《导数及其应用》知识点总结Word下载.doc

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（1）求函数的增量；

（2）求平均变化率：

；

（3）取极限，当无限趋近与0时，无限趋近与一个常数A，则.

4.导数的几何意义：

函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：

（1）求出在x0处的导数，即为曲线在点处的切线的斜率；

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。

当点不在上时，求经过点P的的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线在点处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为。

5.导数的物理意义：

质点做直线运动的位移S是时间t的函数，则表示瞬时速度，表示瞬时加速度。

二、导数的运算

1.常见函数的导数：

（1）（k,b为常数）；

（2）（C为常数）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）（α为常数）；

（9）；

（10）；

（11）；

（12）；

（13）；

（14）。

2.函数的和、差、积、商的导数：

（1）；

（2）（C为常数）；

（3）；

（4）。

3.简单复合函数的导数：

若，则，即。

三、导数的应用

1.求函数的单调性：

利用导数求函数单调性的基本方法：

设函数在区间内可导，

（1）如果恒，则函数在区间上为增函数；

（2）如果恒，则函数在区间上为减函数；

（3）如果恒，则函数在区间上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤：

①求函数的定义域；

②求导数；

③解不等式，解集在定义域内的不间断区间为增区间；

④解不等式，解集在定义域内的不间断区间为减区间。

反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：

（1）如果函数在区间上为增函数,则（其中使的值不构成区间）；

（2）如果函数在区间上为减函数,则（其中使的值不构成区间）；

（3）如果函数在区间上为常数函数,则恒成立。

2.求函数的极值：

设函数在及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有（或），则称是函数的极小值（或极大值）。

可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：

（1）确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）求方程的全部实根，，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：

x变化时，和值的变化情况：

x

…

正负

单调性

（4）检查的符号并由表格判断极值。

3.求函数的最大值与最小值：

如果函数在定义域I内存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义域上的最大值。

函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。

求函数在区间上的最大值和最小值的步骤：

（1）求在区间上的极值；

（2）将第一步中求得的极值与比较，得到在区间上的最大值与最小值。

4.解决不等式的有关问题：

（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。

的值域是时，

不等式恒成立的充要条件是，即；

不等式恒成立的充要条件是，即。

不等式恒成立的充要条件是；

不等式恒成立的充要条件是。

（2）证明不等式可转化为证明，或利用函数的单调性，转化为证明。

5.导数在实际生活中的应用：

实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。

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