人教版七年级数学下册备课素材Word文档格式.docx

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（1）写出∠AOC,∠BOE的邻补角;

（2）写出∠DOA,∠EOC的对顶角;

（3）如果∠AOC=50°

求∠BOD,∠COB的度数.

图5-1-3

【模型建立】

两直线相交形成两对对顶角,四对邻补角.解答相交线问题要根据对顶角相等与邻补角互补的性质建立数量关系,再通过代数计算解答问题.

【变式变形】

1.[邵阳中考]如图5-1-4所示,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOD=160°

则∠BOC的大小为（D）

A.20°

　　　　　　B.60°

　　　　　　C.70°

　　　　　　D.160°

图5-1-4

2.如图5-1-5,已知直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,若∠EOC=100°

则∠BOD的度数是（C）

B.40°

C.50°

D.80°

图5-1-5

3.如图5-1-6,直线AB,CD,EF相交于点O,∠1=20°

∠BOC=80°

求∠2的度数.

图5-1-6

[答案:

∠2=60°

]

[命题角度1]考查对顶角及邻补角的概念

（1）从顶点的位置关系及角两边的位置关系考虑

首先,看两个角是否有公共顶点,若没有公共顶点一定不是这两种关系的角.

其次,看这两个角的两边是否互为反向延长线:

若两个角有一边互为反向延长线,另一边是两角的公共边,则这两个角互为邻补角;

若两个角的两边互为反向延长线,则这两个角互为对顶角.

（2）从两角的数量关系考虑

互为对顶角的两角相等;

互为邻补角的两个角的度数和为180°

.相等的角并不一定是对顶角,互补的角并不一定是邻补角.

例　如图5-1-7所示,∠1和∠2是对顶角的图形有　③　,其中存在邻补角的图形有　①②③④　.（填图形序号） 

图5-1-7

　　[命题角度2]考查对顶角相等、邻补角互补的性质

根据图形特征及题目当中的已知条件,运用对顶角相等与邻补角互补及其他知识（如角平分线的性质等）将角的位置关系转化为角的数量关系,再通过代数运算求解.

例1　若∠1,∠2是对顶角,∠3与∠1互补,且∠3=45°

则∠2=　135　度. 

例2　如图5-1-8,直线AB,CD相交于点O,∠EOD=90°

若∠AOE=2∠AOC,则∠DOB的度数为（B）

图5-1-8

A.25°

　　　　B.30°

　　　　C.45°

　　　　D.60°

　　[命题角度3]考查对顶角、邻补角性质的应用

利用对顶角、邻补角的性质可以求解不能直接测量的角的度数,主要是通过作反向延长线构造能够直接测量的角来解决问题.

例　古城黄冈的旅游资源十分丰富,“桃林春色,柏子秋波”便是其八景之一.如图5-1-9,你能设计出一种测量“柏子古塔”外墙底部的底角（图中∠ABC）大小的方案吗?

图5-1-9

解:

方案一:

如图5-1-10,延长AB至点D,量出∠CBD的度数,再由邻补角的定义,求出∠ABC的度数.

图5-1-10

方案二:

如图5-1-10,分别延长AB,CB至点D,E,量出∠DBE的度数,再根据对顶角相等,可得出∠ABC的度数.（答案不唯一,写出一种即可）

P3　练习

如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型．你能说出其中的一些邻补角与对顶角吗？

两根木条所成的角中，如果∠α＝35°

，其他三个角各等于多少度？

如果∠α等于90°

，115°

，m°

呢？

答案：

如果∠α是35°

，其他三个角分别是145°

，35°

，145°

；

∠α是90°

，其他三个角都是90°

∠α是115°

，其他三个角分别是65°

，65°

∠α是m°

，其他三个角分别是（180－m）°

，（180－m）°

.

P5　练习

1．当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？

为什么？

这两条直线互相垂直．

2．画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线．如图，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线．

（图略）．

P6　练习

如图，三角形ABC中，∠C＝90°

（1）分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离是哪些线段的长；

（2）三条边AB，AC，BC中哪条边最长？

（1）点A到直线BC的距离、点B到直线AC的距离分别是线段AC，BC的长；

（2）根据“垂线段最短”，可知线段AB最长．

P7　练习

1．分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角．

图

（1）中，同位角有∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8；

内错角有∠4与∠5，∠3与∠6；

同旁内角有∠3与∠5，∠4与∠6.图

（2）中．同位角有∠1与∠3，∠2与∠4，同旁内角有∠2与∠3.

2．如图，∠B与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？

它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？

对∠C进行同样的讨论．

∠B与∠DAB是内错角；

∠B与∠C，∠BAE，∠BAC是同旁内角．∠C与∠EAC是内错角，∠C与∠DAC，∠BAC，∠B是同旁内角．

P7　习题5.1

复习巩固

1．下列各图中，∠1和∠2是不是对顶角？

（2）是，

（1）（3）（4）不是．

2．如图，直线AB，CD，EF相交于点O.

（1）写出∠AOC，∠BOE的邻补角；

（2）写出∠DOA，∠EOC的对顶角；

（3）如果∠AOC＝50°

，求∠BOD，∠COB的度数．

（1）∠AOC的邻补角是∠AOD和∠BOC，∠BOE的邻补角是∠AOE和∠BOF；

（2）∠DOA的对顶角是∠BOC，∠EOC的对顶角是∠DOF；

（3）∠BOD＝50°

，∠COB＝130°

3．找出图中互相垂直的线段，并用三角尺检验．

AO⊥CO，BO⊥DO.

4．如图，在一张半透明的纸上画一条直线l，在l上任取一点P，在l外任取一点Q，折出过点P且与l垂直的直线．这样的直线能折出几条？

过点Q呢？

过点P与直线l垂直的直线只能折出一条，过点Q与直线l垂直的直线也只能折出一条，这是因为“在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”．

5．如图，直线AB,CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°

.求∠AOD的度数．

∠AOD＝∠BOC＝90°

＋∠EOC＝125°

6．如图，画AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F.

（图略，用三角尺或量角器来画）．

7．如图，用量角器画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，比较点P到OA，OB的距离的大小．

（图略，可以用量角器、三角尺、刻度尺）．

综合应用

8．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC.

（1）若∠EOC＝70°

，求∠BOD的度数；

（2）若∠EOC∶∠EOD＝2∶3，求∠BOD的度数．

（1）因为OA平分∠EOC，所以∠AOC＝

∠EOC＝35°

，从而∠BOD＝∠AOC＝35°

（2）设∠EOC＝2x°

，则∠EOD＝3x°

.由∠EOC和∠EOD互补，可得∠EOC十∠EOD＝180°

，从而x＝36.所以∠EOC＝72°

.因为OA平分∠EOC，所以∠AOC＝36°

，从而∠BOD＝∠AOC＝36°

9．图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？

根据“对顶角相等”，活动指针的读数，就是所测角的度数．

10．如图，这是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少（比例尺为1∶150）?

如图，跳远成绩应是落在沙坑中的脚印上最后的点P到起跳线的距离，也就是垂线段PA的长．用刻度尺量得图中PA≈2.7cm，2.7×

150＝405（cm），因此小明同学的跳远成绩大约是4.05m.

11．如图，∠1和∠2，∠3和∠4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？

它们各是什么位置关系的角？

图

（1）中，∠1和∠2是直线AB，CD被直线BD所截形成的，它们是内错角；

∠3和∠4是直线AD，BC被直线BD所截形成的，它们是内错角．图

（2）中，∠1和∠2是直线AE，DC被直线BC所截形成的，它们是同旁内角；

∠3和∠4是直线AD，BC被直线AE所截形成的，它们是同位角．

拓广探索

12．如图，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？

A，B，C三点在同一条直线上．这是因为如果A，B，C三点不在同一条直线上，那么过点B就有两条直线和直线l垂直，而这是不可能的．

13．直线AB，CD相交于点O.

（1）OE，OF分别是∠AOC，∠BOD的平分线，画出这个图形．

（2）射线OE，OF在同一条直线上吗？

（3）画∠AOD的平分线OG.OE与OG有什么位置关系？

（1）如图；

（2）由于AB，CD相交于点O，所以∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC是对顶角，而OE，OF分别是∠AOC，∠BOD的平分线，所以∠AOE＋∠AOD＋∠DOF＝

×

360°

＝180°

，从而射线OE,OF在同一条直线上；

（3）因为OG平分∠AOD，所以∠AOE＋∠AOG＝

（∠AOC＋∠AOD）＝

180°

＝90°

，所以OE⊥OG.

1.下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（　　）

2.下列说法：

（1）顶点相对且相等的两角是对顶角;

（2）有公共顶点且相等的两角是对顶角;

（3）若一角的两边分别是另一角的两边的反向延长线，则这两角是对顶角;

（4）两直线相交，有公共顶点但没有公共边的两角是对顶角,其中正确的是（）

A.

（1）

（2）B.

（2）（3）

C.（3）（4）D.

（1）（3）（4）

3.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOD，若∠BOD=76°

，则∠BOM等于（　　）

A．38°

B．104°

C．142°

D．144°

4.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=100°

，则∠BOD的度数是（　）

A．20°

B．40°

C．50°

D．80°

5.如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOC=124°

，∠1比∠2大10°

，则∠1=32

度,

∠2=22

度．

答案

1.B2.C3.C4.C5.3323

专题一与相交线有关的规律探究题

1．在同一平面内，1条直线可将平面分成　部分；

2条直线最多可将平面分成　部分；

3条直线最多可将平面分成　部分；

……

10条直线最多可将平面分成　部分．

2．在同一平面内，两条直线相交于一点，可以产生　对邻补角；

三条直线相交于一点，可以产生　对邻补角；

四条直线相交于一点，可以产生　对邻补角；

条直线相交于一点，可以产生　对邻补角．

3．（操作探究题）随意画一个锐角∠MON和一个钝角∠M′O′N′，画出∠MON的平分线OP和∠M′O′N′的平分线O′P′，如图．

（1）在OP上任意取一点A，作AB⊥OM，AC⊥ON，垂足分别为B，C两点；

（2）在O′P′上任意取一点A′，作A′B′⊥O′M′，A′C′⊥O′N′，垂足分别为B′，C′两点；

（3）通过度量线段AB，AC，A′B′，A′C′的长度，发现AB　　AC，A′B′

　　A′C′（填“＝”或“≠”）；

（4）通过上面的作图和度量，你发现了什么规律？

请用一句话表述出来．

专题二对顶角、“三线八角”的辨认与计数

4．如图是一种孩子们玩的叫做“风车”的玩具，这种风车共包含对顶角（　　）

A．3对B．6对C．9对D．12对

5．如图，请找出图中∠1的所有同位角．

状元笔记

［知识要点］

1．两条直线相交，有且只有一个交点．

2．两条直线相交，会产生对顶角和邻补角；

两条直线被第三条直线所截，会产生同位角、内错角、同旁内角．

3．点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度．

[方法技巧]

1．正确理解与相交线有关的概念，是从较复杂的图形中辨认基本图形的基础．很多几何概念都可以“顾名思义”，如，要辨别同旁内角，就要想想谁的同旁？

什么之内？

2．要多练习画垂线，要掌握测量一点到一直线距离的方法，即先找到（或画出）垂线段，再测量其长度．

1．24756 

【解析】同一平面内，1条直线可将平面分成1＋1＝2部分；

2条直线最多可将平面分成1＋1＋2＝4部分；

3条直线最多可将平面分成1＋1＋2＋3＝7部分；

10条直线最多可将平面分成1＋1＋2＋3＋…＋10＝56部分．

2．41224２n（n-1）【解析】２在同一平面内，两条直线相交于一点，可以产

生4对邻补角；

3条直线相交于一点，可以产生4×

（1＋2）＝12对邻补角；

4条直线相交于一点，可以产生4×

（1＋2＋3）＝24对邻补角；

n条直线相交于一点，可以产生4×

（1＋2＋3＋…＋n－1）＝4×

＝2n（n-1）对顶角．

3．解：

（1）如下面左图．

（2）如下面右图．

（3）＝＝

（4）角平分线上的点到角两边的距离相等．

4．B【解析】对顶角是由两条直线相交构成的．一条直线和一个端点在直线上的射线构不成对顶角．图中的对顶角是由三条直线相交于一点构成的，与手柄无关．设这三条直线分别为a、b、c，因为任意两条直线相交都能产生两对对顶角，从a、b、c三条直线中任取两条，共有a和b、b和c、c和a三种不同情况，所以这种风车图案共包含2×

3＝6对对顶角．

5．解：

∠1的所有同位角有∠GDC，∠GEB，∠EBH，∠DCH．

【解析】当把直线AG看作第三条直线时，只需再找一条与AG相交的直线（如直线DC）构成“三线八角”基本图形，得到∠1的同位角（如∠GDC）；

如此可找出图中∠1的所有同位角．

余角、补角是几何图形中两个重要的数量关系角概念，与角的位置无关．它们分别与两个特殊角直角、平角联系起来，在分析几何图形角的关系时占有十分重要的地位．借助余角、补角的概念，我们可以探究出它们很多有用的性质．由于余角、补角是数量关系角，而方程所表达的是一种相等的数量关系，因此借助方程求解余角、补角问题是最常用的思想方法．

一、正确理解互余、互补

⑴互余、互补是指两个角的数量关系，而不是三个或更多角的关系．

两个角的和等于90°

（直角）时，称这两个角互为余角．而三个或更多角的和也为90°

（直角）时，则不能称它们互为余角．

两个角的和等于180°

（平角）时，称这两个角互为补角．而三个或更多角的和也为180°

（平角）时，则不能称它们互为补角．

⑵余角、补角都是一种“相互”关系．

如∠1、∠2互余，即∠1+∠2=90°

，此时∠1叫∠2的余角，而∠2也叫∠1的余角．

同时一个角∠α的余角都可以用90°

－∠α来表示．

⑶余角、补角都是数量关系角，与位置关系无关．

余角、补角都是数量关系角，与位置关系无关．因此考虑两个角是否互余、互补，只考虑角的大小，而不需考虑这两个角是否有公共顶点、公共边等关系

二、余角、补角性质的探究

①两角互余，则这两个角必都为锐角；

②两角互补，则这两个角不可能同时为锐角或钝角．（只可能1锐1钝或两个角都为直角）

③一个角的余角必为锐角；

④一个角的补角可能为锐角、直角、钝角．（其中锐角的补角为钝角、钝角的补角为锐角、直角的补角还是直角．）

⑤一个锐角的补角比这个角的余角大90°

⑥同角或等角的余（补）角相等

三、巧用方程求解余角、补角问题

两点注意：

⑴正确设未知数并用含所设未知数的式子表示出相关的量：

一般设某个角为x，根据余角、补角定义，则这个角的余角为90－x，这个角的补角为180－x．

⑵依据已知条件,寻找出正确的相等关系，列出方程．

例．⑴互余且相等的两个角，各是多少度？

⑵已知∠A和∠B互为余角，∠A与∠C互为补角，∠B和∠C的和等于周角的

．求∠A+∠B+∠C的度数．

分析：

⑴设其中一个角为x，由两角互余，则另一个角为90－x．

又这两角相等，∴x=90－x 

解得 

x=45

⑵设∠A=x，依题意∠B=90－x，∠C=180－x

由∠B和∠C的和等于周角的

，∴（90－x）+（180－x）=

360

解得 

x=75 

∴∠B=90－x=15 

∠C=180－x=105

∴∠A+∠B+∠C=75+15+105=185°