｝满足①=_£,%+严蓊彳〔朋旷｝，则数
列中最大项的值为・
【答案】
【解析】
11,
由％4】
~^+1
即数列是公差为8的等差数列，故
斗=0，
听+1%
1
=—+（rt-1）x8=-1
R口1
当时；当时,
>0，数列（叫;递减，故最大项的值为旳=-■
【变式训练】
1・等差数列an共有3m项，若前2m项的和为200,前3m项的和为225，则中间m项的和为（）
A.50B.75C.100D.125
2.【2018宁夏育才中学模拟】已知无穷等差数列an的公差d0，an的前n项和为Sn，若0，
则下列结论中正确的是（）
A.&是递增数列B.Sn是递减数列
C.S2n有最小值D.S2n有最大值
3.【四川省广元市2019届高三第一次高考适应】已知方程.Lm十：
:
厂的四个根组成一个
首项为耳的等差数列，则Im-nl=.
4
结论九等比数列
已知等比数列{an},公比为q,前n项和为Sn.
n-mmn*、
（1）an=am•q,an+m=anq=amq（m,n€N）.
*
（2）若m+n=p+q,贝Ham•an=ap•aq（m,n,p,q€N）;反之,不一定成立
*
（3）a1a2a3•••&m,am+am+2・・・a2m,a2m+Q2m+2・・a3円…成等比数列（m€N）.
（4）公比qM-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列（n€N）.
=q.
⑸若等比数列的项数为2n（n€N）,公比为q,奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶,则L
1
q
其图象是指数函数图象上一群孤立的点
⑺通项公式an=aiqn-1
•qn.从函数的角度来看，它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积，
fl]
{anbn},J—
弘.
MJ
⑹｛an｝,｛bn｝是等比数列,则｛入an｝.
也是等比数列（入工0,n€N）.xk-*/w
（8）与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相
反数.
x,xq;四个数成等比数列，通常设为
「,xq,xq
（9）三个数成等比数列，通常设为兰
例9【吉林省高中2019届高三上期末】在递增的等比数列〔叭｝中，叫=6，且耳（口牛-旳）=•
（1）求卜廟的通项公式；
（2）若bH=aH+2n-l，求数列仇｝的前乳项和斗.
【答案】
（1）%=2门”1
（2）=
【解析】
（1）设公1比为\-az）=a斗一£»得4（6q-6）=bq2-6,
化简得旷-4g+3=6解得q=$諏=1.
因为等比数列％展递增枫所以厂亦^=2,-
所臥窃=2x孙-X
（2）由
（1）得"1
所以^，
则「卷0色+碩乜7,
111-32
所以【变式训练】
8
1.【2018西藏拉萨一模】已知等比数列an的前n项积为Tn，若a124，-，则当「取得最
9
大值时，n的值为（）
A.2B.3C.4D.6
2.【广东省惠州市2019届高三第三次调研】已知公差为正数的等差数列•的前•项和为’，且’，
y兰，数列H的前.项和-严.「几1厂］
（1）求数列肚］与的通项公式；
（2）求数列的前项和沆］
结论十多面体的外接球和内切球
1.长方体的体对角线长d与共顶点的三条棱的长a,b,c之间的关系为d2=a2+b2+c2;若长方体外接球的半
径为R,则有（2R）2=a2+b2+c2.
2.棱长为a的正四面体内切球半径r=da,外接球半径R="a.
12的
例10【四川省泸州市2019届高三第一次诊断】已知三棱锥
正三角形且和球心在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为
-的所有顶点都在同一球面上，底面V：
是
1G心，则球D的表面积等于.
【答案】
【解析】
3沁.与球心悴在同一平面内，|曲巴|是」的外心,
设球半径为，
则的边长卜円：
爲脚
当列』肿C所在面的距离为球的半径胡寸，
5-ABCft积最大，
耳"=莎3"2尹彳启肘心二16岳
aff3=64,=4,
球表面fR^）4irl?
I=471X16=64ur故答素为
【变式训练】
1•《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥PABC为鳖臑，PA平
面ABC,PA3,AB4,AC5,三棱锥PABC的四个顶点都在球0的球面上，则球O的表面积为（）
A.17B.25C.34D.50
2.球O的球心为点O,球O内切于底面半径为.3、高为3的圆锥，三棱锥V-ABC内接于球O,已知OM
OBAC丄BC则三棱锥V-ABC的体积的最大值为.
结论十
焦点三角形的面积公式
a
+
（1）在椭圆
=1（a>b>0）中,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点，则厶PF1F2的面积
2
a卩F]F'2=b•tan‘,其中0=/F1P^.
⑵在双曲线
=1（a>0,b>0）中,F1,F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，则厶PF1F2的面积
“其中
Lun-
2
0=ZFiPF2.
例11已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴,
Fi、F2为焦点，点P在椭圆上，直线PFi与PF2倾斜
角的差为90，△FiPF2的面积是20,
离心率为
5，求椭圆的标准方程•
3
【解析】
F1PF2
，则90.
rpf2
b2tanb2tan45b2
2
20，
1bl
12
a
20~~2"a
解得：
a2
45
所求椭圆的标准方程为
45
2
y
20
2
1或-
45
2
X-1
20
【变式训练】
1.已知P是椭圆
x2
25
2
—1上的点,
9
F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若
PF1PF2
IPF1||PF2|
△F1PF2的面积为（
B.23
C.3
3
D.
3
2
x
2.双曲线—
9
2
y
16
1两焦点为F1，F2，点
P在双曲线上，直线PF1,PF2倾斜角之差为孑则
△F1PF2面积为（）
A.16.3B.32■3C.32D.42
结论十二圆锥曲线的切线问题
222
1.过圆C:
（x-a）+（y-b）=R上一点P（xo,yo）的切线方程为（xo-a）（x-a）+（yo-b）（y-b）=R
/b2!
心才yoy
2•过椭圆+=1上一点P（x0,y0）的切线方程为+=1.
a2fa2b2
3.已知点M（X0,y°）,抛物线C:
y=2px（p丰0）和直线l:
y°y=p（x+x0）.
（1）当点M在抛物线C上时,直线I与抛物线
C相切,其中M为切点,1为切线.
（2）当点M在抛物线C外时,直线I与抛物线
C相交，其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线，即
直线I为切点弦所在的直线.
（3）当点M在抛物线C内时,直线I与抛物线
C相离.
例12已知抛物线C:
x2=4y,直线I:
x-y-2=0,
设P为直线I上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点，当点P（X0,y。
）为直线I上的定点时，求直线AB的方程.
解析联立万程得・；一矍“
消去风整理得『-虹栢乂’
△二（-炉-彳兀匪-切。
故直线1与抛物线C相离.
由结论$比P在抛物缁卜故切点弦AB所在的直线方程为沖如巧込即产耳岀乎
【变式训练】
1.过点（3,1）
作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB的方程为（）
A.2x+y-3=0
B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0
D.4x+y-3=0
2.设椭圆C:
则椭圆C在点P处的切线方程为
结论十三圆锥曲线的中点弦问题
jf2y2
1.在椭圆E:
+=1（a>b>0）中:
a2//
（1）如图①所示,若直线y=kx（k丰0）与椭圆E交于A,B两点，过A,B两点作椭圆的切线1,1',有I//I',
b2
设其斜率为k0,则k0•k=-*
⑵如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点，若直线PA,PB的斜率存
在,且分别为k1,k2,则k1・k2=-
a
⑶如图③所示,若直线y=kx+m（k^0且详0）与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点，设直线PO的斜
率为k0,则k0-k=-.
2.在双曲线E:
=1（a>0,b>0）中，类比上述结论有：
b2
（1）k
0-k=.
1-k2=
ka2
（3）k
o-k=
2
1„2|
XE:
+
a2
=1（a>b>0）的右焦点为F（3,0）,
例13已知椭圆
过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中
点坐标为（1,-1）,
则椭圆E的方程为（）
x2
+
k
2
+
y
27
18
A.
=1
C.
=1
=1
36
27
+-
=1
9
B.
D.
解析
如團所肮iS-1）,贝惰Ju*咗二务
即-寻也•"守》7=梟卩a==2b:
J故冼D.
【变式训练】1.椭圆C
7]
的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2的斜率的取值范围
是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是
2•如图所示，在平面直角坐标系
xOy中，过坐标原点的直线交椭圆
k.对任意k>0,求证:
PA丄PB.
+=1于P，A两点，其中P在第一象限，过P
结论十四圆锥曲线中的一类定值问题
在圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，曲线上的一定点P（非顶点）与曲线上的两动点A，B满足直线PA与PB的斜率互为相反数（倾斜角互补），则直线AB的斜率为定值.
图示
条件
结论
L厂
A-
22
已知椭圆1+[=1（a>b>0）,定点P（xO,yO）（xOyO工0）在椭盘b
圆上，设A,B是椭圆上的两个动点，直线PA,PB的斜率
分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.
直
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