数学全国版教案 八升九9一元二次方程.docx
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数学全国版教案八升九9一元二次方程
教案
教材版本：
人教版.学校：
.
教师
年级
八升九
授课时间
课时
2课时
课题
第九讲一元二次方程
教材分析
本节内容是九年级上册的第一章一元二次方程，是初中三大类方程的其中一种，与后面的学习内容息息相关，也是中考必考的考点.本节课是第一节课，主要是让学生认识一元二次方程的定义，并会解一些简单的一元二次方程.
本讲题目较简单，以学生分析讲解为主，老师进行总结归纳，
拓展延伸的题目可根据学生情况和上课时间选择补充.
教学目标
知识技能
1.理解一元二次方程及其相关概念并能够根据定义确定字母参数的取值；
2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项；
3.理解一元二次方程的解的概念并能够根据方程的解求有关字母系数代数式的值.
4.会利用直接开平方法和配方法解一元二次方程.
数学思考
让学生通过动眼观察，动口表达，动脑思考等方式使学生理解一元二次方程的定义.
问题解决
在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.
情感态度
通过小组合作的活动，培养学生的合作意识和能力.
教学重点、难点
教学重点：
了解一元二次方程定义及应用；
理解一元二次方程的根的概念；
教学难点：
理解并掌握一元二次方程根的求法；
教学准备
动画多媒体语言课件
第一课时
复备内容及讨论记录
教学过程
一、导入
师：
前面八讲的内容，我们主要是对八年级下册的知识进行的巩固复习，从这节课开始，我们将进行九年级上册新知识的学习.首先，同学们回忆一下，我们都学习过了哪些方程？
生：
我们学习过了一元一次方程、二元一次方程（组），分式方程.
师：
恩，从今天开始，方程家族又多了一员，就是我们将要学习一元二次方程.
播放“考点情景”（建议播放到介绍一元二次方程的根停止，后面的介绍解一元二次方程的部分放下节课介绍）
师：
认识了一元二次方程，我们一起看一元二次方程的定义.
聚焦课标
1.一元二次方程
（1）只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）；
（2）其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项；
（3）满足一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的未知数x的值是这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.
师：
进入例1.
二、教学新授----典例呈现
题型一一元二次方程的定义
例1在下列方程中，一元二次方程有几个（）
①x3+3x2+7=0；②x2+x-=0；③ax2+bx+c=0；④x2-=2.
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案：
A
学生独立完成，教师指定学生讲解，并分别指出其中错误的序号，并指出其错误的原因.
师小结：
在判断一个方程是不是一元二次方程时，首先我们要将方程化为一般形式，然后再判断.必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）整式方程；
（4）含有一个未知数.
出示例1“以渔得鱼”，与例题类似，学生独立解答，并请学生讲解.
以渔得鱼
在下列方程中，是一元二次方程的为_____________________.
①x2+xy+6=0；②=x-1；③+-7=0；④x2-2x+2；⑤2x（x-2）=2x2+4；⑥x2=0；⑦（k2+1）x2-kx+5=0；⑧x2+-2=0.
答案：
③⑥⑦
总结：
判断方程是否为一元二次方程，首先要看是否为整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是否为2.
题型二一元二次方程的项与系数
例2一元二次方程2x2-4（x+1）-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项之和为（）
A.7B.-7C.8D.-8
答案：
B
学生独立完成，教师指定学生讲解，强调学生注意先化为一般式后再确定a，b，c的值.
出示例2“以渔得鱼”，与例题类似，学生独立解答，并请学生讲解.
以渔得鱼
把（x+3）（2x+5）-x（3x-1）=15化成一般形式为_______________，a=____，b=____，c=____.
答案：
-x2+12x=0；-1；12；0
注：
此题答案也可写为“x2-12x=0；1；-12；0”
总结：
一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项都是在其一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式.另外，要注意项的系数包括它前面的符号.
题型三一元二次方程的定义
例3如果（m-2）x|m|+mx-1=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）
A.2或-2B.2C.-2D.以上都不正确
答案：
C
师：
方程是一元二次方程应满足什么条件？
生：
方程如果是一元二次方程，那么未知数的最高次是2，也就是说|m|=2，同时保证m-2≠0就可以了.
出示例3“以渔得鱼”，与例题类似，学生独立解答，并请学生在黑板上板演解题过程.
以渔得鱼
已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+m2-1=0有一个根是0，求m的值.
答案：
解：
∵0是一元二次方程（m-1）x2+2x+m2-1=0的一个根，
∴（m-1）×02+2×0+m2-1=0，m-1≠0，
∴m=-1.
总结：
①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分，当a=0，b≠0时，方程为一元一次方程；
②如果明确了ax2+bx+c=0是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件.
拓展延伸：
1.已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，则a+b+c的值为（）
A．0B.1C.2D.3
答案：
A
1.师引导学生发现三个式子的特点.
师：
观察这道题，你有什么发现?
生：
三个方程形式相同，就是交换了a，b，c三个字母的顺序.
师：
三个方程恰有一个公共实数根，这里可以求出这个公共根吗？
生：
不能.（但猜测是1，当x=1时，三个式子都变成a+b+c=0）
师：
既然不知道，不妨先假设这个根为x0，然后呢？
生：
代入方程中，可得ax02+bx0+c=0，bx02+cx0+a=0，cx02+ax0+b=0.
师：
接下来怎么做呢？
生：
所要求的a+b+c，将三个式子相加即可得到（a+b+c）（x02+x0+1）=0，而x02+x0+1=（x0+）2+＞0，所以只能是a+b+c=0.
师：
一般已知方程的根我们就代入方程，这里没有告诉我们共同的根，我们不妨先假设再代入.
2.若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（）
A.1B.2C.-1D.-2
答案：
D
与拓展延伸1类似，代入即可.
三、知识检验
1.将一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0化成一般形式后为2x2-3x-1=0，则a+b-c的值为（）
A.4B.5C.6D.7
2.若关于x的方程（k2-4）x2+x+5=0是一元二次方程，则k的取值范围为（）
A.k≥1且k≠2B.k＞1且k≠2C.k≠1且k≠±2D.k≠±2
5.已知m是方程x2-2020x+1=0的一个根，则m2-2020m+=_______.
拓展创新：
对于下列问题：
若x2a+b-3xa-b+1=0是关于x的一元二次方程，求a，b的值.小聪、小华、小佳的解法如下：
小聪：
依题意得解得
小华：
依题意得解得
小佳：
依题意得或解得或
你认为上面三个同学的解法谁对谁错？
为什么？
请把你的解法写出来.
答案：
解：
上面三个同学的解法都不对.
依据题意得：
或或或或
解得或或或或
四、课堂小结
1.在判断一个方程是不是一元二次方程时，首先我们要将方程化为一般形式，然后再判断.必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）整式方程；
（4）含有一个未知数.
2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项都是在其一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式.另外，要注意项的系数包括它前面的符号.
3.①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分，当a=0，b≠0时，方程为一元一次方程；
②如果明确了ax2+bx+c=0是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件.
第二课时
复备内容及讨论记录
教学过程
一、导入
师：
上节课我们一起认识了一元二次方程，了解了一元二次方程的定义，一元二次方根的项与系数，以及一元二次方程的根的定义.接下来我们就一起学习如何解一元二次方程.
（建议将导入部分的最后一节在此播放）
聚焦课标：
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法
如果方程能够转化为x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么两边同时开方（降次）得到x=或nx+m=.
注：
x2=p或（nx+m）2=p（p＜0），方程无实数根.
（2）配方法
将方程ax2+bx+c=0（a≠0）通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
配方法解一元二次方程的步骤：
①二次项系数化为1；
②移项：
把方程x2+mx+n=0的常数项n移到方程另一侧，得方程x2+mx=-n；
③配方：
方程两边同加上一次项系数一半的平方，方程左边成为完全平方式；
④开方：
方程两边同时开平方（降次），得到一元一次方程并得出原方程的解.
二、教学新授----典例呈现
题型四直接开平方法解一元二次方程
例4用直接开平方法解方程：
（1）2x2=8；
（2）（x+1）2-25=0.
答案：
（1）解：
系数化为1，得：
x2=4，
开方，得：
x1=2，x2=-2.
（2）解：
移项，得：
（x+1）2=25，
系数化为1，得（x+1）2=100，
开方，得：
x+1=±10，
x1=9，x2=-11.
学生独立完成，教师指定学生在黑板上板演答题过程.
以渔得鱼（学生独立完成，并指定基础薄弱的学生回答）
给出一种运算：
对于函数y=xn，规定y′=nxn-1，例如：
若函数y=x4，则有y′=4x3.已知函数y=x3，则方程y′=12的解为_____________.
答案：
x1=2，x2=-2
总结：
直接开平方法解一元二次方程的步骤：
（1）将一元二次方程转化为x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）；
（2）利用平方根的意义，两边同时开方得到形如：
x=或nx+m=的一元一次方程；
（3）写出一元二次方程的解x1，x2的值.
题型五配方法解一元二次方程
例5用配方法解方程：
（1）x2+4x=-3；
（2）x2+x-8=0.
答案：
（1）解：
x2+4x+22=-3+22，
（x+2）2=1，
x+2=±1，
x1=-1，x2=-3.
（2）解：
x2+2x-16=0，
x2+2x=16，
x2+2x+12=16+12，
（x+1）2=17，
x+1=±，
x1=-1，x2=--1.
学生独立完成，教师指定学生在黑板上板演答题过程.
例5的“以渔得鱼”（学生独立完成，并指定一名学生板演解题过程）
以渔得鱼
若关于x的二次三项式x2-ax+a-1是一个完全平方式.求关于x的一元二次方程x2-ax+a-1=0的根.
解：
由题意可知，a-1=，
∴a2-4a+4=0，
∴（a-2）2=0，
∴a-2=0，
∴a=2.
将a=2带入方程可得x2-2x+1=0，
（x-1）2=0，
∴x-1=0，
∴x1=x2=1.
总结：
配方法解一元二次方程的步骤：
（1）二次项系数：
化为1；
（2）移项：
把方程x2+mx+n=0的常数项n移到方程另一侧，得方程x2+mx=-n；
（3）配方：
方程两边同加上一次项系数一半的平方，方程左边成为完全平方式；
（4）开方：
方程两边同时开平方，降次，得到一元一次方程并得出原方程的解.
题型六配方法的应用
例6“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，
例如：
x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，则（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5≥1.
试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：
因为x2-4x+6=（x_____）2+____，所以当x=____时，代数式x2-4x+6有____（填“大”或“小”）值，这个最值为_____.
（2）比较代数式x2-1与2x-3的大小.
答案：
（1）-，2，2，2，小，2
（2）解：
x2-1-（2x-3）=x2-2x+2=（x-1）2+1＞0，
则x2-1＞2x-3.
学生独立完成，教师指定学生讲解.
例6的“以渔得鱼”（学生独立完成，并指定一名学生板演解题过程）
以渔得鱼
利用“配方法”说明下列问题：
（1）对于任何实数x，均有2x2+4x+3＞0；
（2）不论x为何实数，多项式2x2-4x-2的值总小于3x2-5x-1的值.
答案：
（1）证明：
∵2x2+4x+3=2（x2+2x+1）+1=2（x+1）2+1＞0，
∴2x2+4x+3＞0.
（2）证明：
∵3x2-5x-1-（2x2-4x-2）=x2-x+1=（x-）2+＞0，
∴2x2-4x-2＜3x2-5x-1.
总结：
整式ax2+bx+c（a≠0）利用配方法转化完全平方式与一个常数的和的形式后可得，当a＞0时，该整式有最小值；当a＜0时，该整式有最大值.
拓展延伸：
3.阅读材料：
已知方程x2+x+1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：
设所求方程的根为y，则y=2x，∴x=，
把x=代入已知方程，得（）2+-1=0，
化简得y2+2y-4=0，
所以，所求方程为y2+2y-4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”.
利用阅读材料提供的换根法求新方程：
（1）已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；
（2）已知方程x2+3x-5=0，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知根大1，则所求方程为.
答案：
（1）y2-y-2=0；
（2）y2+y-7=0.
三、知识检验
3.方程y2+a=0的根是（）
A.±B.无解C.0D.±或无解
4.关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-b2=0的根是___________________.
6.用直接开平方法解方程
（1）（3x-2）（3x+2）=16；
（2）（5-2x）2=9（x+3）2.
7.用配方法解方程
（1）x2-3x+1=0；
（2）3x2+4x-1=0.
8.△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且满足a4+b4+c4=a2c2+b2c2，试判定△ABC的形状.
四、课堂小结
1.直接开平方法
如果方程能够转化为x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么两边同时开方（降次）得到x=或nx+m=.
注：
x2=p或（nx+m）2=p（p＜0），方程无实数根.
2.配方法解一元二次方程的步骤：
①二次项系数化为1；
②移项：
把方程x2+mx+n=0的常数项n移到方程另一侧，得方程x2+mx=-n；
③配方：
方程两边同加上一次项系数一半的平方，方程左边成为完全平方式；
④开方：
方程两边同时开平方（降次），得到一元一次方程并得出原方程的解.
知识检验答案
1.B
2.A
3.D
4.x1=-a+b，x2=-a-b
5.0
6.
（1）x1=，x2=-；
（2）x1=-，x2=-14.
7.
（1）x1=，x2=；
（2）x1=，x2=-.
8.解：
∵a4+b4+c4=a2c2+b2c2，
∴a4+b4+c4-a2c2-b2c2=0，
∴（a4-a2c2+c4）+（b4-b2c2+c4）=0
∴（a2-c2）2+（b2-c2）2=0，
∴a2=c2，b2=c2，
即a=b，a2+b2=c2.
∴△ABC是等腰直角三角形.
拓展创新：
解：
上面三个同学的解法都不对.
依据题意得：
或或或或
解得或或或或
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