导数运用极大值与极小值(含答案)Word下载.doc

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7．如果函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

①函数y＝f（x）在区间内单调递增；

②函数y＝f（x）在区间内单调递减；

③函数y＝f（x）在区间（4,5）内单调递增；

④当x＝2时，函数y＝f（x）有极小值；

⑤当x＝－时，函数y＝f（x）有极大值．

则上述判断正确的是________．（填序号）

二、能力提升

8．若a>

0，b>

0，且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________．

9．若函数y＝x3－3ax＋a在（1,2）内有极小值，则实数a的取值范围是________．

10．求下列函数的极值：

（1）f（x）＝x3－12x；

（2）f（x）＝.

11．已知f（x）＝x3＋mx2－2m2x－4（m为常数，且m>

0）有极大值－，求m的值．

12．设a为实数，函数f（x）＝x3－x2－x＋a.

（1）求f（x）的极值；

（2）当a在什么范围内取值时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点？

三、探究与拓展

13．已知函数f（x）＝（x2＋ax－2a2＋3a）ex（x∈R），其中a∈R.

（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线的斜率；

（2）当a≠时，求函数f（x）的单调区间与极值．

答案

1．1

2．④

3．5

4．1　－3

5．3

6．9

7．③

8．9

9．1<

a<

4

10．解　

（1）函数f（x）的定义域为R.

f′（x）＝3x2－12＝3（x＋2）（x－2）．

令f′（x）＝0，得x＝－2或x＝2.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，－2）

－2

（－2,2）

2

（2，＋∞）

f′（x）

＋

－

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

从表中可以看出，当x＝－2时，函数f（x）有极大值，

且f（－2）＝（－2）3－12×

（－2）＝16；

当x＝2时，函数f（x）有极小值，

且f

（2）＝23－12×

2＝－16.

（2）函数的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞）．

∵f′（x）＝，

令f′（x）＝0，

得x1＝－1，x2＝2.

（－∞，－1）

－1

（－1,1）

1

（1,2）

↘

3

故当x＝－1时，函数有极大值，

并且极大值为f（－1）＝－.

11．解　∵f′（x）＝3x2＋mx－2m2＝（x＋m）（3x－2m），

令f′（x）＝0，则x＝－m或x＝m.

（－∞，－m）

－m

m

∴f（x）极大值＝f（－m）＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，

∴m＝1.

12．解　

（1）f′（x）＝3x2－2x－1.

令f′（x）＝0，则x＝－或x＝1.

（－∞，－）

（－，1）

（1，＋∞）

所以f（x）的极大值是f（－）＝＋a，

极小值是f

（1）＝a－1.

（2）函数f（x）＝x3－x2－x＋a＝（x－1）2（x＋1）＋a－1，

由此可知，x取足够大的正数时，

有f（x）>

0，x取足够小的负数时，有f（x）<

0，

所以曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点．

由

（1）知f（x）极大值＝f（－）＝＋a，

f（x）极小值＝f

（1）＝a－1.

∵曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点，

∴f（x）极大值<

0或f（x）极小值>

即＋a<

0或a－1>

∴a<

－或a>

1，

∴当a∈（－∞，－）∪（1，＋∞）时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点．

13．解　

（1）当a＝0时，f（x）＝x2ex，f′（x）＝（x2＋2x）ex，

故f′

（1）＝3e.

（2）f′（x）＝[x2＋（a＋2）x－2a2＋4a]ex.

令f′（x）＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，

由a≠知，－2a≠a－2.

以下分两种情况讨论：

①若a>

，则－2a<

a－2.当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

（－∞，－2a）

－2a

（－2a，a－2）

a－2

（a－2，＋∞）

所以f（x）在（－∞，－2a），（a－2，＋∞）内是增函数，在（－2a，a－2）内是减函数．

函数f（x）在x＝－2a处取得极大值f（－2a），

且f（－2a）＝3ae－2a.

函数f（x）在x＝a－2处取得极小值f（a－2），

且f（a－2）＝（4－3a）ea－2.

②若a<

，则－2a>

a－2.当x变化时，f′（x），

f（x）的变化情况如下表：

（－∞，a－2）

（a－2，－2a）

（－2a，＋∞）

所以f（x）在（－∞，a－2），（－2a，＋∞）内是增函数，

在（a－2，－2a）内是减函数．

函数f（x）在x＝a－2处取得极大值f（a－2），

函数f（x）在x＝－2a处取得极小值f（－2a），