高中数学必修2知识点和例题讲义Word下载.doc
《高中数学必修2知识点和例题讲义Word下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修2知识点和例题讲义Word下载.doc（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）.
A.1个B.2个C.3个D.4个选D.
【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为，求球的半径.
解：
圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R+r，梯形的高即球的直径为，
所以，球的半径为.
第3讲§
1.2.2空间几何体的三视图
【例1】画出下列各几何体的三视图：
【例2】画出下列三视图所表示的几何体.
【例3】如图，图
（1）是常见的六角螺帽，图
（2）是一个机器零件（单位：
cm），所给的方向为物体的正前方.试分别画出它们的三视图.
解
第
第4讲§
1.2.3空间几何体的直观图
“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法.基本步骤如下：
（1）建系：
在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系，直观图中画成斜坐标系，两轴夹角为.
（2）平行不变：
已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段.（3）长度规则：
已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；
平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
第5讲§
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积
学习目标：
了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；
能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题.
表面积相关公式
（r：
底面半径，h：
高）
底面半径，l：
母线长）
（r：
下底半径，r’：
上底半径，l：
【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：
【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.
.
第6讲§
1.3.1柱体、锥体、台体的体积
1.体积公式：
体积公式
2.柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；
当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体.因而体积会有以下的关系：
.
【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是.解：
设长方体的长宽高分别为，则，三式相乘得.所以，长方体的体积为6.
【例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.
如图，设所截等腰三角形的底边边长为.
在中，,所以,于是.依题意函数的定义域为.
【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 .
容器中水的体积为.流出水的体积为，如图，.设圆柱的母线与水平面所成的角为α，则，解得.
第7讲§
1.3.2球的体积和表面积
1.表面积：
（R：
球的半径）.2.体积：
【例2】表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积.
设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，，，又∵，∴，∴，∴，∴.
【例3】设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）.A． B． C． D．
【解】由已知可得，A、B、C、D在球的一个小圆上.∵AB=BC=CD=DA=3，∴四边形为正方形.∴小圆半径.
由得，解得.∴球的体积.所以选A.
第8讲§
2.1.1平面
1.点在直线上,记作；
点在平面内,记作；
直线在平面内,记作.
2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：
公理1
公理2
公理3
图形语言
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
3.公理2的三条推论：
推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.
【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？
【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：
EF、GH、AC三线共点.
∵PEF，EF面ABC，∴P面ABC.同理P面ADC.∵P在面ABC与面ADC的交线上，又∵面ABC∩面ADC=AC，∴PAC，即EF、HG、AC三线共点.
【例3】求证：
两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.
已知：
直线两两相交，交点分别为，求证：
直线共面.
证明：
因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α．因为A∈α，B∈α，所以ABα．同理BCα，ACα.所以AB，BC，CA三直线共面．
【例4】在正方体中，
（1）与是否在同一平面内？
（2）点是否在同一平面内？
（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线.
（1）在正方体中，∵，∴由公理2的推论可知，与可确定平面，∴与在同一平面内.
（2）∵点不共线，由公理3可知，点可确定平面，∴点在同一平面内.
（3）∵，，∴点平面，平面，又平面，平面，∴平面平面，同理平面平面．
第9讲§
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1.空间两条直线的位置关系：
2.已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）.所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；
异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作.求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：
选点→平移→定角→计算.
【例1】已知异面直线a和b所成的角为50°
，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°
的直线有且仅有（）.
A.1条B.2条C.3条D.4条
过P作∥a，∥b，若P∈a，则取a为，若P∈b，则取b为．这时，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50°
和130°
.记，所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与，都成30°
的直线．过点P与，都成30°
角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是，所成对顶角的平分线．其中射影是50°
对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130°
对顶角平分线的直线不存在．故答案选B.
【例2】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点.
（1）求证：
D、B、F、E四点共面；
（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：
P、Q、R三点共线.
（1）∵正方体中，，∴.又∵中，E、F为中点，∴.∴,即D、B、F、E四点共面.
（2）∵，，，，∴.又，∴，，∴.即P、Q、R三点共线
【例3】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：
a、b、c、d四线共面.
因为a//b，由公理2的推论，存在平面，使得.
又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.
假设，则,在平面内过点C作，
因为b//c，则，此与矛盾.故直线.
综上述，a、b、c、d四线共面.
【例4】如图中，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.
（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；
（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.
（1）如图，连结DC1，∵DC1∥AB1，∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.∵∠CC1D=45°
，∴AB1和CC1所成的角是45°
.
（2）如图，连结DA1、A1C1，∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.∵ΔA1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1=60º
，即直线AB1和EF所成的角是60º
第10讲§
2.1.3直线与平面、平面与平面位置关系
1.直线与平面的位置关系：
（1）直线在平面内（有无数个公共点）；
（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线与平面平行（没有公共点）.分别记作：
；
2.两平面的位置关系：
平行（没有公共点）；
相交（有一条公共直线）.分别记作；
【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.
分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.连结MN、DN，设AB=2，∴PM=PN=1.而AN=DN=，由MN⊥AD，AM=1，得MN=，
∴MN2=MP2+NP2，∴∠MPN=90°
.∴异面直线AB、CD成90°
角.
【例2】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC+BD=a，ACBD=b，求.
四边形EFGH是平行四边形，
=2=.
A
B
C
E
F
G
H
【例3】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.求证：
（1）E、F、G、H四点共面；
（2）三条直线EF、GH、AC交于一点.
（1）在△ABD和△CBD中，∵E、H分别是AB和CD的中点，∴EHBD.
又∵，∴FGBD.∴EH∥FG.所以，E、F、G、H四点共面.
第11讲§
2.2.1直线与平面平行的判定
1.定义：
直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.
2.判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号表示为：
.图形如右图所示.
【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：
AF∥平面PEC
设PC的中点为G，连接EG、FG.∵F为PD中点，∴GF∥CD且GF=CD.
∵AB∥CD，AB=CD，E为AB中点，
∴GF∥AE，GF=AE，四边形AEGF为平行四边形.
∴EG∥AF，
又∵AF平面PEC，EG平面PEC，∴AF∥平面PEC.
【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点.求证：
EF∥平面BB1D1D.
连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC，OE=DC.
∵DC∥D1C1，DC=D1C1，F为D1C1的中点，
C
D
E
F
M
O
∴OE∥D1F，OE=D1F，四边形D1FEO为平行四边形.∴EF∥D1O.
又∵EF平面BB1D1D，D1O平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.
【例3】如图，已知、、、分别是四面体
的棱、、、的中点，求证：
∥平
面.
如右图，连结，交于点，连结，
在中，、分别是、中点，∴，
∵为中点，∴为中点，
在中，∵、为、中点，∴，
又∵平面，平面，∴∥平面.
点评：
要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.
【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点
（1）求证：
MN//平面PAD；
（2）若，，求异面直线PA与MN所成的角的大小.
（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点，∴NH.由M是AB的中点，∴NHAM，即AMNH为平行四边形.∴.
由，∴.
（2）连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，∴OMBC，ONPA，所以就是异面直线PA与MN所成的角，且MO⊥NO.由，,得OM=2，ON=所以，即异面直线PA与MN成30°
的角
已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行.求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.
第12讲§
2.2.2平面与平面平行的判定
面面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：
【例1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：
平面MNP∥平面A1BD.
A1
B1
C1
D1
连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面A1BD.
【例2】正方体ABCD—A1B1C1D1中．
（1）求证：
平面A1BD∥平面B1D1C；
（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：
平面EB1D1∥平面FBD．
证明：
（1）由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，
又BDË
平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．
同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．
（2）由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．
N
M
P
Q
∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．
【例3】已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M、N、Q分别在PA、BD、PD上,且PM：
MA=BN：
ND=PQ：
QD.求证：
平面MNQ∥平面PBC.
PM：
QD.∴MQ//AD，NQ//BP，
而BP平面PBC，NQ平面PBC,∴NQ//平面PBC.
又ABCD为平行四边形，BC//AD，∴MQ//BC，
而BC平面PBC，MQ平面PBC,∴MQ//平面PBC.
由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理，∴平面MNQ∥平面PBC.
由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行.一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.
第13讲§
2.2.3直线与平面平行的性质
β
线面平行的性质：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
即：
【例1】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：
E1E∥B1B
∵，
∴.
又，
则.
【例2】如图，，，，，求证：
连结，
∵，
∴直线和可以确定一个平面，记为，
∵，，∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，∴.
第14讲§
2.2.4平面与平面平行的性质
1.面面平行的性质：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号语言表示为：
.2.其它性质：
①；
②；
③夹在平行平面间的平行线段相等.
【例1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β.求证：
MN∥α.
连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，
则ME∥AC，∴ME∥平面α，又NE∥BD，∴NE∥β，
又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面α，∵MN平面MEN，∴MN∥α.
【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：
ABCD是平行四边形．
∵A，B，C，D四点在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，
∴A，B，C，D四点共面．
又A，B，C，D四点在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，
∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1．
∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线．
∴AB∥CD．同理AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．
第15讲§
2.3.1直线与平面垂直的判定
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作.－平面的垂线，－直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.（线线垂直线面垂直）
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.符号语言表示为：
若⊥，⊥，∩＝B，Ì
，Ì
，则⊥
3.斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角.求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”.通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.
【例1】四面体中，分别为的中点，且，，求证：
平面.
取的中点，连结，∵分别为的中点，∴，.
又∴，∴在中，，∴，∴，又，即，，∴平面.
【例2】已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.
取CD的中点F，连接EF交平面于O，连AO.由已知正方体，易知平面，所以为所求.在中，，，.
所以直线AE与平面所成的角的正弦值为.
【例3】三棱锥中，，平面ABC，垂足为O，求证：
O为底面△ABC的垂心.
连接OA、OB、OC，∵平面ABC，∴.
又∵，
∴，得,
∴O为底面△ABC的垂心.
此例可以变式为“已知，求证”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到后进行证明.三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.
第16讲§
2.3.2平面与平面垂直的判定
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedralangle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角.（简记）
2.二面角的平面角：
在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.范围：
3.定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作.
4.判定：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.（线面垂直面面垂直）
【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.
AP⊥EF；
（2）求证：
平面APE⊥平面APF.
（1）如右图，∵∠APE=∠APF=90°
，PE∩PF=P，
∴PA⊥平面PEF.∵EF平面PEF，∴PA⊥EF.
（2）∵∠APE=∠EPF=90°
，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF.
又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.
【例2】如图,在空间四边形ABCD中，分别是的中点，求证：
平面平面.
为AC中点，所以.
同理可证∴面BGD.
又易知EF//AC，则面BGD.
又因为面BEF，所以平面平面.
第17讲§
2.3.3线面、面面垂直的性质
1.线面垂直性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行.（线面垂直线线平行）2.面面垂直性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
升级会员 