八年级数学因式分解 同步练习 新课标 人教版Word格式.docx

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（2）完全平方公式：

a2±

2ab+b2=（a±

b）2.

其中，a2±

2ab+b2叫做完全平方式.

即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.

4x2-12xy+9y2=（2x）2-2·

2x·

3y+（3y）2=（2x-3y）2.

下列变形是否正确？

为什么？

（1）x2-3y2=（x+3y）（x-3y）；

（2）4x2-6xy+9y2=（2x-3y）2；

（3）x2-2x-1=（x-1）2.

点拨

（1）不正确，目前在有理数范围内不能再分解.

（2）不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解.

（3）不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解.

知识点4分组分解法

（1）形如：

am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）

=a（m+n）+b（m+n）

=（m+n）（a+b）

（2）形如：

x2-y2+2x+1=（x2+2x+1）-y2

=（x+1）2-y2

=（x+y+1）（x-y+1）.

把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.

知识规律小结

（1）分组分解法一般分组方式不惟一.

将am+an+bm+bn因式分解，方法有两种：

方法1：

am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b）.

方法2：

am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（m+n）（a+b）.

（2）分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式.

am+an+bm+bn分组后有公因式；

x2-y2+2x+1分组后能运用公式.

分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：

（1）按字母分组；

（2）按次数分组；

（3）按系数分组.

把下列各式因式分解.

（1）am+bm+an+bn；

（2）x2-y2+x+y；

（3）2ax-5by+2ay-5bx.

知识点5关于x2+（p+q）x+pq型二次三项式的因式分解

x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）.

事实上：

x2+（p+q）x+pq

=x2+px+qx+pq

=（x2+px）+（qx+pq）

=x（x+p）+q（x+p）

=（x+p）（x+q）.

∴x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）.

利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.

把x2+3x+2分解因式.

（分析）因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×

2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+（p+q）x+pq型式子.

解：

x2+3x+2=（x+1）（x+2）

典例剖析师生互动

基础知识应用题

本节基础知识的应用主要包括：

（1）掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式；

（2）会分解关于x2+（p+q）x+pq型的二次三项式.

例1用提公因式法将下列各式因式分解.

（1）ax-ay；

（2）6xyz-3xz2；

（3）-x3z+x4y；

（4）36aby-12abx+6ab；

（5）3x（a-b）+2y（b-a）；

（6）x（m-x）（m-y）-m（x-m）（y-m）.

（分析）

（1）～（4）题直接提取公因式分解即可，（5）题和（6）题首先要适当的变形，其中（5）题把b-a化成-（a-b）的，（6）题把（x-m）（y-m）化成（m-x）（m-y），然后再提取公因式.

（1）ax-ay=a（x-y）

（2）6xyz-3xz2=3xz（2y-z）.

（3）-x3z+x4y=x3（-z+xy）.

（4）36aby-12abx+6ab=6ab（6y-2x+1）.

（5）3x（a-b）+2y（b-a）=3x（a-b）-2y（a-b）=（a-b）（3x-2y）.

（6）x（m-x）（m-y）-m（x-m）（y-m）

=x（m-x）（m-y）-m（m-x）（m-y）

=（m-x）（m-y）（x-m）

=-（m-x）2（m-y）.

小结运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题：

（1）因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解.

如：

（7m-8n）（x+y）-（3m-2n）（x+y）

=（x+y）[（7m-8n）-（3m-2n）]

=（x+y）（4m-6n）.

=2（x+y）（2m-3n）.

（2）如果出现像（5）（6）小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的机率，这时注意到（a-b）n=（b-a）n（n为偶数）.

分解因式a（x-y）2+b（y-x）3+c（y-x）2.

本题既可以把（x-y）统一成（y-x），也可以把（y-x）统一成（x-y）,但比较而言把（x-y）化成（y-x）比较简便，因为（x-y）2=（y-x）2.

a（x-y）2+b（y-x）3+c（y-x）2

=a（y-x）2+b（y-x）3+c（y-x）2

=（y-x）2[a+b（y-x）+c]

=（y-x）2（a+by-bx+c）.

（3）因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式.

（7a-8b）（a-2b）+（a-8b）（a-2b）

=（a-2b）[（7a-8b）+（a-8b）]

=（a-2b）（8a-16b）

=8（a-2b）（a-2b）

=8（a-2b）2.

学生做一做把下列各式分解因式.

（1）am+an；

（2）（xy+ay-by）；

（3）（2a+b）（2a-3b）+（2a+5b）（2a+b）；

（4）3x（a-b）-2y（b-a）；

（5）4p（1-q）3+2（q-1）2；

（6）ab2（x-y）m+a2b（x-y）m+1.

老师评一评

（1）原式=a（m+n）

（2）原式=y（x+a-b）；

（3）原式=2（2a+b）2；

（4）原式=（a-b）（3x+2y）；

（5）原式=（1-q）2（4p-4pq+2）；

（6）原式=ab（x-y）m（b+ax-ay）.

例2把下列各式分解因式.

（1）m2+2m+1；

（2）9x2-12x+4；

（3）1-10x+25x2；

（4）（m+n）2-6（m+n）+9.

（分析）本题旨在考查用完全平方公式分解因式.

（1）m2+2m+1=（m+1）2.

（2）9x2-12x+4=（3x-2）2.

（3）1-10x+25x2=（1-5x）2.

（4）（m+n）2-6（m+n）+9=（m+n-3）2.

（1）（x2+4）2-2（x2+4）+1；

（2）（x+y）2-4（x+y-1）.

老师评一评

（1）原式=（x2+3）2；

（2）原式=（x+y-2）2.

例3把下列各式分解因式.

（1）x2+7x+10；

（2）x2-2x-8；

（3）y2-7y+10；

（4）x2+7x-18.

（分析）二次三项式x2+7x+10的二次项系数为1，常数项10=2×

5，一次项系数7=2+5，所以这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子，可以用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）进行因式分解.

（1）x2+7x+10=（x+2）（x+5）.

（2）x2-2x-8=（x-4）（x+2）.

（3）y2-7y+10=（y-2）（y-5）.

（4）x2+7x-18=（x+9）（x-2）.

小结对于x2+（p+q）x+pq型二次三项式的因式分解，①pq＞0，则p,q同号，若p+q＞0，则p＞0，q＞0；

若q+p＜0，则p＜0，q＜0；

②若pq＜0，则p,q异号，若p+q＞0，则绝对值大的为正数，若p+q＜0,则绝对值大的为负数.

（1）m2-7m+12；

（2）x2y2-3xy-10；

（3）（m-n）2-（m-n）-12；

（4）x2-xy-2y2.

老师评一评

（1）原式=（m-3）（m-4）；

（2）原式=（xy-5）（xy+2）；

（3）原式=（m-n-4）（m-n+3）；

（4）原式=（x-2y）（x+y）.

综合应用题

本节知识的综合应用主要包括：

（1）用分组分解法分解因式；

（2）与方程组的综合应用；

（3）与几何知识的综合应用；

（4）几种因式分解方法的综合应用.

例4分解因式.

（1）x3-2x2+x；

（2）（a+b）2-4a2；

（3）x4-81x2y2；

（4）x2（x-y）+y2（y-x）；

（5）（a+b+c）2-（a-b-c）2.

（分析）本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.

（1）x3-2x2+x=x（x2-2x+1）=x（x-1）2.

（2）（a+b）2-4a2=（a+b+2a）（a+b-2a）=（3a+b）（b-a）.

（3）x4-81x2y2=x2（x2-81y2）=x2（x+9y）（x-9y）.

（4）x2（x-y）+y2（y-x）=x2（x-y）-y2（x-y）

=（x-y）（x2-y2）=（x-y）（x+y）（x-y）

=（x+y）（x-y）2.

（5）（a+b+c）2-（a-b-c）2

=[（a+b+c）（a-b-c）][（a+b+c）-（a-b-c）]

=2a·

（2b+2c）

=4a（b+c）.

例5利用分组分解法把下列各式分解因式.

（1）a2-b2+a-b；

（2）a2+b2-2ab-1；

（3）（ax+by）2+（ay-bx）2；

（4）a2-2ab+b2-c2-2c-1.

（分析）分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，其中

（1）题分组后存在公因式，（3）题需去括号后重新分组，

（2）和（4）题分组后能运用公式.

（1）a2-b2+a-b=（a2-b2）+（a-b）

=（a+b）（a-b）+（a-b）=（a-b）（a+b+1）.

（2）a2+b2-2ab-1=（a2-2ab+b2）-1

=（a-b）2-1=（a-b+1）（a-b-1）.

（3）（ax+by）2+（ay-bx）2

=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2

=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2

=（a2x2+a2y2）+（b2y2+b2x2）

=a2（x2+y2）+b2（x2+y2）

=（a2+b2）（x2+y2）.

（4）a2-2ab+b2-c2-2c-1

=（a2-2ab+b2）-（c2+2c+1）

=（a-b）2-（c+1）2

=[（a-b）+（c+1）][（a-b）-（c+1）]

=（a-b+c+1）（a-b-c-1）.

小结解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；

如果没有公因式或提取公因式后，通常分下列几种情况考虑：

（1）如果是四项或四项以上，考虑用分组分解法；

（2）如果是二次三项式或完全平方式，则考虑用x2+（p+q）x+pq型式子或完全平方公式分解因式；

（3）如果是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式.

最后，直到每一个因式都不能再分解为止.

例6解方程组

（分析）本题是一个二元二次方程组，就目前的知识水平来说，用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x2-4y2=5可以通过因式分解为（x+2y）（x-2y）=5，再把x-2y=1代入方程（x+2y）（x-2y）=5中，即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出.

由①得（x+2y）（x-2y）=5，③

把②代入③中得x+2y=5，④

∴原方程组化为

②+④得2x=6，∴x=3.

②-④得4y=4，∴y=1.

∴原方程组的解为

学生做一做解方程组

老师评一评

例7若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2+b2+c-ab-ac-bc=0，试判断这个三角形的形状.

∵a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，

∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0.

即（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ac+a2）=0，

（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0.

由平方的非负性可知，

∴a=b=c.

∴这个三角形是等边三角形.

例8利用因式分解计算下列各题.

（1）234×

265-234×

65；

（2）992+198+1.

（分析）主要应用提公因式法和公式法分解因式来计算.

65=234×

（265-65）

=234×

200=46800.

（2）992+198+1=992+2×

99×

1+1

=（99+1）2=1002

=10000.

学生做一做利用因式分解计算下列各题.

（1）7.6×

199.9+4.3×

199.9-1.9×

199.9；

（2）20022-4006×

2002+20032；

（3）5652×

11-4352×

11；

（4）（5

）2-（2

）2.

老师评一评

（1）原式=1999；

（2）原式=1；

（3）原式=143000O；

（4）原式=28.

例9若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=.

（分析）完全平方式是形如：

2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（或差）.

∵9x2+kxy+36y2=（3x）2+kxy+（6y）2，

∴±

kxy=2·

3x·

6y=36xy.

∴k=±

36.

学生做一做若x2+（k+3）x+9是完全平方式，则k=.

老师评一评k=3或k=-9.

探索与创新题

例10计算

.

（分析）本题旨在考查因式分解的灵活运用,即

=a-b（a+b≠0）.

解:

原式=

+…

+

=（1-2）+（3-4）+（5-6）+…+（2003-2004）

=（-1）×

（2004÷

2）

=-1002.

例11若x2+kx+20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有（）

A.2个B.3个C.4个D.6个

（分析）若把x2+kx+20在整数范围内因式分解，由式子x2+（p+q）x+qq考虑把20分解因数，20可分解为：

20×

1，（-20）×

（-1），10×

2，（-10）×

（-2），5×

4，（-5）×

（-4），所以k可能取的值有：

20+1，（-20）+（-1）,10+2，（-10）+（-2）,5+4，（-5）+（-4）,故k可能取的值有6个，所以正确答案为D项.

例12分解因式（x4+x2-4）（x4+x2+3）+10.

（分析）把x4+x2作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构.

令x4+x2=m，则原式可化为

（m-4）（m+3）+10

=m2-m-12+10

=m2-m-2

=（m-2）（m+1）

=（x4+x2-2）（x4+x2+1）

=（x2+2）（x2-1）（x4+x2+1）

=（x2+2）（x+1）（x-1）（x4+x2+1）.

学生做一做求证：

四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.

老师评一评设这四个连续自然数依次为n，n+1，n+2，n+3，则

n（n+1）（n+2）（n+3）+1

=（n2+3n）（n2+3n+2）+1

=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1

=（n2+3n+1）2

∴n（n+1）（n+2）（n+3）+1一定是一个完全平方数.

例13若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积，试确定m的值.

（分析）用待定系数法，令x2+7xy+my2-5x+43y-24=（x+ay+b）（x+cy+d）,再对比系数求得m.

设x2+7xy+my2-5x+43y-24=（x+ay+b）（x+cy+d）=x2+（a+c）xy+acy2+（b+d）x+（ad+bc）y+bd.

对比多项式的系数得

由③，⑤两式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.

（1）当b=-8，d=3时，得a=9，c=-2，⑥

（2）当b=3，d=-8时，得a=-2，c=9.⑦

∴m=-18.

学生做一做已知多项式2x3-x2+m有一个因式（2x+1）,求m的值.

老师评一评由已知条件可以设2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b）,则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+

（a+2b）x+b.

对比多项式系数可得

中考展望点击中考

中考命题总结与展望

本章内容在中考中多以填空、选择题的形式出现，直接以分解因式单独命题的并不多，但它与方程组、二元一次方程、二次函数及分式的运算的结合都是屡见不鲜的，应在学习中引起充分的重视.

中考试题预测

例1

（1）（2004·

福州）分解因式：

a2-25=；

（2）（2004·

长沙）分解因式：

xy2-x2y=；

（3）（2004·

贵阳）分解因式：

x2-1=；

（4）（2004·

南京）分解因式：

3x2-3=；

（5）（2004·

湖北）分解因式：

x2+2xy+y2-4=；

（6）（2004·

陕西）分解因式：

x3y2-4x=；

（7）（2004·

广州）分解因式：

2x2-2=；

（8）（2004·

桂林）分解因式：

a3+2a2+a=；

（9）（2004·

青海）分解因式：

x3y-4xy+4y=；

（10）（2004·

哈尔滨）分解因式：

a2-2ab+b2-c2=.

（分析）

（1）直接运用平方差公式分解即可.

（2）直接运用提取公因式法分解即可.（4）3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1）.（5）解决本题采用分组分解法，x2+2xy+y2-4=（x2+2xy+y2）-4

=（x+y）2-4=（x+y+2）（x+y-2）.（6）先提取公因式，再运用公式法分解因式.x3y2-4x=x（x2y2-4）=

x（xy+2）（xy-2）.

答案：

（1）（a+5）（a-5）

（2）xy（y-x）（3）（x+1）（x-1）（4）3（x+1）（x-1）（5）（x+y+2）（x+y-2）

（6）x（xy+2）（xy-2）（7）2（x+1）（x-1）（8）a（a+1）2（9）y（x-2）2（10）（a-b+c）（a-b-c）

例2（2004·

安徽）下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（）

A.x2-yB.x2+2yC.x2+y2D.x2-xy+y2

答案:

B

例3（2004·

青海）将多项式a2-ab+ac-bc分解因式，分组的方法共有种.

（分析）一种是：

a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）；

另一种是：

a2-ab-ac-bc=（a2+ac）-（ab+bc），

∴分组方法共有2种.

例4（2004·

湖北）x2-y2-x-y分解因式的结果是.

（x+y）（x-y-1）

例5（2004·

呼和浩特）将下列式子因式分解：

x-x2-y+y2=.

（x-y）（1-x-y）

例6（2004·

临汾）解方程组

（分析）运用因式分解把二元二次方程组转化成二元一次方程组.

由①得（x-2y）（x+y）=0，③

把②代入③中，得x-2y=0，④

原方程组化为

②-④得3y=2，∴y=

把y=

代入④中，得x=

例7（2004·

甘肃）为使x2-7x+b在整数范围内可以分解因式，则b可能取的值为.（任写一个）

（分析）这是一个开放性试题，答案不惟一，依据的是式子x2+（p+q）x+pq.

-8

例8（2004·

宁夏）把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是（）

A.（1-x-y）（1+x-y）B.（1+x-y）（1-x+y）

C.（1-x-y）（1-x+y）D.（1+x-y）（1+x+y）

（分析）解决本题采用分组分解法.

1-x2+2xy-y2=1-（x2-2xy+y2）

=1-（x-y）2=（1+x-y）（1-x+y）.

故此，正确答案为B项.

课堂小结本节归纳

1.本节主要学习了：

用提公因式法分解因式；

用公式法分解因式；

用分组分解法分解因式；

形如x2+（p+q）x+pq的二次三项式的因式分解.

2.会运用因式分解解决计算问题.

习题选解课本习题

课本第200～201页

习题15.5

1.

（1）原式=5a2（3a+2）；

（2）原式=3bc（4a-c）；

（3）原式=2（p+q）（3p-2q）；

（4）原式=（a-3）（m-2）.