北京各区期末考试解析几何分类汇编理Word文档格式.docx
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（A）{1，3}
（B）{0，1，3}
（C）{0，1，3，4}
（D）{0，1，2，3，4}
D
7.（东城8）已知圆，直线，点在直线上．若存在圆上的点，使得（为坐标原点），则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
1.（东城9）若抛物线的焦点到其准线的距离为，则该抛物线的方程为
．
2．（西城10）设为双曲线C：
的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果，那么双曲线C的方程为____；
离心率为____.
3．（朝阳10）双曲线（）的离心率是；
渐近线方程是．
;
4.（海淀11）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则.
3
5.（石景山12）.若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为．
6．（丰台13）过点作圆O：
的切线，切点为，如果，那么切线的斜率是；
如果，那么的取值范围是．
；
7.（昌平13）.已知双曲线的离心率是2，则以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是.
三、解答题
1.（海淀18）
已知椭圆，点，分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交于两点.
（Ⅰ）求的离心率及短轴长；
（Ⅱ）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；
若不存在，说明理由.
解：
（Ⅰ）由得：
.
所以椭圆的短轴长为.………………2分
因为，
所以，即的离心率为.………………4分
（Ⅱ）由题意知：
，设，则.………………7分
因为
………………9分
，………………11分
所以.
所以点不在以为直径的圆上，即：
不存在直线，使得点在以为直径的圆上.
………………13分
另解：
由题意可设直线的方程为，.
由可得：
所以，.………………7分
所以
.………………9分
因为，
所以.………………11分
不存在直线，使得点在以为直径的圆上.
………………13分
2..（丰台19）已知椭圆：
的右焦点，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线过点，且与椭圆交于，两点，过原点作直线的垂线，垂足为，如果△的面积为（为实数），求的值．
（Ⅰ）由题意知：
．
根据椭圆的定义得：
，
即．……………2分
所以．……………3分
所以椭圆的标准方程为．……………4分
（Ⅱ）由题意知，△ABC的面积，
整理得．……………5分
①当直线的斜率不存在时，的方程是．
此时，，所以．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，．
由可得．
显然，则……………9分
因为，，
．……………11分
所以，
此时，．
综上所述，为定值．……………14分
3.（东城19）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，求证：
为定值．
解（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，
由题意知，解得．
所以椭圆的标准方程为．……………………………5分
（Ⅱ）设（），由已知，直线的方程是．
由消得（*）．
设，，则、是方程（*）的两个根，
所以，．
所以
（定值）．
所以为定值．………………………………13分
4.．（西城19）
已知椭圆C：
的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点满足条件.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记和的面积分别为，，求证：
（Ⅰ）解：
因为椭圆C的方程为，
所以,,,………………2分
则，，.………………3分
所以.………………5分
（Ⅱ）解：
若直线l的斜率不存在，则有，，符合题意.………6分
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为，，.
由
得，……………7分
可知恒成立，且，.……………8分
因为……………10分
，
所以.……………12分
因为和的面积分别为，
，……………13分
所以.
5．（朝阳19）
已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点．
（Ⅱ）直线是否过定点？
若过定点，求出点的坐标；
若不过，请说明理由．
（Ⅰ）由已知得，解得．
所以椭圆的标准方程为．……………..4分
（Ⅱ）直线过定点.
说明如下：
由（Ⅰ）可知椭圆右顶点．
由题意可知，直线和直线的斜率存在且不为．
设直线的方程为．
由得．
成立，
所以．所以．
所以．
于是，点．
因为直线和直线的斜率乘积为，故可设直线的方程为．
同理，易得．
所以点．
所以，当时，即时，.
直线的方程为．
整理得．
显然直线过定点．（点关于原点对称）
当,即时，直线显然过定点．
综上所述，直线过定点．……………..14分
6.（石景山19）
已知椭圆的离心率为，且过点.
（Ⅱ）直线交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数的取值范围.
（Ⅰ）由题意知，解得，
椭圆的标准方程为：
.………………4分
（Ⅱ）设
联立，消去，得：
……6分
依题意：
直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，
所以，----①，
由（*）式，-------②，
可得----③，………………8分
由①②③，，………………10分
由点B在以PQ为直径的圆内，得为钝角或平角，即.
.…12分
即，整理得.
解得：
.………………14分
7..（昌平19）
已知椭圆C:
经过点P，离心率是.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：
直线l恒过定点．
（I）由，解得，
所以椭圆C的方程是..…………………5分
（II）方法一
（1）由题意可知，直线的斜率为0时，不合题意.
（2）不妨设直线的方程为．
由消去得.……………7分
设，，则有……①,………②
…………………8分
因为以为直径的圆过点，所以．
由，得．
将代入上式，
得.………③……………………12分
将①②代入③，得，
解得或（舍）．
综上，直线经过定点…………………14分
方法二
证明：
（1）当不存在时，易得此直线恒过点.…………………7分
（2）当存在时.设直线，，.
由，可得.
……①
…….②…………………9分
由题意可知
可得.…………………10分
整理得③
把①②代入③整理得
由题意可知
解得
（i）当，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉.……………12分
（ii），即，直线过定点，经检验符合题意.
综上所述，直线过定点.…………………14分
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