人教版初中数学八年级下册《182 特殊的平行四边形》同步练习卷7Word格式.docx
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(BC﹣AD),其中正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.如图,在矩形ABCD中,AB=8厘米,BC=10厘米,点E在边AB上,且AE=2厘米,如果动点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,动点Q在线段CD上由C点向D点运动,设运动时间为t秒,当△BPE与△CQP全等时,t的值为( )
A.2B.1.5或2C.2.5D.2或2.5
7.如图,D,E是△ABC中AB,BC边上的点,且DE∥AC,∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H.则下列结论错误的是( )
A.若BG∥CH,则四边形BHCG为矩形
B.若BE=CE时,四边形BHCG为矩形
C.若HE=CE,则四边形BHCG为平行四边形
D.若CH=3,CG=4,则CE=2.5
8.正方形ABCD中,点E、F分别在CD、BC边上,△AEF是等边三角形.以下结论:
①EC=FC;
②∠AED=75°
;
③AF=
CE;
④EF的垂直平分线是直线AC.正确结论个数有( )个.
A.1B.2C.3D.4
9.如图,正方形ABCD中,点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点,连接AF、DE交于点M,连接GM、CG,CG与DE交于点N,则结论①GM⊥CM;
②CD=DM;
③四边形AGCF是平行四边形;
④∠CMD=∠AGM中正确的有( )个.
二.填空题(共6小题)
10.如图,△ABC中,∠ACB=90°
,D在BC上,E为AB中点,AD、CE相交于F,AD=DB.若∠B=35°
,则∠DFE等于 °
.
11.菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示,其中点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,
),动点P从点A出发,沿A→B→C→D→A→B→…的路径,在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动,移动到第2019秒时,点P的坐标为 .
12.如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.小米的作法是:
连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.则小米的依据是 .
13.如图,已知在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是长方形,点A、C、D的坐标分别为A(9,0)、C(0,4),D(5,0),点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿O→C→B→A运动,点P的运动时间为t秒.则当t= 秒时,△ODP是腰长为5的等腰三角形?
14.如图,在△ABC中,AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,M是BC边上的动点,MD⊥AB,ME⊥AC,垂足分别是D、E,线段DE的最小值是 cm.
15.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△BAD和△ACD的高,得到下列四个结论:
①OA=OD;
②AD⊥EF;
③当∠A=90°
时,四边形AEDF是正方形;
④AE+DF=AF+DE.其中正确的是 (填序号).
三.解答题(共25小题)
16.已知,如图,∠ABC=∠ADC=90°
,M、N分别是AC、BD的中点.
(1)求证:
MN⊥BD;
(2)在边AD上能否找到一点P,使得PB=PD?
请说明理由.
17.如图1,已知∠ABC=90°
,△ABC是等腰三角形,点D为斜边AC的中点,连接DB,过点A作∠BAC的平分线,分别与DB,BC相交于点E,F.
BE=BF;
(2)如图2,连接CE,在不添加任何辅助线的条件下,直接写出图中所有的等腰三角形.
18.菱形ABCD中,点P为CD上一点,连接BP.
(1)如图1,若BP⊥CD,菱形ABCD边长为10,PD=4,连接AP,求AP的长.
(2)如图2,连接对角线AC、BD相交于点O,点N为BP的中点,过P作PM⊥AC于M,连接ON、MN.试判断△MON的形状,并说明理由.
19.【问题原型】如图1,在四边形ABCD中,∠ADC=90°
,AB=AC.点E、F分别为AC、BC的中点,连结EF,DE.试说明:
DE=EF.
【探究】如图2,在问题原型的条件下,当AC平分∠BAD,∠DEF=90°
时,求∠BAD的大小.
【应用】如图3,在问题原型的条件下,当AB=2,且四边形CDEF是菱形时,直接写出四边形ABCD的面积.
20.如图,△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,GD.
△ECG≌△GHD;
(2)小亮同学经过探究发现:
AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.
(3)若∠B=30°
,判定四边形AEGF是否为菱形,并说明理由.
21.如图,在▱ABCD和▱BFDE中,∠A=∠F,AD与BE交于点M,BC与DF交于点N,
(1)四边形BNDM一定是平行四边形吗?
为什么?
(2)当AB与BF满足什么数量关系时,四边形BNDM是菱形,请说明理由.
22.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°
,AC=100cm,∠A=60°
,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(0<t≤25).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗?
如果能,求出相应的t值;
如果不能,请说明理由;
(2)当t为何值时,△DEF为直角三角形?
23.在五边形ADBCE中,∠ADB=∠AEC=90°
,∠DAB=∠EAC,M、N、O分别为AC、AB、BC的中点.
△EMO≌△OND;
(2)若AB=AC,且∠BAC=40°
,当∠DAB等于多少时,四边形ADOE是菱形,并证明.
24.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC、BC上的点,且四边形PEFD为矩形.
(1)若△PCD是等腰三角形时,求AP的长;
(2)求证:
PC⊥CF.
25.已知四边形ABCD是矩形,连接AC,点E是边CB延长线上一点,CA=CE,连接AE,F是线段AE的中点,
(1)如图1,当AD=DC时,连接CF交AB于M,求证:
BM=BE;
(2)如图2,连接BD交AC于O,连接DF分别交AB、AC于G、H,连接GC,若∠FDB=30°
,S四边形GBOH=
,求线段GC的长.
26.如图,平行四边形ABCD中,AB=4cm,BC=6cm,∠B=60°
,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.
四边形CEDF是平行四边形;
(2)①AE为何值时四边形CEDF是矩形?
②AE为何值时四边形CEDF是菱形?
27.如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,D、E、F分别是AC、AB、BC的中点.
CE=DF;
(2)连接DE、EF,证明四边形CEDF为矩形.
28.如图,△ABD,△BCE和△ACF都是等边三角形,连DE和EF.
(1)试判断四边形DAFE的形状,并说明理由;
(2)当∠BAC多少度时,四边形DAFE是矩形;
(3)探究下列问题:
(只填满足的条件,不证明)①当△ABC满足 条件时,四边形DAFE是菱形,②当△ABC满足 条件时,以D、A、F、E为顶点的四边形不存在.
29.已知:
分别以△ABC的各边为边,在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD和等边三角形ACF,连结DE,DF.
(1)试说明四边形DEAF为平行四边形.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DEAF为矩形?
并说明理由;
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形DEAF为菱形.直接写出答案 .
30.如图,在矩形ABCD中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点D出发向点A运动,运动到点A停止,同时,点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止,点P、Q的速度都是1cm/s.连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为ts.
(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形;
(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形;
(3)分别求出
(2)中菱形AQCP的周长和面积.
31.已知矩形ABCD和点P,当点P在BC上任一位置(如图
(1)所示)时,易证得结论:
PA2+PC2=PB2+PD2,请你探究:
当点P分别在图
(2)、图(3)中的位置时,PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图
(2)证明你的结论.
答:
对图
(2)的探究结论为 ;
对图(3)的探究结论为 ;
证明:
如图
(2)
32.如图,点M是正方形ABCD的边BC上一点,连接AM,点E是线段AM上一点,∠CDE的平分线交AM延长线于点F.
(1)如图1,若点E为线段AM的中点,BM:
CM=1:
2,BE=
,求AB的长;
(2)如图2,若DA=DE,求证:
BF+DF=
AF.
33.如图,已知正方形ABCD的边长为
,连接AC、BD交于点O,CE平分∠ACD交BD于点E,
(1)求DE的长;
(2)过点E作EF⊥CE,交AB于点F,求BF的长;
(3)过点E作EG⊥CE,交CD于点G,求DG的长.
34.已知:
如图,在平行四边形ABCD中,BC=AC,E,F分别是AB,CD的中点,连接CE并延长交DA的延长线于M,连接AF并延长交BC的延长线于N.
△ABN≌△CDM;
(2)当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时,四边形AECF是正方形?
35.如图,在△ABC中,BD、CE分别为AC、AB边上的中线,BD、CE交于点H,点G、F分别为HC、HB的中点,连接AH、DE、EF、FG、GD,其中HA=BC.
(1)证明:
四边形DEFG为菱形;
(2)猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时,四边形DEFG为正方形,并说明理由.
36.如图,四边形ABCD是平行四边形,AE∥BD,AE与CB的延长线交于点E,DE交AB于F.
BC=BE;
(2)连结CF,若∠ADF=∠BCF且AD=2AF,求证:
四边形ABCD是正方形.
37.已知:
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.
四边形ABCD是菱形;
(2)如果BE=BC,且∠CBE:
∠BCE=2:
3,求证:
38.如图所示是5个大小相同的正方形相连,共有正方形的顶点12个,从中任取4个点为顶点构成正方形,共可以组成多少个正方形?
39.如图,以△ABC的各边为边长,在边BC的同侧分别作正方形ABDI,正方形BCFE,正方形ACHG,连接AD,DE,EG.
△BDE≌△BAC;
(2)①设∠BAC=α,请用含α的代数式表示∠EDA,∠DAG;
②求证:
四边形ADEG是平行四边形;
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEG是正方形?
40.在图1到图3中,点O是正方形ABCD对角线AC的中点,△MPN为直角三角形,∠MPN=90°
.正方形ABCD保持不动,△MPN沿射线AC向右平移,平移过程中P点始终在射线AC上,且保持PM垂直于直线AB于点E,PN垂直于直线BC于点F.
(1)如图1,当点P与点O重合时,OE与OF的数量关系为 ;
(2)如图2,当P在线段OC上时,猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系?
并对你的猜想结果给予证明;
(3)如图3,当点P在AC的延长线上时,OE与OF的数量关系为 ;
位置关系为 .
人教新版八年级下学期《18.2特殊的平行四边形》2019年同步练习卷
参考答案与试题解析
【分析】由垂直的定义得到∠ADB=∠BEA=90°
,根据直角三角形的性质得到AF=DF,BF=EF,根据等腰三角形的性质得到∠DAF=∠ADF,∠EFB=∠BEF,于是得到结论.
【解答】解:
∵AE⊥BC于点E,BD⊥AC于点D;
∴∠ADB=∠BEA=90°
,
∵点F是AB的中点,
∴AF=DF,BF=EF,
∴∠DAF=∠ADF,∠EBF=∠BEF,
∴∠AFD=180°
﹣2∠CAB,∠BFE=180°
﹣2∠ABC,
∴x°
=180°
﹣∠AFD﹣∠BFE=2(∠CAB+∠CBA)﹣180°
=2(180°
﹣y°
)﹣180°
﹣2y°
∴y=﹣
x+90,
故选:
B.
【点评】本题考查了直角三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和,正确的识别图形是解题的关键.
【分析】设FB=2a,AB=3a,由Rt△EBF≌Rt△GDH(HL),推出FB=DH,推出BF=DH=AD=BC=2a,设AE=CG=x,由FG=GH,可得16a2+x2=(x+3a)2+4a2,解得x=
,用a表示菱形的面积即可解决问题.
∵FB:
AB=2:
3,
∴可以假设FB=2a,AB=3a,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=CD,
∵AE=CG,
∴BE=GD,
∵∠EBF=∠GDH=90°
,EF=GH,EB=GD,
∴Rt△EBF≌Rt△GDH(HL),
∴FB=DH,
∵AD=DH,
∴BF=DH=AD=BC=2a,设AE=CG=x,
∵FG=GH,
∴16a2+x2=(x+3a)2+4a2,
解得x=
∴S菱形EFGH=2×
×
2a×
(3a+
)+6a2+2×
4a×
=15a2,
∵S=6a2,
∴a2=
∴菱形EFGH的面积=
S.
【点评】本题考查菱形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考常考题型.
【分析】由平行四边形的性质可得OB=BC,由等腰三角形的性质可判断①正确,由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②正确,通过证四边形BGFE是平行四边形,可判断③正确,由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确,由∠BAC≠30°
可判断⑤错误.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=DO=
BD,AD=BC,AB=CD,AB∥BC,
又∵BD=2AD,
∴OB=BC=OD=DA,且点E是OC中点,
∴BE⊥AC,
故①正确,
∵E、F分别是OC、OD的中点,
∴EF∥CD,EF=
CD,
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点,
∴GE=
AB=AG=BG
∴EG=EF=AG=BG,
故②正确,
∵BG=EF,AB∥CD∥EF
∴四边形BGFE是平行四边形,
∴GF=BE,且BG=EF,GE=GE,
∴△BGE≌△FEG(SSS)
故③正确
∵EF∥CD∥AB,
∴∠BAC=∠ACD=∠AEF,
∵AG=GE,
∴∠GAE=∠AEG,
∴∠AEG=∠AEF,
∴AE平分∠GEF,
故④正确,
若四边形BEFG是菱形
∴BE=BG=
AB,
∴∠BAC=30°
与题意不符合
故⑤错误
C.
【点评】本题考查了菱形的判定,平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形中位线定理等知识,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.
【分析】根据等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质等知识一一判断即可.
∵∠BAC=30°
,△ABD是等边三角形,
∴∠BAD=60°
∴∠DAF=90°
∴DF>AD,
∴四边形ADFE不可能是菱形.故①错误.
连接BF.
∵△ABC是直角三角形,AF=CF,
∴FA=FB,∵DA=DB,
∴DF垂直平分线段AB,故②正确,
∵AE⊥AB,DF⊥AB,
∴AE∥DF,
∵AE=2AF,DF=2AF,
∴AE=DF,
∴四边形AEFD是平行四边形,
∴OA=OF,
∴AE=AC=4OA,故③正确,
在Rt△AFG中,∠FAG=30°
∴AF=2FG,
∵EC=AC=2AF,
∴EC=4FG,故④正确,
D.
【点评】本题考查直角三角形30度角性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形,然后根据菱形的对角线互相垂直平分,并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断.
∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点,
∴EF=
CD,FG=
AB,GH=
CD,HE=
∵AB=CD,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH是菱形,
∴①EG⊥FH,正确;
②四边形EFGH是菱形,正确;
③HF平分∠EHG,正确;
④当AD∥BC,如图所示:
E,G分别为BD,AC中点,
∴连接CD,延长EG到CD上一点N,
∴EN=
BC,GN=
AD,
∴EG=
(BC﹣AD),只有AD∥BC时才可以成立,而本题AD与BC很显然不平行,故本小题错误.
综上所述,①②③共3个正确.
【点评】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质,根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键.
【分析】分两种情况讨论:
若△BPE≌△CQP,则BP=CQ,BE=CP;
若△BPE≌△CPQ,则BP=CP=5厘米,BE=CQ=6厘米;
当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒,若△BPE≌△CQP,则BP=CQ,BE=CP,
∵AB=8厘米,BC=10厘米,AE=2厘米,
∴BE=CP=6厘米,
∴BP=10﹣6=4厘米,
∴运动时间=4÷
2=2(秒);
当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,
∴BP≠CQ,
∵∠B=∠C=90°
∴要使△BPE与△OQP全等,只要BP=PC=5厘米,CQ=BE=6厘米,即可.
∴点P,Q运动的时间t=
(秒),
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定,解决问题的关键是掌握:
正方形的四条边都相等,四个角都是直角;
两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.解题时注意分类思想的运用.
【分析】由∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H可得∠HCG=90°
,∠ECG=∠ACG即可得HE=EC=EG,再根据A,B,C,D的条件,进行判断.
∵∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H,
∴∠HCG=90°
,∠ECG=∠ACG;
∵DE∥AC.
∴∠ACG=∠HGC=∠ECG.
∴EC=EG;
同理:
HE=EC,
∴HE=EC=EG=
HG;
若CH∥BG,
∴∠HCG=∠BGC=90°
∴∠EGB=∠EBG,
∴BE=EG,
∴BE=EG=HE=EC,
∴CHBG是平行四边形,且∠HCG=90°
∴CHBG是矩形;
故A正确;
若BE=CE,
∴BE=CE=HE=EG,
∴CHBG是矩形,
故B正确;
若HE=EC,则不可以证明则四边形BHCG为平行四边形,
故