常州市2014届高三上学期期末考试数学试题(Word版、含答案)文档格式.doc

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11．已知，等比数列中，，，若数列的前2014项的和为0，则的值为▲．

12．已知函数f（x）＝若，则实数k的取值范围为▲．

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则▲．

14．在平面直角坐标系中，已知圆O：

，点，M，N为圆O上不同的两点，且满足．若，则的最小值为▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量，．

（1）若，，求角A；

（2）若，，求的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱中，AB⊥BC，E，F分别是，的中点．

（1）求证：

EF∥平面ABC；

（第16题）

（2）求证：

平面⊥平面；

（3）若，求三棱锥的体积．

17．（本小题满分14分）

设等差数列的公差为d，前n项和为，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，为互不相等的正整数，且等差数列满足，，求数列的前n项和．

18．（本小题满分16分）

（第18题）

在平面直角坐标系中，椭圆E:

的右准线为直线l，动直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图．若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么是否为常数？

若是，求出该常数；

若不是，请说明理由．

19．（本小题满分16分）

几名大学毕业生合作开设打印店，生产并销售某种产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为元，该店的月总成本由两部分组成：

第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出元．假设该产品的月销售量（件）与销售价格（元/件）（）之间满足如下关系：

①当时，；

②当时，．设该店月利润为（元），月利润=月销售总额－月总成本．

（1）求关于销售价格的函数关系式；

（2）求该打印店月利润的最大值及此时产品的销售价格．

20．（本小题满分16分）

已知函数，．

（1）当时，求函数的极大值；

（2）求函数的单调区间；

（3）当时，设函数，若实数满足：

且，，求证：

．

数学Ⅱ（附加题）2014年1月

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：

几何证明选讲

如图，等腰梯形ABCD内接于⊙，AB∥CD．过点A作⊙的切线交CD的延长线于点E．

（第21-A题）

求证：

∠DAE=∠BAC.

B．选修4—2：

矩阵与变换

已知直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，若直线过点（1,1），求实数a的值．

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知点，直线，求点P到直线l的距离．

D．选修4—5：

不等式选讲

已知，，求证：

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，三棱锥P－ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，点O，D分别是AB，PB的中点，PO⊥AB，连结CD．

（1）若，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；

（第22题）

（2）若二面角A－PB－C的余弦值的大小为，求PA．

23．（本小题满分10分）

设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：

A不是B的子集，且B也不是A

的子集．

（1）若M=，直接写出所有不同的有序集合对（A,B）的个数；

（2）若M=，求所有不同的有序集合对（A,B）的个数．

高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准

本大题共14小题，每小题5分，共70分

1．2．3．4．155．31.6（写成也对）6．7．

8．9．10．

（1）

（2）11．12．13．414．

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．解：

（1）∵，∴．由正弦定理，得．

化简，得．………………………………………………2分

∵，∴或，

从而（舍）或．∴．………………………………4分

在Rt△ABC中，，．…………………………………6分

（2）∵，∴．

由正弦定理，得，从而．

∵，∴．从而．……………8分

∵，，∴，．……………………10分

∵，∴，从而，B为锐角，．………12分

∴

=．…………………………………14分

16．证明：

（1）连结．

∵直三棱柱中，是矩形，

∴点F在上，且为的中点．

在△中，∵E，F分别是，的中点，∴EF∥BC．……………2分

又∵BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF∥平面ABC．………………4分

（2）∵直三棱柱中，平面ABC，∴BC．

∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF，EF．………………………………6分

∵，∴EF⊥平面．………………………………8分

∵EF平面AEF，∴平面AEF⊥平面．………………………………10分

（3）………………………………12分

=．………………………………14分

17．解：

（1）由已知，得解得…………………4分

∴．……………………………………………………………6分

（2），为正整数，由

（1）得，．…………………8分

进一步由已知，得，．………………………………………10分

∵是等差数列，，∴的公差．………………12分

由，得．

∴．…………………………………………14分

18．解：

当A，B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时，则，，．

∵，∴由O，M，Q三点共线，得，化简，得．………2分

∵，∴，化简，得．

由解得…………………………………………4分

（1）椭圆E的标准方程为．…………………………………………6分

（2）把，代入，得

．……………………………………………8分

当△，时，，，

从而点．……………………………………………10分

所以直线OM的方程．

由得．……………………………………………12分

∵OP是OM，OQ的等比中项，∴，

从而．……………………………………………14分

由，得，从而，满足△．……………15分

∴为常数．………………………………………………………………16分

19．解：

（1）当时，，代入，

解得．………………………………………………………………2分

∴

即……………4分

（注：

写到上一步，不扣分．）

（2）设，，，则

令，解得（舍去），．……………7分

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．…………………………………10分

∵，，，∴的最大值为．………12分

当时，单调递减，

故此时的最大值为．…………………………………14分

综上所述，当时，月利润有最大值元．……………………15分

答：

该打印店店月利润最大为元，此时产品的销售价格为元/件．……16分

20．解：

函数的定义域为．

（1）当时，，，令得．………1分

列表：

x

+

↗

极大值

↘

所以的极大值为．…………………………………………3分

（2）．

令，得，记．

（ⅰ）当时，，所以单调减区间为；

…………5分

（ⅱ）当时，由得，

①若，则，

由，得，；

所以，的单调减区间为，，

单调增区间为；

………………………………7分

②若，由

（1）知单调增区间为，单调减区间为；

③若，则，由，得；

的单调减区间为，单调增区间为．……9分

综上所述：

当时，的单调减区间为；

当时，的单调减区间为，，单调增区间为；

当时，单调减区间为，单调增区间为．………………10分

（3）（）．由得．

∵，∴（舍），或．

∵，∴．…………………………………12分

由得，

因为，

所以（*）式可化为，

即．………………………………………………14分

令，则，整理，得，

从而，即．

记．，令得（舍），，列表：

↘

↗

所以，在单调减，在单调增，又因为，所以，从而．………………………………………………16分

高三数学Ⅱ（附加题）参考答案

21、【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．

证明：

∵ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∴AD=BC．从而．

∴∠ACD=∠BAC.……………………………………………………4分

∵AE为圆的切线，∴∠EAD=∠ACD.…………………………………8分

∴∠DAE=∠BAC.……………………………………………………10分

矩阵与变换

解：

设为直线上任意一点，在矩阵对应的变换下变为直线上点，

则，化简，得……………………………4分

代入，整理，得．……………………………8分

将点（1,1）代入上述方程，解得a=-1．……………………………10分

坐标系与参数方程

点P的直角坐标为，…………………………………………………4分

直线l的普通方程为，………………………………………8分

从而点P到直线l的距离为．…………………………10分

左边-右边=………4分

=，………………………………………………………6分

∵，，

∴．………………………………………………8分

从而左边-右边≤0，

∴．………………………………………………10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．

22．解：

连结OC．

∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，∴PO⊥平面ABC．从而PO⊥AB，PO⊥OC．

∵AC=BC，点O是AB的中点，∴OC⊥AB．且．……………2分

如图，建立空间直角坐标系．

（1），．

，，，

，．…………4分

从而，．

∵，

∴异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为．……………………………6分

（2）设，则．∵PO⊥OC，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB．

从而是平面PAB的一个法向量．

不妨设平面PBC的一个法向量为，

∵，，∴

不妨令x=1，则y=1，，则．………………………8分

由已知，得，化简，得．

∴．…………………………………10分

23．解：

（1）110；

………………………………………………………………3分

（2）集合有个子集，不同的有序集合对（A,B）有个．

若，并设中含有个元素，则满足的有序集合对（A,B）有个．…………………6分

同理，满足的有序集合对（A,B）有个．…………………8分

故满足条件的有序集合对（A,B）的个数为………10分

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