初中经典几何证明练习题含答案docWord文件下载.docx
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∴∠MPA=∠MPD=75°
∴∠BPC=360°
-75°
×
4=60°
∵MP=BP，MP=CP∴BP=CP∴△BPC是正三角形
3、已知：
如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．
∠DEN＝∠F．
证明:
连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG
∵CN=DN，CG=DG
∴GN∥AD，GN=1AD
2
∴∠DEN=∠GNM
∵AM=BM，AG=CG
∴GM∥BC，GM=1BC
∴∠F=∠GMN
∵AD=BC
∴GN=GM
∴∠GMN=∠GNM
∴∠DEN=∠F
经典题
（二）
△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
（1）求证：
AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝60，求证：
AH＝AO．（初二）
（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G
∵OG⊥AF
∴AG=FG
⌒⌒
∵AB=AB
∴∠F=∠ACB
又AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠BHD+∠DBH=90°
∠ACB+∠DBH=90°
∴∠ACB=∠BHD
∴∠F=∠BHD
∴BH=BF又AD⊥BC
∴DH=DF
∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2D（H=2+DH）=2GD
又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD
∴四边形OMDG是矩形
∴OM=GD∴AH=2OM
（2）连接OB、OC
∵∠BAC=60∴∠BOC=120°
∵OB=OC，OM⊥BC
∴∠BOM=1∠BOC=60°
∴∠OBM=30°
∴BO=2OM
由
（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO
2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD
并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.
AP＝AQ．
作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF
∵AG⊥PQ∴∠PAG=∠QAG=90°
又∠GAE=∠GAF∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF
即∠PAE=∠QAF
∵E、F、C、D四点共圆
∴∠AEF+∠FCQ=180°
∵EF⊥AG，PQ⊥AG
∴EF∥PQ
∴∠PAF=∠AFE
∵AF=AE
∴∠AFE=∠AEF
∴∠AEF=∠PAF
在△AEP和△AFQ中
∵∠PAF+∠QAF=180°
∠AFQ=∠AEP
∴∠FCQ=∠QAF
AF=AE
∴F、C、A、Q四点共圆
∠QAF=∠PAE
∴∠AFQ=∠ACQ
∴△AEP≌△AFQ
又∠AEP=∠ACQ
∴AP=AQ
∴∠AFQ=∠AEP
3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
AP＝AQ．（初二）
作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG
∵C、D、B、E四点共圆∴∠B=∠D，∠E=∠C
∴△ABE∽△ADC
∴ABBE2BGBG
ADDC2FDDF
∴△ABG∽△ADF
∴∠AGB=∠AFD
∴∠AGE=∠AFC
∵AM=AN，
∴OA⊥MN
又OG⊥BE，
∴∠OAQ+∠OGQ=180°
∴O、A、Q、E四点共圆∴∠AOQ=∠AGE
同理∠AOP=∠AFC
∴∠AOQ=∠AOP
又∠OAQ=∠OAP=90°
，OA=OA
∴△OAQ≌△OAP
∴AP=AQ
4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，
OP⊥BC
BC=2OP（初二）
分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N
∵OF=OD，DN∥OP∥FL
∴PN=PL
∴OP是梯形DFLN的中位线
∴DN+FL=2OP
∵ABFG是正方形
∴∠ABM+∠FBL=90°
又∠BFL+∠FBL=90°
∴∠ABM=∠BFL
又∠FLB=∠BMA=90°
，BF=AB
∴△BFL≌△ABM
∴FL=BM
同理△AMC≌△CND
∴CM=DN
∴BM+CN=FL+DN
∴BC=FL+DN=2OP
经典题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
CE＝CF．（初二）
连接BD交AC于O。
过点E作EG⊥AC于G
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC又EG⊥AC
∴BD∥EG又DE∥AC
∴ODEG是平行四边形又∠COD=90°
∴ODEG是矩形
111
∴EG=OD=BD=AC=AE
222
∴∠EAG=30°
∵AC=AE
∴∠ACE=∠AEC=75°
又∠AFD=90°
∴∠CFE=∠AFD=75°
=∠AEC
∴CE=CF
2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
AE＝AF．（初二）
连接BD，过点E作EG⊥AC于G
∴BD⊥AC，又EG⊥AC
∴ODEG是平行四边形
∴∠CAE=∠CEA=1∠GCE=15°
又∠COD=90°
在△AFC中∠F=180°
-∠FAC-∠ACF
∴ODEG是矩形
=180
°
-∠FAC-∠GCE
∴EG=OD=1BD=1
AC=1CE
=180°
-135°
-30°
=15°
222
∴∠GCE=30°
∵AC=EC
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
PA＝PF．（初二）
过点F作FG⊥CE于G，FH⊥CD于H
∵CD⊥CG∴HCGF是矩形∵∠HCF=∠GCF∴FH=FG
∴HCGF是正方形
∴CG=GF
设AB=x，BP=y，CG=z
∵AP⊥FP
z：
y=（x-y+z）：
x
∴∠APB+∠FPG=90°
化简得（x-y）·
y=（x-y）·
z
∵∠APB+∠BAP=90°
∵x-y≠0
∴∠FPG=∠BAP
∴y=z
又∠FGP=∠PBA
即BP=FG
∴△FGP∽△PBA
∴△ABP≌△PGF
∴FG：
PB=PG：
AB
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．
AB＝DC，BC＝AD．（初三）
过点E作EK∥BD，分别交
连接OH、MH、EC
∵EH=FH
∴OH⊥EF，∴∠PHO=90°
又PC⊥OC，∴∠POC=90°
AC、AF于M、K，取EF的中点H，
∴EM=KM
∵EK∥BD
∴P、C、H、O四点共圆
∴
OBAOOD
EMAMKM
∴∠HCO=∠HPO
∴OB=OD
又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK
又AO=CO
∴∠HCM=∠HEM
∴四边形ABCD的对角线
∴H、C、E、M四点共圆
∴∠ECM=∠EHM
又∠ECM=∠EFA
∴∠EHM=∠EFA
∴HM∥AC
∵EH=FH
经典题（四）
△ABC是正三角形，P是三角形内一点，
PA＝3，PB＝4，PC＝5．
A
求∠APB的度数．（初二）
解：
将△ABP绕点B顺时针方向旋转
60°
得△BCQ，连接PQ
P
则△BPQ是正三角形
∴∠BQP=60°
，PQ=PB=3
在△PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5
B
C
Q
∴△PQC是直角三角形
∴∠PQC=90°
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°
+90°
=150°
∴∠APB=∠BQC=150°
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
∠PAB＝∠PCB．（初二）
D
过点P作AD的平行线，过点
A作PD的平行线，
两平行线相交于点E，连接BE
E
∵PE∥AD，AE∥PD
∴ADPE是平行四边形
∴PE=AD，
又ABCD是平行四边形
∴AD=BC
∴PE=BC
又PE∥AD，AD∥BC
又∠ADP=∠ABP
∴PE∥BC
∴∠AEP=∠ABP
∴BCPE是平行四边形
∴A、E、B、P四点共圆
∴∠BEP=∠PCB
∴∠BEP=∠PAB
∵ADPE是平行四边形
∴∠PAB=∠PCB
∴∠ADP=∠AEP
3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：
AB·
CD＋AD·
BC＝AC·
BD．（初三）
在BD上去一点E，使∠BCE=∠ACD
⌒
∵CD=CD∴∠CAD=∠CBD
∴△BEC∽△ADC
∴BE
BC
AD
AC
∴AD·
BC=BE·
AC①
∵∠BCE=∠ACD
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE
即∠BCA=∠ECD
①+②得AB·
CD+AD·
BC=DE·
AC+BE·
∵BC=BC,∴∠BAC=∠BDC
△BAC∽△EDC
=
（DE+BE）·
AC
=BD
·
∴ABAC
DECD
∴AB·
CD=DE·
AC②
4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：
∠DPA＝∠DPC．（初二）
过点D作DG⊥AE于G，作DH⊥FC于H，连接DF、DE
11
∴S△ADE=2AE·
DG，S△FDC=2FC·
DH
AD
F
G
1
又S△ADE=S△FDC=2S□ABCD
∴AE·
DG=FC·
DH
H
BEC
又AE=CF
∴DG=DH
∴点D在∠APC的角平分线上
∴∠DPA＝∠DPC
经典题（五）
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：
3≤L＜2．
（1）将△BPC绕B点顺时针旋转
的△BEF，连接PE，
∵BP=BE，∠PBE=60°
∴△PBE是正三角形。
∴PE=PB又EF=PC
∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF
当PA、PE、EF在一条直线上的时候，
L=PA+PE+EF的值最小（如图）
在△ABF中，∠ABP=120°
∴AF=
3
∴L=PA+PB+PC≤3
（2）过点P作BC的平行线分别交
AB、AC于D、G
则△ADG是正三角形
∴∠ADP=∠AGP，AG=DG
∵∠APD＞∠AGP
∴∠APD＞∠ADP
∴AD＞PA①
又BD+PD＞PB②
CG+PG＞PC③
①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG＞PA+PB+PC
∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC＞PA+PB+PC=L
∵AB=AC=1∴L＜2
由
（1）
（2）可知：
3≤L＜2．
P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
将△BCP绕点B顺时针旋转60°
得△BEF，连接PE，
则△BPE是正三角形
∴PE=PB
∴PA＋PB＋PC=PA+PE+EFB
∴要使PA＋PB＋PC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上（如图）
此时AF=PA+PE+EF
过点F作FG⊥AB的延长线于G
则∠GBF=180°
-∠ABF=180°
-150°
=30°
，BG=
∴GF=
31=23
GF2
AG2=
22
∴PA＋PB＋PC的最小值是23
3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
将△ABP绕点B顺时针旋转90°
则△BPQ是等腰直角三角形，P
∴PQ=2PB=2×
2a=22a
又QC=AP=a
EC
2a）
∴QP+QC=（2
+a=9a=PC
∴△PQC是直角三角形
∴∠BQC=135°
∵BC=BQ+CQ-2BQ·
CQ·
cos∠BQC
=PB2+PA2-2PB·
PAcos135°
=4a2+a2-2×
2a×
a×
（-2）
解得BC=522a
∴正方形的边长为522a
4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80°
，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30°
，∠EBA＝20°
，求
∠BED的度数．
在AB上取一点F，使∠BCF=60°
，CF交BE于G，连接EF、DG
∵∠ABC=80°
，∠ABE=20°
，∴∠EBC=60°
，又∠BCG=60°
∴△BCG是正三角形∴BG=BC
∵∠ACB=80°
，∠BCG=60°
∴∠FCA=20°
∴∠EBA=∠FCA
FE
又∵∠A=∠A，AB=AC∴△ABE≌ACF∴AE=AF
∴∠AFE=∠AEF=2（180°
-∠A）=80°
又∵∠ABC=80°
=∠AFE∴EF∥BC∴∠EFG=∠BCG=60°
∴△EFG是等边三角形∴EF=EG，∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°
∵ACB=80°
，∠DCA=30°
∴∠BCD=50°
∴∠BDC=180°
-∠BCD-∠ABC=180°
-50°
-80°
=50°
∴∠BCD=∠BDC∴BC=BD前已证BG=BC∴BD=BG
∠BGD=∠BDG=（180°
-∠ABE）=80°
2
∴∠FGD=180°
-∠BGD-∠EGF=180°
-60°
=40°
又∠DFG=180°
-∠AFE-∠EFG=180°
∴∠FGD=∠DFG∴DF=DG又EF=EG，DE=DE∴△EFD≌△EGD
BC
∴∠BED=∠FED=∠FEG=×
60°
22
5、如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD
交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，若AC=6，BC=8，求线段PD的
长。
∵∠ACD=∠BCD
∴AD=BD
∴AD=BD
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∴△ABD是等腰直角三角形
∵∠ACB=90°
，AC=6，BC=8∴AB=10
∴AD=AB·
cos∠DAB=10×
2=52
又AE⊥CD，∠ACD=45°
∴△ACE是等腰直角三角形
∴CE=AE=AC·
cos∠CAE=6×
2=3
223
32
在△ADE中，DE=AD-AE
∴DE=5
∴DE=4
（
）-（
）
∴CD=CE+DE=32+42=72
∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P∴△PDA∽△PCD∴PD
PA
5
PC
PD
CD
7
∴PC=7
PD，PA=5
∵PC=PA+AC∴7
PD=5
PD+6
解得PD=35
4
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