最新北师大版高中数学必修三学案第一章 5 用样本估计总体.docx
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最新北师大版高中数学必修三学案第一章5用样本估计总体
学习目标
1.学会列频率分布表，会画频率分布直方图.2.会用频率分布表或分布直方图估计总体分布，并作出合理解释.3.在解决问题过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，认识统计的实际作用，初步经历收集数据到统计数据的全过程．
知识点一 总体的分布
思考 如果把我国初生婴儿的性别作为总体，那么它的分布是指什么？
梳理 一般地，总体分布是指总体中个体所占的比例．
知识点二 用频率分布表或频率分布直方图估计总体分布
思考1 要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？
思考2 如何决定组数与组距？
思考3 同样一组数据，如果组距不同，得到的频率分布直方图也会不同吗？
梳理
1．频率分布直方图
在频率分布直方图中，纵轴表示
，数据落在各小组内的频率用频率分布直方图的________来表示，各小长方形的面积的总和等于____．
2．频率折线图
在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的________开始，用线段依次连接各个矩形的____________，直至右边所加区间的________，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．
3．随着样本容量不断增大，样本中落在每个区间内的样本数的________会越来越稳定于总体在相应区间内取值的________．随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小．相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线．
知识点三 总体的数字特征
思考 如果想知道某一历史时期黄河流域男性平均身高，有可能获得总体数据吗？
怎么办？
梳理 一般地，
1．现实中的总体所包含的个体数往往很难获得，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．
2．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性．用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案．
类型一 用频率分布表及频率分布直方图估计总体分布
例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高（单位：
cm）．
区间界限
[122，126）
[126，130）
[130，134）
[134，138）
[138，142）
人数
5
8
10
22
33
区间界限
[142，146）
[146，150）
[150，154）
[154，158）
人数
20
11
6
5
（1）列出样本频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比．
反思与感悟 频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的，它们只不过是相同的数据的两种不同的表达方式，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况．
跟踪训练1 为了了解中学生身体发育情况，对某中学17岁的60名女生的身高（单位：
cm）进行了测量，结果如下：
154 159 166 169 159 156 166 162 158 159
156 166 160 164 160 157 151 157 161 162
158 153 158 164 158 163 158 153 157 168
162 159 154 165 166 157 155 146 151 158
160 165 158 163 163 162 161 154 165 161
162 159 157 159 149 164 168 159 153 160
列出样本的频率分布表；绘出频率分布直方图和频率折线图．
类型二 估计总体数字特征
例2 为了解A，B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每种轮胎行驶的最远里程数（单位：
1000km）
轮胎A 96,112,97,108,100,103,86,98
轮胎B 108,101,94,105,96,93,97,106
（1）分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数；
（2）分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差；
（3）根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？
反思与感悟 平均数、中位数、众数、极差、方差等统计量是将多个数据“加工”成一个数据，能更清楚地反映这组数据的某些重要特征，要理解这些统计量表达的信息．
跟踪训练2 为迎接5月31日世界无烟日的到来，小华对10名戒烟成功者戒烟前和戒烟5个星期后的体重（单位：
kg）作了认真统计，并记录如下表所示：
人员
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
戒烟前
67
80
69
52
52
60
55
55
64
60
戒烟后
70
81
68
55
57
62
54
52
67
58
（1）求这10人在戒烟前和戒烟后的体重的平均数；
（2）求这10人在戒烟前和戒烟后的体重的方差；
（3）通过上述数据，你能得到什么结论？
1．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．总体容量越大，估计越精确
B．总体容量越小，估计越精确
C．样本容量越大，估计越精确
D．样本容量越小，估计越精确
2．下列说法不正确的是（ ）
A．频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率
B．频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1
C．频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大
D．频率分布折线图是从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接频率分布直方图的每个小矩形上端中点，直至右边所加区间的中点得到的
3．某校为了了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生的体重．将所得的数据整理后，画出了如图的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在40～45kg的人数是（ ）
A．10B．2C．5D．15
4．一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表：
组距
[10,20）
[20,30）
[30,40）
[40,50）
[50,60）
[60,70）
频数
2
3
4
5
4
2
则样本在[10,50）上的频率为（ ）
A．0.5B．0.24
C．0.6D．0.7
5．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
（1）直方图中x的值为__________；
（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250）内的户数为________．
1．频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律，我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布．
2．用同样的方法先后从总体中抽取两个大小相同的样本，但两次得到的样本频率分布表、样本频率分布直方图、样本的平均数和标准差仍然可能互不相同，是样本的随机性造成的，是不可避免的．只要抽样的方法比较合理，就能反映总体的信息，当样本量很大时，就比较接近总体的真实情况．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 是指男女性别的比例．
知识点二
思考1 分组，频数累计，计算频数和频率．
思考2 若
为整数，则
＝组数．
若
不为整数，则
＋1＝组数．
注意：
[x]表示不大于x的最大整数．
思考3 不同．对于同一组数据分析时，要选好组距和组数，不同的组距与组数对结果有一定的影响．
梳理
1．面积 1 2.中点 顶端中点 中点 3.频率 概率
知识点三
思考 时代变迁，已经不可能获得所有数据，但可以根据出土的同时期样本数据计算平均身高来估计．
题型探究
例1 解
（1）样本频率分布表如下：
分组
频数
频率
[122,126）
5
0.04
[126,130）
8
0.07
[130,134）
10
0.08
[134,138）
22
0.18
[138,142）
33
0.28
[142,146）
20
0.17
[146,150）
11
0.09
[150,154）
6
0.05
[154,158）
5
0.04
合计
120
1
（2）频率分布直方图如下：
（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
跟踪训练1 解 第一步，求极差：
上述60个数据中最大为169，最小为146.故极差为169－146＝23（cm）．
第二步，确定组距和组数，可取组距为3cm，
则组数为
＝7
，可将全部数据分为8组．
第三步，确定区间界限：
[145.5,148.5），[148.5,151.5），[151.5，154.5），[154.5,157.5），[157.5,160.5），[160.5,163.5），[163.5，166.5），[166.5,169.5）．
第四步，列频率分布表：
分组
频数
频率
[145.5,148.5）
1
0.017
[148.5,151.5）
3
0.050
[151.5,154.5）
6
0.100
[154.5,157.5）
8
0.133
[157.5,160.5）
18
0.300
[160.5,163.5）
11
0.183
[163.5,166.5）
10
0.167
[166.5,169.5）
3
0.050
合计
60
1.000
第五步，根据上述数据绘制频率分布直方图：
第六步，在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线即为频率折线图．
例2 解
（1）A轮胎行驶的最远里程的平均数为
＝100，
中位数为
＝99；
B轮胎行驶的最远里程的平均数为
＝100，
中位数为
＝99.
（2）A轮胎行驶的最远里程的极差为112－86＝26，
标准差为s＝
＝
≈7.43；
B轮胎行驶的最远里程的极差为108－93＝15，
标准差为s＝
＝
≈5.43.
（3）由于A和B的最远行驶里程的平均数相同，而B轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以B轮胎性能更加稳定．
跟踪训练2 解
（1）将数据按从小到大的顺序重新排列；
戒烟前：
52,52,55,55,60,60,64,67,69,80；
戒烟后：
52,54,55,57,58,62,67,68,70,81.
求得
戒烟前＝61.4（kg），
戒烟后＝62.4（kg）．
（2）s
＝
[（67－61.4）2＋（80－61.4）2＋…＋（60－61.4）2]＝70.44，
s
＝
[（70－62.4）2＋（81－62.4）2＋…＋（58－62.4）2]＝73.84.
（3）从戒烟前后两组数据的统计量知：
从平均数看，戒烟后这10人的平均体重增加了1kg；从方差看，戒烟后数据的波动比戒烟前数据的波动大，说明戒烟对不同的人所发生的变化程度是不同的，通过对这两组数据的统计分析，得出结论：
吸烟有害健康，戒烟对身体健康是有益的．
当堂训练
1．C 2.A 3.A 4.D
5．
（1）0.0044
（2）70
解析
（1）（0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012）×50＝1，∴x＝0.0044.
（2）（0.0036＋0.0044＋0.0060）×50×100＝70.
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