1990年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试卷及答案Word文档格式.doc

1990年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试卷及答案Word文档格式.doc

《1990年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试卷及答案Word文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1990年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试卷及答案Word文档格式.doc（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

命题乙为:

两个实数a,b满足│a－1│<

h且│b-1│<

h.那么

（A）甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件

（B）甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件

（C）甲是乙的充分条件

（D）甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

（13）A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有

（A）24种 （B）60种 （C）90种 （D）120种

（14）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有

（A）70个 （B）64个 （C）58个 （D）52个

（15）设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是

（A）y=-arctg（x-2） （B）y=arctg（x-2）

（C）y=-arctg（x+2） （D）y=arctg（x+2）

二、填空题:

把答案填在题中横线上.

（17）（x-1）-（x-1）2+（x-1）3-（x-1）4+（x-1）5的展开式中,x2的系数等于

（18）已知{an}是公差不为零的等差数列,如果Sn是{an}的前n项的和,那

（19）函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是

（20）如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC

的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:

V2＝

三、解答题.7

（21）有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.

（23）如图,在三棱锥SABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.

（24）设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.

n≥2.

（Ⅰ）如果f（x）当x∈（-∞,1]时有意义,求a的取值范围;

（Ⅱ）如果a∈（0,1],证明2f（x）<

f（2x）当x≠0时成立.

参考答案

本题考查基本知识和基本运算.

（1）A

（2）B（3）D（4）C（5）C （6）B（7）A （8）D（9）B（10）D

（11）C（12）B（13）B （14）C （15）D

三、解答题.

（21）本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.

解法一:

①

由②式得 d=12-2a. ③

整理得 a2-13a+36=0

解得 a1=4,a2=9.

代入③式得 d1=4,d2=-6.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

解法二:

设四个数依次为x,y,12-y,16-x ①

由①式得 x=3y-12. ③

将③式代入②式得 y（16-3y+12）=（12-y）2,

整理得 y2-13y+36=0.

解得 y1=4,y2=9.

代入③式得 x1=0,x2=15.

（22）本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.

由已知得

如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,

sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结

连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有

解法三:

由题设得 4（sinα+sinβ）=3（cosα+cosβ）.

将②式代入①式,可得 sin（α-）=sin（-β）.

于是 α－＝（2k+1）π-（-β）（k∈Z）,

或 α-=2kπ+（-β）（k∈Z）.

若 α-=（2k+1）π-（-β）（k∈Z）,则α＝β＋（2k+1）π（k∈Z）.

于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.

由此可知 α-=2kπ+（-β）（k∈Z）,

即 α＋β＝2+2kπ（k∈Z）.

所以

（23）本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.

由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E,

∴SC⊥面BDE,

∴SC⊥BD.

又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,

∴SA⊥BD.

而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.

∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,

∴BD⊥DE,BD⊥DC.

∴∠EDC是所求的二面角的平面角.

∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.

设SA＝a,

又因为AB⊥BC,

∴∠ACS＝30°

.

又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°

即所求的二面角等于60°

又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,

∴SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;

又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.

∵DE面BDE,DC面BDC,

以下同解法一.

（24）本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.

设z＝x+yi,代入原方程得

于是原方程等价于方程组

由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.

情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为

x2+2│x│=a. ③

（Ⅰ）令x>

0,方程③变为x2＋2x=a. ④

由此可知:

当a=0时,方程④无正根;

（Ⅱ）令x<

0,方程③变为x2-2x=a. ⑤

当a=0时,方程⑤无负根;

当a>

0时,方程⑤有负根

x=1-.

（Ⅲ）令x=0,方程③变为0=a.

当a=0时,方程⑥有零解x=0;

0时,方程⑥无零解.

所以,原方程的实数解是:

当a=0时,z=0;

.

情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi（y≠0）.此时,①式化为

-y2+2│y│=a. ⑦

（Ⅰ）令y>

0,方程⑦变为-y2+2y=a,即（y-1）2=1-a. ⑧

当a>

1时,方程⑧无实根.

当a≤1时解方程⑧得

y=1±

从而, 当a=0时,方程⑧有正根 y=2;

当0<

a≤1时,方程⑧有正根 y=1±

（Ⅱ）令y<

0,方程⑦变为-y2-2y=a,即 （y+1）2=1-a. ⑨

1时,方程⑨无实根.

当a≤1时解方程⑨得 y=-1±

从而,当a=0时,方程⑨有负根 y=-2;

当0<

a≤1时,方程⑨有负根 y=-1±

所以,原方程的纯虚数解是:

当a=0时,z=±

2i;

a≤1时, z=±

（1+）i,z=±

（1-）i.

而当a>

1时,原方程无纯虚数解.

设z=x+yi代入原方程得

x2+2│x│=a.

即 |x|2+2│x│=a. ③

解方程③得

,

所以,原方程的实数解是

-y2+2│y│=a.

即 -│y│2+2│y│=a. ④

当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,

即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±

2i.

a≤1时,解方程④得

即当0<

a≤1时,原方程的纯虚数解是

1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.

因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其

解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi（y≠0）.

情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.

情形2.若z=yi（y≠0）.以下同解法一或解法二中的情形2.

解法四:

设z=r（cosθ+isinθ）,其中r≥0,0≤θ<

2π.代入原方程得

r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.

情形1.若r=0.①式变成

0=a. ③

当a=0时,r=0是方程③的解.

0时,方程③无解.

所以, 当a=0时,原方程有解z=0;

0时,原方程无零解.

考查r>

0的情形.

（Ⅰ）当k=0,2时,对应的复数是z=±

r.因cos2θ=1,故①式化为

r2+2r=a. ④

0时,方程④有正根 .

所以,当a>

0时,原方程有解 .

（Ⅱ）当k=1,3时,对应的复数是z=±

ri.因cos2θ=-1,故①式化为

-r2+2r=a,即（r-1）2=1-a, ⑤

1时,方程⑤无实根,从而无正根;

从而, 当a=0时,方程⑤有正根 r=2;

所以, 当a=0时,原方程有解z=±

a≤1时,原方程有解

（25）本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.

根据题设条件,可取椭圆的参数方程是

其中a>

b>

0待定,0≤θ<

2π.

设椭圆上的点（x,y）到点P的距离为d,则

大值,由题设得

因此必有

由此可得 b=1,a=2.

所求椭圆的参数方程是

设所求椭圆的直角坐标方程是

0待定.

其中 -byb.

由此得

所求椭圆的直角坐标方程是

（26）本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.

（Ⅰ）解:

f（x）当x∈（-∞,1]时有意义的条件是

1+2x+…（n-1）x+nxa>

0 x∈（-∞,1],n≥2,

上都是增函数,

在（-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值

也就是a的取值范围为

（Ⅱ）证法一:

2f（x）<

f（2x） a∈（0,1],x≠0.即

[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2<

n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]

a∈（0,1],x≠0.②

现用数学归纳法证明②式.

（A）先证明当n=2时②式成立.

假如0<

a<

1,x≠0,则

（1+2xa）2=1+2·

2xa+22xa2≤2（1+22x）<

2（1+22xa）.

假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以

因而当n=2时②式成立.

（B）假如当n=k（k≥2）时②式成立,即有

[1+2x+…+（k-1）x+kxa]2<

k[1+22x+…+（k-1）2xa]a∈（0,1],x≠0,

那么,当a∈（0,1],x≠0时

[（1+2x+…+kx）+（k+1）xa]2

=（1+2x+…+kx）2+2（1+2x+…+kx）（k+1）xa+（k+1）2xa2

<

k（1+22x+…+k2x）+2（1+2x+…+kx）（k+1）xa+（k+1）2xa2

=k（1+22x+…+k2x）+[2·

1·

（k+1）xa+2·

2x（k+1）xa+…

+2kx（k+1）xa]+（k+1）2xa2<

k（1+22x+…

+k2x）+{[1+（k+1）2xa2]+[22x+（k+1）2xa2]+…

+[k2x+（k+1）2xa2]}+（k+1）2xa2]

=（k+1）[1+22x+…+k2x+（k+1）2xa2]

≤（k+1）[1+22x+…+k2x+（k+1）2xa],

这就是说,当n=k+1时②式也成立.

根据（A）,（B）可知,②式对任何n≥2（n∈N）都成立.即有

2f（x）<

f（2x） a∈（0,1],x≠0.

证法二:

只需证明n≥2时

因为

其中等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.

利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有

[1+2x+…+（n-1）x+nx]2<

n[1+22x+…+（n-1）2x+n2x].

1,x≠0时,因a2<

a,所以有

[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2

≤n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa2]<

n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa].

即有 2f（x）<

第14页（共14页）