点线面的位置关系Word下载.docx
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选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.
2.证明线共点问题的方法
先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点.
3.证明点、直线共面问题的常用方法
(1)纳入平面法:
先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;
(2)辅助平面法:
先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
[典例] 已知:
空间四边形ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG=
BC,CH=
DC.求证:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)三直线FH,EG,AC共点.
[证明]
(1)连接EF,GH,
∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴EF∥BD.
又∵CG=
DC,
∴GH∥BD,∴EF∥GH,
∴E,F,G,H四点共面.
(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,
∴设FH∩AC=M,
∴M∈平面EFHG,M∈平面ABC.
又∵平面EFHG∩平面ABC=EG,
∴M∈EG,
∴FH,EG,AC共点.
[方法技巧]
平面的基本性质的应用
公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据,公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据,公理3是证明三线共点或三点共线的依据.
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是( )
解析:
选D A、B、C图中四点一定共面,D中四点不共面.
2.若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( )
A.至多等于3B.至多等于4
C.等于5D.大于5
选B n=2时,可以;
n=3时,为正三角形,可以;
n=4时,为正四面体,可以;
n=5时,为四棱锥,侧面为正三角形,底面为菱形且对角线长与边长相等,这种情况不可能出现,所以正整数n的取值至多等于4.
3.以下四个命题中,正确命题的个数是( )
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;
③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
A.0B.1
C.2D.3
选B ①显然是正确的,可用反证法证明;
②中若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面;
③构造长方体或正方体,如图显然b,c异面,故不正确;
④中空间四边形中四条线段不共面.故只有①正确.
4.
如图所示,四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形,BC綊
AD,BE綊
FA,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)证明:
四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面?
为什么?
解:
由已知FG=GA,FH=HD,可得GH綊
AD.又∵BC綊
AD,∴GH綊BC,∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)C,D,F,E四点共面,证明如下:
由BE綊
AF,G为FA的中点知BE綊FG,∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.由
(1)知BG∥CH,∴EF∥CH.∴EF与CH共面.又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.
突破点
(二) 空间两直线的位置关系
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1.空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
(2)公理4和等角定理
①公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
②等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
2.异面直线所成的角
(1)定义:
设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围:
.
空间两直线位置关系的判定
[例1]
(1)下列结论正确的是( )
①在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行;
②平行于同一条直线的两条直线平行;
③一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条相交;
④空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c.
A.①②③B.②④
C.③④D.②③
(2)在图中,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)
[解析]
(1)①错,两条直线不相交,则它们可能平行,也可能异面;
②由公理4可知正确;
③错,若一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条直线可能相交,也可能异面;
④由平行直线的传递性可知正确.故选B.
(2)图①中,直线GH∥MN;
图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;
图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;
图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.所以在图②④中,GH与MN异面.
[答案]
(1)B
(2)②④
[方法技巧]
判断空间两直线位置关系的思路方法
(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型,以正方体为主线直观感知并准确判断.
(2)异面直线的判定方法
①反证法:
先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.
②定理法:
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
异面直线所成的角
[例2] 空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°
,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
[解] 取AC的中点G,连接EG,FG,则EG綊
AB,FG綊
CD,
由AB=CD知EG=FG,
∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为30°
,
∴∠EGF=30°
或150°
由EG=FG知△EFG为等腰三角形,
当∠EGF=30°
时,∠GEF=75°
;
当∠EGF=150°
时,∠GEF=15°
故EF与AB所成的角为15°
或75°
用平移法求异面直线所成的角的步骤
(1)一作:
即根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;
(2)二证:
即证明作出的角是异面直线所成的角;
(3)三求:
解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;
如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
1.[考点一]下列说法正确的是( )
A.若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线
B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面
C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面
D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面
选D 由异面直线的定义可知D正确.
2.[考点一]l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )
A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面
选B 若l1⊥l2,l2⊥l3,则l1,l3有三种位置关系,可能平行、相交或异面,A不正确;
当l1∥l2∥l3或l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3可能共面,也可能不共面,C,D不正确;
当l1⊥l2,l2∥l3时,则有l1⊥l3,故选B.
3.[考点二]如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为________.
如图,将原图补成正方体ABCDQGHP,
连接GP,AG,则GP∥BD,所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角,在△AGP中AG=GP=AP,所以∠APG=
答案:
4.[考点一、二]如图所示,三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°
,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.
(1)求证AE与PB是异面直线;
(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值.
假设AE与PB共面,设平面为α,∵A∈α,B∈α,E∈α,
∴平面α即为平面ABE,∴P∈平面ABE,
这与P∉平面ABE矛盾,所以AE与PB是异面直线.
(2)取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥PB,所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角.
∵∠BAC=60°
,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,∴AF=
,AE=
,EF=
,cos∠AEF=
=
故异面直线AE与PB所成角的余弦值为
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2016·
全国乙卷)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
选A 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1的上方接一个同等大小的正方体ABCDA2B2C2D2,则过A与平面CB1D1平行的是平面AB2D2,即平面α就是平面AB2D2,平面AB2D2∩平面ABB1A1=AB2,即直线n就是直线AB2,由面面平行的性质定理知直线m平行于直线B2D2,故m,n所成的角就等于AB2与B2D2所成的角,在等边三角形AB2D2中,∠AB2D2=60°
,故其正弦值为
.故选A.
2.(2013·
新课标全国卷Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
选D 由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l,故选D.
3.(2016·
全国甲卷)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)
对于①,α,β可能平行,也可能相交但不垂直,故错误.对于②,由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α,n∥l,又m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故正确.对于③,因为α∥β,所以α,β没有公共点.又m⊂α,所以m,β没有公共点,由线面平行的定义可知m∥β,故正确.对于④,因为m∥n,所以m与α所成的角和n与α所成的角相等.因为α∥β,所以n与α所成的角和n与β所成的角相等,所以m与α所成的角和n与β所成的角相等,故正确.
②③④
[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基,二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1.四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
选A 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面.
2.已知A,B,C,D是空间四点,命题甲:
A,B,C,D四点不共面,命题乙:
直线AC和BD不相交,则甲是乙成立的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
选A 若A,B,C,D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相交,充分性成立;
若直线AC和BD不相交,若直线AC和BD平行,则A,B,C,D四点共面,必要性不成立,所以甲是乙成立的充分不必要条件.
3.若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是( )
A.b⊂α
B.b∥α
C.b⊂α或b∥α
D.b与α相交或b⊂α或b∥α
选D 结合正方体模型可知b与α相交或b⊂α或b∥α都有可能.
4.如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条.
依题意,与AB和CC1都相交的棱有BC;
与AB相交且与CC1平行有棱AA1,BB1;
与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1.故符合条件的棱有5条.
5
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1.若直线上有两个点在平面外,则( )
A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
选D 根据题意,两点确定一条直线,那么由于直线上有两个点在平面外,则直线在平面外,只能是直线与平面相交,或者直线与平面平行,那么可知直线上至多有一个点在平面内.
2.空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45°
,连接各边中点所得四边形的面积是( )
A.6
B.12C.12
D.24
选A
如图,已知空间四边形ABCD,对角线AC=6,BD=8,易证四边形EFGH为平行四边形,∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的角,大小为45°
,故S四边形EFGH=3×
4×
sin45°
=6
,故选A.
3.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
选D
构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1∥l4,当取l4为BB1时,l1⊥l4,故排除A、B、C,选D.
4.已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( )
A.相交或平行B.相交或异面
C.平行或异面D.相交、平行或异面
选D 依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.
5.如图,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
A.A,M,O三点共线
B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O不共面
D.B,B1,O,M共面
选A 连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,C,A四点共面,所以A1C⊂平面ACC1A1,因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.
6.过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
选D 如图,连接体对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为
.联想正方体的其他体对角线,如连接BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,∵BB1∥AA1,BC∥AD,∴体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,同理,体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条.
二、填空题
7.
如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且
,则下列说法正确的是________.(填写所有正确说法的序号)
①EF与GH平行
②EF与GH异面
③EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上
④EF与GH的交点M一定在直线AC上
连接EH,FG(图略),依题意,可得EH∥BD,FG∥BD,故EH∥FG,所以E,F,G,H共面.
因为EH=
BD,FG=
BD,故EH≠FG,
所以EFGH是梯形,EF与GH必相交,
设交点为M.因为点M在EF上,
故点M在平面ACB上.同理,点M在平面ACD上,
∴点M是平面ACB与平面ACD的交点,
又AC是这两个平面的交线,
所以点M一定在直线AC上.
④
8.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有________对.
平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF和GH在原正方体中,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行.故互为异面直线的有3对.
3
9.已知a,b,c为三条不同的直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,α∩β=c.
①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;
②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;
③若a∥b,则必有a∥c;
④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β.
其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的序号)
①中若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交,故①正确;
②中平面α⊥平面β时,若b⊥c,则b⊥平面α,此时不论a,c是否垂直,均有a⊥b,故②错误;
③中当a∥b时,则a∥平面β,由线面平行的性质定理可得a∥c,故③正确;
④中若b∥c,则a⊥b,a⊥c时,a与平面β不一定垂直,此时平面α与平面β也不一定垂直,故④错误.
①③
10.如图,在三棱锥ABCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是________.
如图所示,连接DN,取线段DN的中点K,连接MK,CK.∵M为AD的中点,∴MK∥AN,∴∠KMC(或其补角)为异面直线AN,CM所成的角.∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N为BC的中点,由勾股定理易求得AN=DN=CM=2
,∴MK=
.在Rt△CKN中,CK=
.在△CKM中,由余弦定理,得cos∠KMC=
,所以异面直线AN,CM所成的角的余弦值是
三、解答题
11.
如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:
直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.
假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故
直线EF与BD是异面直线.
(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,
所以相交直线EF与EG所成的角,
即为异面直线EF与BD所成的角.
又因为AC⊥BD,则FG⊥EG.
在Rt△EGF中,由EG=FG=
AC,求得∠FEG=45°
,即异面直线EF与BD所成的角为45°
12.如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=
,AB=2,AC=2
,PA=2.求:
(1)三棱锥PABC的体积;
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.
(1)S△ABC=
×
2×
2
=2
,三棱锥PABC的体积为V=
S△ABC·
PA=
2=
(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.在△ADE中,DE=2,AE=
,AD=2,cos∠ADE=
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为