抛物线的简单几何性质练习题Word文档下载推荐.doc

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【解析】　据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P，则M（－1，m），等边三角形边长为1＋，又由F（1,0），|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m＝2，∴等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D.

【答案】　D

3．已知抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（　　）

A．x＝1 B．x＝－1

C．x＝2 D．x＝－2

【解析】　设A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程得：

①－②得，

（y1＋y2）（y1－y2）＝2p（x1－x2）．

又∵y1＋y2＝4，∴＝＝＝k＝1，∴p＝2.

∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.

【答案】　B

4．（2014·

课标Ⅱ）设F为抛物线C：

y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°

的直线交C于A，B两点，则|AB|＝（　　）

A.B．6C．12D．7

【解析】　焦点F的坐标为，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝，

即y＝x－，代入y2＝3x，

得x2－x＋＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，

所以|AB|＝x1＋x2＋＝＋＝12，故选C.

二、填空题

5．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．

【解析】　设抛物线上点的坐标为（x，±

），此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±

，∴此点坐标为.

【答案】　

6．（2014·

临沂高二检测）直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.

【解析】　当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消y得k2x2＋4（k－2）x＋4＝0，由题意Δ＝16（k－2）2－16k2＝0，∴k＝1.

【答案】　0或1

7．（2014·

湖南）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1,0）的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P（－1,0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．

【解析】　设机器人为A（x，y），依题意得点A在以F（1,0）为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.

过点P（－1,0），斜率为k的直线为y＝k（x＋1）．

由得ky2－4y＋4k＝0.

当k＝0时，显然不符合题意；

当k≠0时，依题意得Δ＝（－4）2－4k·

4k<

0，

化简得k2－1>

0，解得k>

1或k<

－1，因此k的取值范围为（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

【答案】　（－∞，－1）∪（1，＋∞）

三、解答题

8．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．

【解】　　设所求抛物线的标准方程为

x2＝2py（p＞0），设A（x0，y0），由题知M.

∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，

∵|AM|＝，

∴x＋2＝17，

∴x＝8，代入方程x＝2py0得，

8＝2p，解得p＝2或p＝4.

∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.

9．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．

（1）若直线l的倾斜角为60°

，求|AB|的值；

（2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．

【解】

（1）因为直线l的倾斜角为60°

，所以其斜率k＝tan60°

＝.

又F，所以直线l的方程为y＝.

联立消去y得x2－5x＋＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝5，

而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，

所以|AB|＝5＋3＝8.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义知

|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.

又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离为3＋＝.

1．（2014·

湖南省长沙一中期中考试）已知抛物线x2＝2py（p>

0）的焦点为F，过F作倾斜角为30°

的直线与抛物线交于A，B两点，若∈（0,1），则＝（　　）

A.B.C.D.

【解析】　因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30°

的直线的方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝，故选C.

2．（2013·

大纲卷）已知抛物线C：

y2＝8x与点M（－2,2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·

＝0，则k＝（　　）

A.B.C.D．2

【解析】　由题意可知抛物线的焦点坐标为（2,0），则过焦点且斜率为k的直线的方程为y＝k（x－2），与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－（4k2＋8）x＋4k2＝0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k（x1＋x2）－4k＝，y1y2＝k2[x1x2－2（x1＋x2）＋4]＝－16，因为·

＝0，所以（x1＋2）（x2＋2）＋（y1－2）（y2－2）＝0（*），将上面各个量代入（*），化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故选D.

3．抛物线x2＝2py（p>

0）的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.

【解析】　由于x2＝2py（p>

0）的准线为y＝－，由

解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为

，B，所以AB＝2.

由△ABF为等边三角形，得AB＝p，解得p＝6.

【答案】　6

4．已知抛物线x＝－y2与过点（－1,0）且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积等于时，求k的值．

【解】　　过点（－1,0）且斜率为k的直线方程为y＝k（x＋1），

由方程组消去x，整理得ky2＋y－k＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数之间的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝－1.

设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为（－1,0）．

∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，

∴S△OAB＝＝＝，

解得k＝－或.