初中数学专题特训第二十三讲圆的有关概念及性质含详细参考答案Word格式.docx

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五、圆内接四边形：

定义：

如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做

性质：

圆内接四边形的对角

圆内接平行四边形是圆内接梯形是】

考点一：

垂径定理

例1（2012•绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：

甲：

1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，

2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形 

乙：

1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．

2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形．

对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）

A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误

C．甲正确、乙错误D．甲错误，乙正确

考点：

垂径定理；

等边三角形的判定与性质；

含30度角的直角三角形．

专题：

计算题．

分析：

由甲的思路画出相应的图形，连接OB，由BC为OD的垂直平分线，得到OE=DE，且BC与OD垂直，可得出OE为OD的一半，即为OB的一半，在直角三角形BOE中，根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30°

，得到∠OBE为30°

，利用直角三角形的两锐角互余得到∠BOE为60°

，再由∠BOE为三角形AOB的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角性质得到∠ABO也为30°

，可得出∠ABC为60°

，同理得到∠ACB也为60°

，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°

，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形；

由乙的思路画出相应的图形，连接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代换可得出三角形OBD三边相等，即为等边三角形，的长∠BOE=∠DBO=60°

，由BC垂直平分OD，根据三线合一得到BE为角平分线，可得出∠OBE为30°

，又∠BOE为三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°

，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形，进而得出两人的作法都正确．

解答：

解：

根据甲的思路，作出图形如下：

连接OB，

∵BC垂直平分OD，

∴E为OD的中点，且OD⊥BC，

∴OE=DE=

OD，又OB=OD，

在Rt△OBE中，OE=

OB，

∴∠OBE=30°

，又∠OEB=90°

，

∴∠BOE=60°

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，

又∠BOE为△AOB的外角，

∴∠OAB=∠OBA=30°

∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°

同理∠C=60°

∴∠BAC=60°

∴∠ABC=∠BAC=∠C，

∴△ABC为等边三角形，

故甲作法正确；

根据乙的思路，作图如下：

连接OB，BD，

∵OD=BD，OD=OB，

∴OD=BD=OB，

∴△BOD为等边三角形，

∴∠OBD=∠BOD=60°

又BC垂直平分OD，∴OM=DM，

∴BM为∠OBD的平分线，

∴∠OBM=∠DBM=30°

又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，

∴∠BAO=∠ABO=30°

∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°

同理∠ACB=60°

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，

故乙作法正确，

故选A

点评：

此题考查了垂径定理，等边三角形的判定，含30°

直角三角形的判定，三角形的外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理及判定是解本题的关键．

对应训练

1．（2012•哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°

，OP⊥AC于点P，OP=2

，则⊙O的半径为（　　）

A．4

B．6

C．8D．12

含30度角的直角三角形；

圆周角定理．

由∠B的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠AOC的度数，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形的内角和定理求出∠OAC=30°

，又OP垂直于AC，得到三角形AOP为直角三角形，利用30°

所对的直角边等于斜边的一半，根据OP的长得出OA的长，即为圆O的半径．

∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为

，且∠B=60°

∴∠AOC=2∠B=120°

又OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°

∵OP⊥AC，

∴∠AOP=90°

在Rt△AOP中，OP=2

，∠OAC=30°

∴OA=2OP=4

则圆O的半径4

．

此题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及含30°

直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

考点二：

圆周角定理

例2（2012•青海）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C

（1）求证：

CB∥MD；

（2）若BC=4，sinM=

，求⊙O的直径．

圆周角定理；

解直角三角形．

（1）由∠C与∠M是

所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD；

（2）首先连接AC，AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°

，又由弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得

=

，继而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM=

，即可求得⊙O的直径．

（1）证明：

∵∠C与∠M是

所对的圆周角，

∴∠C=∠M，

又∵∠1=∠C，

∴∠1=∠M，

∴CB∥MD；

（2）解：

连接AC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°

又∵CD⊥AB，

∴

∴∠A=∠M，

∴sinA=sinM，

在Rt△ACB中，sinA=

∵sinM=

，BC=4，

∴AB=6，

即⊙O的直径为6．

此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

37．（2012•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD

BD平分∠ABC；

（2）当∠ODB=30°

时，求证：

BC=OD．

垂径定理．

证明题．

（1）由OD⊥ACOD为半径，根据垂径定理，即可得

，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；

（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°

，继而可证得BC=OD．

证明：

（1）∵OD⊥AC 

OD为半径，

∴∠CBD=∠ABD，

∴BD平分∠ABC；

（2）∵OB=OD，

∴∠OBD=∠0DB=30°

∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°

+30°

=60°

又∵OD⊥AC于E，

∴∠OEA=90°

∴∠A=180°

-∠OEA-∠AOD=180°

-90°

-60°

=30°

又∵AB为⊙O的直径，

在Rt△ACB中，BC=

AB，

∵OD=

∴BC=OD．

此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

考点三：

圆内接四边形的性质

例3（2012•深圳）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内

上一点，∠BMO=120°

，则⊙C的半径长为（　　）

A．6B．5C．3D．3

圆内接四边形的性质；

坐标与图形性质；

探究型．

先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数，由圆周角定理可知∠AOB=90°

，故可得出∠ABO的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB的长，进而得出结论．

∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°

∴∠BAO=60°

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AOB=90°

∴∠ABO=90°

-∠BAO=90°

∵点A的坐标为（0，3），

∴OA=3，

∴AB=2OA=6，

∴⊙C的半径长=

=3．

故选C．

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．

3．（2011•肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°

，则∠DCE的大小是（　　）

A．115°

B．l05°

C．100°

D．95°

圆内接四边形的性质．

根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°

，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠BAD+∠BCD=180°

而∠BCD+∠DCE=180°

∴∠DCE=∠BAD，

而∠BAD=105°

∴∠DCE=105°

故选B．

本题考查了圆内接四边形的性质：

圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．

【聚焦山东中考】

1．（2012•泰安）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）

A．CM=DMB．

C．∠ACD=∠ADCD．OM=MD

由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到M为CD的中点，B为劣弧

的中点，可得出A和B选项成立，再由AM为公共边，一对直角相等，CM=DM，利用SAS可得出三角形ACM与三角形ADM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立，而OM不一定等于MD，得出选项D不成立．

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，

∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；

B为

的中点，即

，选项B成立；

在△ACM和△ADM中，

∵

∴△ACM≌△ADM（SAS），

∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；

而OM与MD不一定相等，选项D不成立．

故选D

此题考查了垂径定理，以及全等三角形的判定与性质，垂径定理为：

垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．

2．（2012•东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是cm．

2．30

垂径定理的应用；

勾股定理．

当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于△ABC；

连接外心与B点，可通过勾股定理即可求出圆的半径．

连接OB，如图，

当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大．

∵AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，

∴O点在AD上，BD=24cm；

在Rt△0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=48-r，

∴r2=（48-r）2+242，解得r=30．

即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm．

故答案为：

30．

此题考查把实物图转化为几何图形的能力以及勾股定理，垂径定理的讨论和勾股定理．

3．（2012•泰安）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧

上一点（不与A，B重合），则cosC的值为．

3．

勾股定理；

锐角三角函数的定义．

首先构造直径所对圆周角，利用勾股定理得出BD的长，再利用cosC=cosD=

求出即可．

连接AO并延长到圆上一点D，连接BD，

可得AD为⊙O直径，故∠ABD=90°

∵半径为5的⊙O中，弦AB=6，则AD=10，

∴BD=

=8，

∵∠D=∠C，

∴cosC=cosD=

=

此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义和圆周角定理，根据已知构造直角三角形ABD是解题关键．

4．（2012•青岛）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°

，则∠ABC的度数是．

4.150°

首先在优弧

上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理，即可求得∠ADC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案．

在优弧

上取点D，连接AD，CD，

∵∠AOC=60°

∴∠ADC=

∠AOC=30°

∵∠ABC+∠ADC=180°

∴∠ABC=180°

-∠ADC=180°

-30°

=150°

150°

此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法．

【备考真题过关】

一、选择题

1．（2012•无锡）如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（　　）

A．等于4

B．等于4

C．等于6D．随P点位置的变化而变化

相似三角形的判定与性质．

连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r-x，OC=r+x，证△OBD∽△OCA，推出OC：

OB=OA：

OD，即（r+x）：

1=9：

（r-x），求出r2-x2=9，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．

连接NE，

设圆N半径为r，ON=x，则OD=r-x，OC=r+x，

∵以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，

∴OA=4+5=9，0B=5-4=1，

∵AB是⊙M的直径，

∴∠APB=90°

（直径所对的圆周角是直角），

∵∠BOD=90°

∴∠PAB+∠PBA=90°

，∠ODB+∠OBD=90°

∵∠PBA=∠OBD，

∴∠PAB=∠ODB，

∵∠APB=∠BOD=90°

∴△OBD∽△OCA，

即

解得：

（r+x）（r-x）=9，

r2-x2=9，

由垂径定理得：

OE=OF，OE2=EN2-ON2=r2-x2=9，

即OE=OF=3，

∴EF=2OE=6，

本题考查了勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OE=OF和r2-x2=9，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．

2．（2012•陕西）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）

A．3B．4C．3

D．4

作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．

作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，

由垂径定理、勾股定理得：

OM=

=3，

∵弦AB、CD互相垂直，

∴∠DPB=90°

∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，

∴∠OMP=∠ONP=90°

∴四边形MONP是正方形，

∴OP=3

本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．

3．（2012•黄冈）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（　　）

A．8B．10C．16D．20

连接OC，可知，点E为CD的中点，在Rt△OEC中，OE=OB-BE=OC-BE，根据勾股定理，即可得出OC，即可得出直径．

连接OC，根据题意，

CE=

CD=6，BE=2．

在Rt△OEC中，

设OC=x，则OE=x-2，

故：

（x-2）2+62=x2

x=10

即直径AB=20．

故选D．

本题是对垂径定理和解直角三角形的综合应用，解题的关键是利用勾股定理构造直角三角形．

4．（2012•河北）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（　　）

A．AE＞BEB．

C．∠D=

∠AECD．△ADE∽△CBE

相似三角形的判定．

根据垂径定理及相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．

∵CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，

∴AE=BE，

，故A、B错误；

∵∠AEC不是圆心角，

∴∠D≠

∠AEC，故C错误；

∵∠CEB=∠AED，∠DAE=∠BCE，

∴△ADE∽△CBE，故C正确．

本题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定，难度不大，是基础题．

5．（2012•重庆）已知：

如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）

A．45°

B．35°

C．25°

D．20°

直接根据圆周角定理进行解答即可．

∵OA⊥OB，

∴∠ACB=

∠AOB=45°

故选A．

本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

6．（2012•云南）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°

，则∠BCD的度数为（　　）

A．40°

B．50°

C．60°

D．70°

由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCD的度数．

∵∠BAD与∠BCD是

对的圆周角，

∴∠BCD=∠BAD=60°

此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．

7．（2012•襄阳）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°

，则∠ABC的度数是（　　）

A．80°

B．160°

D．80°

或100°

首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得∠AB′C的度数．

如图，∵∠AOC=160°

∴∠ABC=

∠AOC=

×

160°

=80°

∵∠ABC+∠AB′C=180°

∴∠AB′C=180°

-∠ABC=180°

-80°

=100°

∴∠ABC的度数是：

80°

此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．

8．（2012•泸州）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°

，∠BOD=100°

，则∠C的度数为（　　）

A．50°

B．60°

C．70°

由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，然后由三角形的内角和定理，即可求得∠C的度数．

∵∠BOD=100°

∴∠A=

∠BOD=50°

∵∠B=60°

∴∠C=180°

-∠A-∠B=70°

此题考查了圆周角定理与三角形的内角和定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键．

二、填空题

9．（2012•朝阳）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为5

9．5

连接OD，由垂径定理得求出DE，设⊙O的半径是R，由勾股定理得出R2=（R-1）2+32，求出R即可．

连接OD，

∵AB⊥CD，AB是直径，

∴由垂径定理得：

DE=CE=3，

设⊙O的半径是R，

在Rt△ODE中，由勾股定理得：

OD2=OE2+DE2，即R2=（R-1）2+32，

R=5，

5．

本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，用了方程思想，题目比较好，难度适中．

10．（2012•成都）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=2

，0C=1，则半径OB的长为2

10．2

先根据垂径定理得出BC的长，再在Rt△OBC中利用勾股定理求出OB的长即可．

∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=2

∴BC=

，AB=

∵0C=1，

∴在Rt△OBC中，

OB=

2．

本题考查的是垂径定理及勾股定