线性代数知识点总结汇总Word文档格式.docx

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（1）非齐次线性方程组系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它系数行列式必为0

（3）若齐次线性方程组系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；

如果方程组有非零解，那么必有D=0。

2矩阵

（一）矩阵运算

1、矩阵乘法注意事项：

（1）矩阵乘法规定前列后行一致；

（2）矩阵乘法不满足互换律；

（因式分解公式对矩阵不合用，但若B=E,O,A-1，A*,f（A）时，可以用互换律）

（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

2、转置性质（5条）

（1）（A+B）T=AT+BT

（2）（kA）T=kAT

（3）（AB）T=BTAT

（4）|A|T=|A|

（5）（AT）T=A

（二）矩阵逆

3、逆定义：

AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A逆矩阵，记为B=A-1

注：

A可逆充要条件是|A|≠0

4、逆性质：

（5条）

（1）（kA）-1=1/k·

A-1（k≠0）

（2）（AB）-1=B-1·

A-1

（3）|A-1|=|A|-1

（4）（AT）-1=（A-1）T

（5）（A-1）-1=A

5、逆求法：

（1）A为抽象矩阵：

由定义或性质求解

（2）A为数字矩阵：

（A|E）→初等行变换→（E|A-1）

（三）矩阵初等变换

6、初等行（列）变换定义：

（1）两行（列）互换；

（2）一行（列）乘非零常数c

（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

7、初等矩阵：

单位矩阵E通过一次初等变换得到矩阵。

8、初等变换与初等矩阵性质：

（1）初等行（列）变换相称于左（右）乘相应初等矩阵

（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j两行互换）；

Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）

Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）

★（四）矩阵秩

9、秩定义：

非零子式最高阶数

（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O

（2）r（An×

n）=n（满秩）←→|A|≠0←→A可逆；

r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。

10、秩性质：

（7条）

（1）A为m×

n阶矩阵，则r（A）≤min（m,n）

（2）r（A±

B）≤r（A）±

（B）

（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}

（4）r（kA）=r（A）（k≠0）

（5）r（A）=r（AC）（C是一种可逆矩阵）

（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）

（7）设A是m×

n阶矩阵，B是n×

s矩阵，AB=O，则r（A）+r（B）≤n

11、秩求法：

由定义或性质求解；

A→初等行变换→阶梯型（每行第一种非零元素下面元素均为0），则r（A）=非零行行数

（五）随着矩阵

12、随着矩阵性质：

（8条）

（1）AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-1

（2）（kA）*=kn-1A*

（3）（AB）*=B*A*

（4）|A*|=|A|n-1

（5）（AT）*=（A*）T

（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1

（7）（A*）*=|A|n-2·

A

★（8）r（A*）=n（r（A）=n）；

r（A*）=1（r（A）=n-1）；

r（A*）=0（r（A）＜n-1）

（六）分块矩阵

13、分块矩阵乘法：

规定前列后行分法相似。

14、分块矩阵求逆：

3向量

（一）向量概念及运算

1、向量内积：

（α，β）=αTβ=βTα

2、长度定义：

||α||=

3、正交定义：

（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=0

4、正交矩阵定义：

A为n阶矩阵，AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±

1

（二）线性组合和线性表达

5、线性表达充要条件：

非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表达

（1）←→非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。

★

（2）←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵秩等于增广矩阵秩，用于大题第一步检查）

6、线性表达充分条件：

（理解即可）

若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性有关，则β可由α1，α2，…，αs线性表达。

7、线性表达求法：

（大题第二步）

设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表达。

（α1，α2，…，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）

行最简形：

每行第一种非0数为1，别的元素均为0

（三）线性有关和线性无关

8、线性有关注意事项：

（1）α线性有关←→α=0

（2）α1，α2线性有关←→α1，α2成比例

9、线性有关充要条件：

向量组α1，α2，…，αs线性有关

（1）←→有个向量可由别的向量线性表达；

（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；

★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s即秩不大于个数

特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性有关

（1）←→r（α1，α2，…，αn）＜n

（2）←→|α1，α2，…，αn|=0

（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆

10、线性有关充分条件：

（1）向量组具有零向量或成比例向量必有关

（2）某些有关，则整体有关

（3）高维有关，则低维有关

（4）以少表多，多必有关

★推论：

n+1个n维向量一定线性有关

11、线性无关充要条件

向量组α1，α2，…，αs线性无关

（1）←→任意向量均不能由别的向量线性表达；

（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解

（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s

特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关

←→r（α1，α2，…，αn）=n←→|α1，α2，…，αn|≠0←→矩阵可逆

12、线性无关充分条件：

（1）整体无关，某些无关

（2）低维无关，高维无关

（3）正交非零向量组线性无关

（4）不同特性值特性向量无关

13、线性有关、线性无关鉴定

（1）定义法

★

（2）秩：

若不大于阶数，线性有关；

若等于阶数，线性无关

【专业知识补充】

（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵秩不变；

在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵秩不变。

（2）若n维列向量α1，α2，α3线性无关，β1，β2，β3可以由其线性表达，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，则r（β1，β2，β3）=r（C），从而线性无关。

←→r（β1，β2，β3）=3←→r（C）=3←→|C|≠0

（四）极大线性无关组与向量组秩

14、极大线性无关组不唯一

15、向量组秩:

极大无关组中向量个数成为向量组秩

对比：

矩阵秩:

★注:

向量组α1，α2，…，αs秩与矩阵A=（α1，α2，…，αs）秩相等

★16、极大线性无关组求法

（1）α1，α2，…，αs为抽象：

定义法

（2）α1，α2，…，αs为数字：

（α1，α2，…，αs）→初等行变换→阶梯型矩阵

则每行第一种非零数相应列向量构成极大无关组

（五）向量空间

17、基（就是极大线性无关组）变换公式：

若α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βn是n维向量空间V两组基，则基变换公式为（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cn×

n

其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn过渡矩阵。

C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）

18、坐标变换公式：

向量γ在基α1，α2，…，αn与基β1，β2，…，βn坐标分别为x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，，即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn，则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。

（六）Schmidt正交化

19、Schmidt正交化

设α1，α2，α3线性无关

（1）正交化

令β1=α1

（2）单位化

4线性方程组

（一）方程组表达形与解向量

1、解形式：

（1）普通形式

（2）矩阵形式：

Ax=b；

（3）向量形式：

A=（α1，α2，…，αn）

2、解定义：

若η=（c1，c2，…，cn）T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b一种解（向量）

（二）解鉴定与性质

3、齐次方程组：

（1）只有零解←→r（A）=n（n为A列数或是未知数x个数）

（2）有非零解←→r（A）＜n

4、非齐次方程组：

（1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1

（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n

（3）无穷多解←→r（A）=r（A|b）＜n

5、解性质：

（1）若ξ1，ξ2是Ax=0解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0解

（2）若ξ是Ax=0解，η是Ax=b解，则ξ+η是Ax=b解

（3）若η1，η2是Ax=b解，则η1-η2是Ax=0解

【推广】

（1）设η1，η2，…，ηs是Ax=b解，则k1η1+k2η2+…+ksηs为

Ax=b解（当Σki=1）

Ax=0解（当Σki=0）

（2）设η1，η2，…，ηs是Ax=bs个线性无关解，则η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1为Ax=0s-1个线性无关解。

变式：

①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2

②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1

（三）基本解系

6、基本解系定义：

（1）ξ1，ξ2，…，ξs是Ax=0解

（2）ξ1，ξ2，…，ξs线性有关

（3）Ax=0所有解均可由其线性表达

→基本解系即所有解极大无关组

基本解系不唯一。

任意n-r（A）个线性无关解均可作为基本解系。

★7、重要结论：

（证明也很重要）

设A施m×

s阶矩阵，AB=O

（1）B列向量均为方程Ax=0解

（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）

8、总结：

基本解系求法

（1）A为抽象：

由定义或性质凑n-r（A）个线性无关解

（2）A为数字：

A→初等行变换→阶梯型

自由未知量分别取1,0,0；

0,1,0；

0,0,1；

代入解得非自由未知量得到基本解系

（四）解构造（通解）

9、齐次线性方程组通解（所有解）

设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0基本解系，

则Ax=0通解为k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r（其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）

10、非齐次线性方程组通解

设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0基本解系，η为Ax=b特解，

则Ax=b通解为η+k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r（其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）

（五）公共解与同解

11、公共解定义：

如果α既是方程组Ax=0解，又是方程组Bx=0解，则称α为其公共解

12、非零公共解充要条件：

方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解

←→

有非零解←→

13、重要结论（需要掌握证明）

（1）设A是m×

n阶矩阵，则齐次方程ATAx=0与Ax=0同解，r（ATA）=r（A）

（2）设A是m×

n阶矩阵，r（A）=n，B是n×

s阶矩阵，则齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B）

5特性值与特性向量

（一）矩阵特性值与特性向量

1、特性值、特性向量定义：

设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特性值λ特性向量。

2、特性多项式、特性方程定义：

|λE-A|称为矩阵A特性多项式（λn次多项式）。

|λE-A|=0称为矩阵A特性方程（λn次方程）。

注:

特性方程可以写为|A-λE|=0

3、重要结论：

（1）若α为齐次方程Ax=0非零解，则Aα=0·

α，即α为矩阵A特性值λ=0特性向量

（2）A各行元素和为k，则（1，1，…，1）T为特性值为k特性向量。

（3）上（下）三角或主对角矩阵特性值为主对角线各元素。

△4、总结：

特性值与特性向量求法

由定义或性质凑

由特性方程法求解

5、特性方程法：

（1）解特性方程|λE-A|=0，得矩阵An个特性值λ1，λ2，…，λn

n次方程必要有n个根（可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略）

（2）解齐次方程（λiE-A）=0，得属于特性值λi线性无关特性向量，即其基本解系（共n-r（λiE-A）个解）

6、性质：

（1）不同特性值特性向量线性无关

（2）k重特性值最多k个线性无关特性向量

1≤n-r（λiE-A）≤ki

（3）设A特性值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σaii

（4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A特性值为λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0

（5）设α是矩阵A属于特性值λ特性向量，则

f（A）

AT

A*

P-1AP（相似）

λ

f（λ）

λ-1

|A|λ-1

α

/

P-1α

（二）相似矩阵

7、相似矩阵定义：

设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B

8、相似矩阵性质

（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似

（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似

（3）相似矩阵有相似行列式、秩、特性多项式、特性方程、特性值、迹（即主对角线元素之和）

（4）若A与B相似，则AB与BA相似，AT与BT相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似

（三）矩阵相似对角化

9、相似对角化定义：

如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=

，

称A可相似对角化。

Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P每一列均为矩阵A特性值λi特性向量

10、相似对角化充要条件

（1）A有n个线性无关特性向量

（2）Ak重特性值有k个线性无关特性向量

11、相似对角化充分条件：

（1）A有n个不同特性值（不同特性值特性向量线性无关）

（2）A为实对称矩阵

12、重要结论：

（1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特性值个数，n-r（A）为零特性值个数

（2）若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特性值个数

（四）实对称矩阵

13、性质

（1）特性值全为实数

（2）不同特性值特性向量正交

（3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ

（4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

6二次型

（一）二次型及其原则形

1、二次型：

（2）矩阵形式（惯用）

2、原则形：

如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2

这样二次型称为原则形（对角线）

3、二次型化为原则形办法：

（1）配办法：

通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为原则形。

其中，可逆线性变换及原则形通过先配方再换元得到。

★

（2）正交变换法：

通过正交变换x=Qy，将二次型化为原则形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2

其中，λ1，λ2，…，λn是An个特性值，Q为A正交矩阵

正交矩阵Q不唯一，γi与λi相应即可。

（二）惯性定理及规范形

4、定义：

正惯性指数：

原则形中正平方项个数称为正惯性指数，记为p；

负惯性指数：

原则形中负平方项个数称为负惯性指数，记为q；

规范形：

f=z12+…zp2-zp+12-…-zp+q2称为二次型规范形。

5、惯性定理：

二次型无论选用如何可逆线性变换为原则形，其正负惯性指数不变。

（1）由于正负惯性指数不变，因此规范形唯一。

（2）p=正特性值个数，q=负特性值个数，p+q=非零特性值个数=r（A）

（三）合同矩阵

6、定义：

A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，称A与B合同

△7、总结：

n阶实对称矩阵A、B关系

（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相似特性值

（2）A、B合同（B=CTAC）←→相似正负惯性指数←→相似正负特性值个数

（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）

实对称矩阵相似必合同，合同必等价

（四）正定二次型与正定矩阵

8、正定定义

二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。

9、n元二次型xTAx正定充要条件：

（1）A正惯性指数为n

（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E

（3）A特性值均不不大于0

（4）A顺序主子式均不不大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列行列式）

10、n元二次型xTAx正定必要条件：

（1）aii＞0

（2）|A|＞0

11、总结：

二次型xTAx正定鉴定（大题）

（1）A为数字：

顺序主子式均不不大于0

（2）A为抽象：

①证A为实对称矩阵：

AT=A；

②再由定义或特性值鉴定

（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定

（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定