河北省中考数学压轴题汇总Word文档下载推荐.docx
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ADP
O
－1
N
M
BC
图15
2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=．
探究：
如图1，AH⊥BC于点H，则AH=，AC=，△ABC的面积S△ABC=；
拓展：
如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，
设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD=0）
（1）用含x，m，n的代数式表示S△ABD及S
△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现：
请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出
这个最小值．
2013/26．（本小题满分14分）
一透明的敞口正方体容器ABCD-A′B′C′装D有′一些液体，
棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α
（∠CBE=α，如图17-1所示）．
探究如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于
点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如
图17-2所示．解决问题：
（1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm；
（2）求液体的体积；
（参考算法：
直棱柱体积V液=底面积SBCQ×
高AB）
3
（3）求α的度数.（注：
sin49°
＝cos41°
＝，tan37°
＝
4
4）
拓展在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面
示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC=x，BQ=y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写
出相应的α的范围.
延伸在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到
图17-5，隔板高NM=1dm，BM=CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α=60°
时，通过计算，判断溢出容器的
液体能否达到4dm3.
2014/26（本小题满分13分）
某景区的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图16-1和16-2，现有1号，2号两游览车分别从出口
A和经典C同时出发，1号车顺时针，2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时乘车（上，下车的时间忽
略不计），两车的速度均为200米/分。
C（景点）
2号车
图16-1
K（甲）
BD
1号车1号车
图16-2
A（出口）
设行驶时间为t分
（1）当0≤t≤s时，分别写出1号车，2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米）与t（分）的函数关系
式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；
（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过点C？
，并直接写出这一段时间内它与2号车
相遇过的次数。
发现如图16-2，游客甲在BC上一点K（不与点B，C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米。
情况一：
若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；
情况二：
若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车；
比较哪种情况用时较多？
（含候车时间）
决策已知游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50米/分，当行进到DA上一点P（不与D,A重合）
时，刚好与2号车相遇。
（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由；
（2）设PA=s（0<
s<
800）米，若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方
式中，他该如何选择？
2015/26.（本小题满分14分）
平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图15－1摆放，分别
延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=6°
0，OQ=OD=，3OP=2，OA=AB=1，
让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起
绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为a（0a60）.
（1）当a0，即初始位置时，点P直线AB上.
（填“在”或“不在”）
图15－1
求当a是多少时，OQ经过点B？
（2）在OQ旋转过程中，简要说明a是多少时，点P，A间的距离最小？
并指出这个最小值；
（3）如图15－2，当点P恰好落在BC边上时，求a及
S.
阴影
图15－2图15－3
如图15－3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x>
0），用含x的
代数式表示BN的长，并求x的取值范围.
当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sina的值.
备用图
2016/26.（本小题满分12分）
1xtxt如图12.抛物线L：
（）（4）
y（常数t>
0）与x轴从左到右的交点为B.A.过线段OA
的中点M作MP⊥x轴.交双曲线
⑴求k值；
k
y（k>
0.x>
0）于点P.且OA·
MP=12
⑵当t=1时.求AB长.并求直线MP与L对称轴之间的距离；
⑶把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G.用t表示图象G最高点的坐标；
⑷设L与双曲线有个交点的横坐标为
x.且满足4x06.通过L位置随t变化的过程.直．接．写出
t的取值范围
图12
2017/26．（12分）某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为
18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x
2（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x＝2n
﹣2kn＋9（k＋3）（k为常数），且得到了表中的数据．
月份n（月）12
成本y（万元/件）1112
需求量x（件/月）120100
（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
（2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m＋1）个月的利润相差很大，求m．
2018/26．（11.00分）（2018?
河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，
与y轴交于点B，与滑道y=（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度
v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：
M，A
的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及
y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位
于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v
乙的范围．
2019/26．（12分）如图，若b是正数，直线l：
y＝b与y轴交于点A；
直线a：
y＝x﹣b与y轴交于点B；
抛物线L：
y＝﹣x+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．
（1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）
与点D间的距离；
（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019
和b＝2019.5时“美点”的个数．
答案
2010/26．解：
（1）14057500；
（2）w内=x（y-20）-62500=
2＋130x62500，
w外=
1x2＋（150a）x．
（3）当x=
130
（
）
=6500时，w
内最大；
分
由题意得
4（）（62500）130
0（150）100
a，
11
4（）4（）
100100
解得a1=30，a2=270（不合题意，舍去）．所以a=30．
（4）当x=5000时，w内=337500，w外=5000a500000．
若w内＜w外，则a＜32.5；
若w
内=w外，则a=32.5；
若w内＞w外，则a＞32.5．
所以，当10≤a＜32.5时，选择在国外销售；
当a=32.5时，在国外和国内销售都一样；
当32.5＜a≤40时，选择在国内销售．
（2011?
河北）26、如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以
毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x
+bx+c经过点O和点P，已知矩
形ABCD的三个顶点
为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．
（1）求c，b（用含t的代数式表示）：
（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．
若不
变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，；
（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若
抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．
考点：
二次函数综合题。
分析：
（1）由抛物线y=x+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；
（2）①当x=1时，y=1﹣t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数，
②由S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即
可求得t的值；
（3）根据图形，即可直接求得答案．
解答：
解：
（1）把x=0，y=0代入y=x+bx+c，得c=0，
22
再把x=t，y=0代入y=x+bx，得t+bt=0，
∵t＞0，∴b=﹣t；
（2）①不变．
如图6，当x=1时，y=1﹣t，故M（1，1﹣t），
∵tan∠AMP=1，
∴∠AMP=4°
5；
②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM=（t﹣4）（4t﹣16）+[（4t﹣16）+（t﹣1）]×
﹣（t﹣1）（t﹣1）=t
﹣t+6．
解t
﹣t+6=，
得：
t1=，t2=，
∵4＜t＜5，
∴t1=舍去，
∴t=．
（3）＜t＜．
点评：
此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难
度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．
如图1，AH⊥BC于点H，则AH=12，AC=15，△ABC的面积S
△ABC=84；
如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，
垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S
△ABD=0）
请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出
过程），并写出这个最小值．
【考点】GB：
反比例函数综合题；
KQ：
勾股定理；
T7：
解直角三角形．
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【专题】16：
压轴题．
【分析】探究：
先在直角△ABH中，由AB=13，cos∠ABC=，可得AH=12，BH=5，则
CH=9，再解直角△ACH，即可求出AC的值，最后根据三角形的面积公式即可求出S
△ABC
的值；
（1）由三角形的面积公式即可求解；
（2）首先由
（1）可得m=，n=，再根据S△ABD+S
△CBD=S△ABC=84，即可求
出（m+n）与x的函数关系式，然后由点D在AC上（可与点A，C重合），可知x的最
小值为AC边上的高，最大值为BC的长；
（3）由于BC＞BA，所以当以B为圆心，以大于且小于13为半径画圆时，与AC有
两个交点，不符合题意，故根据点D的唯一性，分两种情况：
①当BD为△ABC的边
AC上的高时，D点符合题意；
②当AB＜BD≤BC时，D点符合题意；
由于AC＞BC＞AB，所以使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线
就是AC所在的直线．
【解答】解：
在直角△ABH中，∵∠AHB=9°
0，AB=13，cos∠ABC=，
∴BH=AB?
cos∠ABC=5，AH=12，∴CH=BC﹣BH=9．
在△ACH中，∵∠AHC=9°
0，AH=12，CH=9，∴AC=15，∴S
△ABC=BC?
AH=×
14×
12=84．
故答案为12，15，84；
拓展
（1）由三角形的面积公式，得S
△ABD=BD?
AE=xm，S△CBD=BD?
CF=xn；
（2）由
（1）得m=，n=，
∴m+n=+=，
∵AC边上的高为==，
∴x的取值范围是≤x≤14．
∵（m+n）随x的增大而减小，
∴当x=时，（m+n）的最大值为15；
当x=14时，（m+n）的最小值为12；
（3）x的取值范围是x=或13＜x≤14．
∵AC＞BC＞AB，
∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，AC边上的
高的长为．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，反比例函数的性质等知识，综合性较强，有一定难
度．
2013/26
2014/26
2015/26
2016/26
2017/26
2018/26
26．（11.00分）（2018?
河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x
轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=（x≥1）交于点A，且AB=1
米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑
道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：
M，A的竖直
距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水
平距离是vt米．
（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不
写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当
甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及
乙的范围．v
【分析】
（1）用待定系数法解题即可；
（2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关
系式；
（3）求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5
米的v
乙．
（1）由题意，点A（1，18）带入y=
18=
∴k=18
设h=at2，把t=1，h=5代入
∴a=5
∴h=5t2
（2）∵v=5，AB=1
∴x=5t+1
∵h=5t
2，OB=18
∴y=﹣5t2+18
由x=5t+1
则t=
∴y=﹣
当y=13时，13=﹣
解得x=6或﹣4
∵x≥1
∴x=6
把x=6代入y=
y=3
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）
（3）把y=1.8代入y=﹣5t2+18
得t2=
解得t=1.8或﹣1.8（负值舍去）
∴x=10
∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y=上
此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8）
由题意：
1+1.8v乙﹣（1+5×
1.8）＞4.5
∴v乙＞7.5
【点评】本题以考查二次函数和反比例函数的待定系数法以及函数图象上的
临界点问题
2019/26．【解答】解：
（1）当x＝0吋，y＝x﹣b＝﹣b，
∴B（0，﹣b），
∵AB＝8，而A（0，b），
∴b﹣（﹣b）＝8，
∴b＝4．
∴L：
y＝﹣x+4x，
∴L的对称轴x＝2，
当x＝2吋，y＝x﹣4＝﹣2，
∴L的对称轴与a的交点为（2，﹣2）；
（2）y＝﹣（x﹣）+，
∴L的顶点C（）
∵点C在l下方，
∴C与l的距离b﹣＝﹣（b﹣2）2+1≤1，
∴点C与1距离的最大值为1；
（3）由題意得，即y1+y2＝2y3，
得b+x0﹣b＝2（﹣x0
2+bx0）
解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0#0，取x0＝b﹣，
对于L，当y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），
解得x1＝0，x2＝b，
∵b＞0，
∴右交点D（b，0）．
∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b﹣）＝
（4）①当b＝2019时，抛物线解析式L：
y＝﹣x+2019x
直线解析式a：
y＝x﹣2019
联立上述两个解析式可得：
x1＝﹣1，x2＝2019，
∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和
﹣2019）共有2021个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：
线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2021个整数点
∴总计4042个点，
∵这两段图象交点有2个点重复重复，
∴美点”的个数：
4042﹣2＝4040（个）；
②当b＝2019.5时，
抛物线解析式L：
y＝﹣x2+2019.5x，
y＝x﹣2019.5，
x1＝﹣1，x2＝2019.5，
∴当x取整数时，在一次函数y＝x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上
“美点”为0；
2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1
在二次函数y＝﹣x
到2019.5之间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．
故b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．
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