北师大版七年级下册第13讲等腰三角形提高班Word文档下载推荐.docx

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在△ABC中，设∠A=x，∠B=x+30°

，分情况讨论：

当∠A=∠C为底角时，2x+（x+30°

）=180°

，解得x=50°

，顶角∠B=80°

；

当∠B=∠C为底角时，2（x+30）+x=180°

，解得x=40°

，顶角∠A=40°

故这个等腰三角形的顶角的度数为80°

或40°

故答案为：

80°

2．（2017秋•襄州区期末）在等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则该等腰三角形的底边长为______．

根据题意，

①当15是腰长与腰长一半时，AC+

AC=15，解得AC=10，

所以底边长=12﹣

×

10=7；

②当12是腰长与腰长一半时，AC+

AC=12，解得AC=8，

所以底边长=15﹣

8=11．

所以底边长等于7或11．

7或11．

3．（2017秋•枣阳市期末）一个等腰三角形的周长为20，一条边的长为6，则其两腰之和为______．

①底边长为6，则腰长为：

（20﹣6）÷

2=7，所以另两边的长为7，7，能构成三角形，7+7=14；

②腰长为6，则底边长为：

20﹣6×

2=8，能构成三角形，6+6=12．

12或14

4．（2017秋•诸暨市期末）已知等腰三角形的周长为8，其中一边长为2，则该等腰三角形的腰长为_____．

①2是腰长时，底边为：

8﹣2×

2=4，

三角形的三边长分别为2、2、4，

∵2+2=4，

∴不能组成三角形，

②2是底边长时，腰长为：

（8﹣2）=3，

三角形的三边长分别3、3、2，

能组成三角形，

综上所述，该等腰三角形的腰长是3．

3．

5．（2018春•李沧区期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°

，则其顶角度数为_______°

①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°

+48°

=138°

②如图1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，

故顶角是90°

﹣48°

=42°

42或138．

6．（2018春•邗江区期中）已知等腰三角形的一条边等于4，另一条边等于9，那么这个三角形的第三边是_____．

当4为底时，其它两边都为9，4、9、9可以构成三角形；

当4为腰时，其它两边为4和9，因为4+4=8＜9，所以不能构成三角形．

9．

知识点2等腰三角形的性质---边角关系

等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），

即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.

1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.

设∠ACE=

，∠ECD=

，∠DCB=

∵BC=BE，

∴∠CED=∠ECB=

∵AC=AD，

∴∠ADC=∠ACD=

在△CDB中，∠B=

，

在△ACE中，∠A=

在△ABC中，∠ACB=90°

∴∠A+∠B=90°

，即

=90°

∴2

解得

=45°

于是∠DCE=45°

本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．

2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，

∴△ABC的周长﹣△EBC的周长

=（AB+AC+BC）-（AC+BC）

=AB，

∴AB=40﹣24=16．

本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解.

1．（2017春•成华区期末）如图△ABC中，AB=AC，点E、D、F分别是边AB、BC、AC边上的点，且BE=CD，CF=BD．若∠EDF=50°

，则∠A的度数为_____．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BDE与△CEF中

∴△BDE≌△CFE．

∴∠BDE=∠CFD，

∵∠EDF=50°

∴∠BDE+∠CDF=∠CDF+∠CFD=130°

∴∠C=50°

∴∠C=∠B=50°

∴∠A=180°

﹣50°

=80°

2．（2017秋•浦东新区校级期末）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°

，AD=AE，求∠EDC的度数．

设∠EDC=x，∠B=∠C=y，

∠AED=∠EDC+∠C=x+y，

又因为AD=AE，

所以∠ADE=∠AED=x+y，

则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，

又因为∠ADC=∠B+∠BAD，

所以2x+y=y+30，

解得x=15．

所以∠EDC的度数是15°

知识点3等腰三角形的性质---三线合一

等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.

例：

已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，

①AD⊥BC②BD=CD③AD平分∠BAC,

上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.

即①

②，③；

②

①，③；

③

①，②.

1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC边上的一点，且∠CBE=∠CAD．

求证：

BE⊥AC．

【解析】证明：

∵AB=AC，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∴∠CAD+∠C=90°

又∵∠CBE=∠CAD，

∴∠CBE+∠C=90°

∴∠BEC=90°

即BE⊥AC．

本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.

注：

等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.

1．（2017秋•莘县期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，在BC的延长线上取一点E，使CE=CD，连接DE，求证：

BD=DE．

【解答】证明：

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=

∠ABC，

∵CD=CE，

∴∠E=∠CDE，

∵∠ACB=∠E+∠CDE，

∴∠E=

∠ACB，

∴∠E=∠DBE，

∴BD=DE．

2．（2017秋•东城区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．

（1）求证：

AM∥BC；

（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．

（1）∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD=

∵AM平分∠EAC，

∴∠EAM=∠MAC=

∴∠MAD=∠MAC+∠DAC=

=

∵AD⊥BC

∴∠ADC=90°

∴∠MAD+∠ADC=180°

∴AM∥BC．

（2）△ADN是等腰直角三角形，

理由是：

∵AM∥AD，

∴∠AND=∠NDC，

∵DN平分∠ADC，

∴∠ADN=∠NDC=∠AND．

∴AD=AN，

∴△ADN是等腰直角三角形．

知识点4等腰三角形的判定与性质

1.等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.

2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.

1.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______个．

【答案】9

①以AB作为等腰三角形的底边，则符合条件的C一定在线段AB的垂直平分线上，且处于格点上，图中红线上的点，共5个；

②以AB作为等腰三角形的一个腰，

当点A是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在紫色线上，共有2个，

当点B是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在蓝色线上，共有2个，

综合①②可知，符合条件的点C共有9个.

故答案是：

9.

本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.

2.如图，∠BOC=60°

，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．

【答案】

或10

当PO=QO时，△POQ是等腰三角形；

如图1所示：

当P点在O的左侧时，

∵PO=AO﹣AP=10﹣2t，OQ=1t

∴当PO=QO时，

10﹣2t=t

解得t=

即当t=

时，△POQ是等腰三角形；

如图2所示：

当P点在O的右侧，△POQ是等腰三角形，

∵∠BOC=60°

∴△POQ是等边三角形，

∴PO=QO=PQ

∵PO=AP﹣AO=2t﹣10，OQ=1t；

∴2t﹣10=t；

解得t=10；

或10．

本题主要考查了等腰三角形的性质，由等腰三角形的两个腰相等得出方程是解决问题的关键，注意本题分类讨论时，由于∠POQ=60°

，可得出△POQ是等边三角形，再根据PO=QO进行求解．

3.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．

DE=CE．

（2）若∠CDE=35°

，求∠A的度数．

（1）∵CD是∠ACB的平分线，

∴∠BCD=∠ECD．

∵DE∥BC，

∴∠EDC=∠BCD，

∴∠EDC=∠ECD，

∴DE=CE．

（2）解：

∵∠ECD=∠EDC=35°

∴∠ACB=2∠ECD=70°

∴∠ABC=∠ACB=70°

﹣70°

=40°

本题主要考查的是“平行+角分线”模型，在之后学习菱形证明题时也会用到，需记牢.

模型如下：

如图所示，①∠1=∠2；

②AC∥BD;

③AB=AC（△ABC是等腰三角形）

上述条件任意两个成立则第三个也成立.

即①②

③；

①③

②；

②③

①.

1．（2018•安徽模拟）如图，在△ABC中，BC=4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分別交AB、AC于点E、F，若EF=2DF，则AB的长为（　　）

A．4B．6C．8D．10

如图，延长AD，BC交于点G，

∵BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，

∴∠BAD=∠G，

∴AB=BG，

∴D是AG的中点，

又∵DE∥BG，

∴E是AB的中点，F是AC的中点，

∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，

∴EF=

BC=2，

又∵EF=2DF，

∴DF=1，

∴DE=3，

∴BG=2DE=6，

∴AB=6，

故选：

B．

2．（2018•河东区二模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°

，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为_____．

过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE=∠AEG，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE，

∴∠CAE=∠AEG，

∴AG=EG，

同理可得，EF=CF，

∵AB∥GE，BC∥EF，

∴∠BAC=∠EGF，∠BCA=∠EFG，

∴△ABC∽△GEF，

∵∠ABC=90°

，AB=6，BC=8，

∴AC=10，

∴EG：

EF：

GF=AB：

BC：

AC=3：

4：

5，

设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，

∵AC=10，

∴3k+5k+4k=10，

∴k=

∴EF=4k=

3．（2017春•平南县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，D为AB上的点，BD=CD=5，则AD=______．

在Rt△ABC中，∠C=90°

∵BD=DC，

∴∠B=∠DCB，

∵∠B+∠A=90°

，∠DCB+∠DCA=90°

∴∠A=∠DCA，

∴AD=DC=5，

故答案为5．

综合运用

1.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有________个.

【答案】2

如上图：

分情况讨论．

①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；

②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．

因为S△ABC=1.5，

所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．

2．

2.如图，C是△ABE的BE边上一点，F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE，下列结论：

①AD⊥BC；

②CF⊥AE；

③∠1=∠2；

④AB+BD=DE

其中正确的结论有_________．

【答案】①④

①∵D是BC的中点，AB=AC，

∴AD⊥BC，故①正确；

②∵虽然AC=CE，F在AE上，但F点不一定是AE的中点，

∴无法证明CF⊥AE，故②错误；

③由②可知，CF不一定垂直于AE，则无法证明∠1=∠2，故③错误；

④∵D是BC的中点，

∴BD=DC，

∵AB=CE，

∴AB+BD=CE+DC=DE，故④正确．

故其中正确的结论有①④．

①④．

3.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AF，求证：

DE=DF．

连接AD，

∵AB=AC，D是BC的中点，

∴∠EAD=∠FAD，

在△AED和△AFD中，

∴△AED

△AFD（SAS），

∴DE=DF．

4.如图，AD∥BC，∠BAC=70°

，DE⊥AC于点E，∠D=20°

（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；

（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．

（1）∵DE⊥AC于点E，

∴∠AED=90°

∵∠D=20°

∴∠CAD=90°

-∠D=90°

-20°

=70°

∵AD∥BC，

∴∠C=∠CAD=70°

∵∠BAC=70°

∴∠BAC=∠C，∠B=180°

-∠BAC-∠C=40°

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形.

（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，

∴BD⊥AC，

∵△ABC是等腰三角形，

∴DB是∠ABC的平分线．

5.已知等腰三角形△ABC，AB=AC，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．

如图，在△ABC中，AB=AC，且AD=BD．设AB=AC=x，BC=y，

（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时，

根据题意得，

解得x=10，y=7．

（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时，

解得x=8，y=11，

故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，11．

6.如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=16，求△ODE的周长.

∵BO平分∠ABC，

∴∠ABO=∠DBO，

又OD∥AB，

∴∠ABO=∠DOB，

∴∠DBO=∠DOB，

∴OD=BD，

同理OE=CE，

∵BC=16，

则△ODE的周长为：

OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16．