高中数学好题速递400题(201250)文档格式.doc

高中数学好题速递400题(201250)文档格式.doc

《高中数学好题速递400题(201250)文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学好题速递400题(201250)文档格式.doc（27页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

如图，取的中点，的中点，显然可证明平面平面，当在线段上时，均有平面，即动点的轨迹是线段。

点评：

善于转化是解决立体几何中平行与垂直问题的关键。

例如，考虑“线线平行”时，可转化为“线面平行”或“面面平行”；

考虑“线面平行”时，可转化为“线线平行”或“面面平行”；

考虑“面面平行”时，可转化为“线线平行”或“线面平行”。

在斜二测画法画图时，平行关系不会改变，因为要找平行线，可以考虑在图象上推平行线，然后关注哪个位置看起来比较特殊，例如中点，中位线之类。

好题速递208题

立体几何模块2．如图，在三棱柱的侧棱与上各有一个动点，，且满足，是棱上的动点，则的最大值是．

（注：

这里用到了梯形的面积与的面积相等。

）

即与重合时，最大，

设，为定值，则是关于的增函数

好题速递209题

立体几何模块3．已知线段，且与平面的距离为4，点是平面上的动点，且满足，若，则线段长度的取值范围是．

如图，将线段投影到平面上，得到射影，将空间问题平面化，则动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，

又，，，

好题速递210题

立体几何模块4．已知为正方体对角线上的一点，且，下面结论：

①；

②若平面，则；

③若为钝角三角形，则；

④若，则为锐角三角形．

其中正确结论的序号为．

在正方体中，平面，又平面，故，①正确；

由题可知，若平面，则

设正方体的棱长为1，则，，，在中，

所以，所以，②正确；

在正方体中，以为轴，为轴，为轴建系，设棱长为2，则

设，由，得

所以，，

若为钝角三角形，则为钝角，，解得，③错；

同理，当时，，所以为锐角三角形，④正确。

所以正确结论为①②④。

好题速递211题

立体几何模块5．如图，在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点有个．

点既在以为焦点，长轴为2的椭球上，又在正方体的棱上。

因为，故点在以为焦点，长轴为2的椭球外，所以椭球必与线段相交（交点就是的中点），同理在上各有一个交点满足条件

又若点在上，则，故上不存在满足条件的点，同理上也不存在满足条件的点。

好题速递212题

立体几何模块6．将一个长宽分别为的铁皮的四个角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子（不计粘合处），若这个长方体的外接球的面积存在最小值，则的取值范围是．

设切去的小正方形的边长为，长方体的外接球的半径为

则

因为长方体的外接球的面积存在最小值，所以，解得

好题速递213题

在直角梯形中，，，，，动点在以为圆心且过点的圆内运动（不含边界），设，则的取值范围是．

建立直角坐标系，，，，，

动点在内运动，所以

求目标函数的取值范围是

好题速递214题

在曲线上任取两点，则的最小值为．

记，则

且，，

同时满足，即，

当且仅当时取得“=”，故的最小值为2．

好题速递215题

已知函数是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则．

令，则，所以

令，则

当时，由得

则，故

好题速递216题

已知实数，设函数的两个零点分别为，则下列关系中恒成立的是（）

（A）（B）

（C）（D）

的两个零点，

即的两个零点

因为开口向上，，又，所以

即函数的零点一个大于，一个小于，且，

所以根据“一上一下，中间一点”的原则，可知，选C

好题速递217题

已知点在抛物线上，若的三个顶点都在抛物线上，记三边所在直线的斜率分别为，则．

，设，

抛物线题目的计算量相对于椭圆、双曲线要小一些，主要是基于抛物线上的点的设法，在化简过程中利用好平方差公式，可以使得计算简便。

这个过程要做到比较熟练。

好题速递218题

已知函数与函数在区间上都有零点，则的最小值为．

由题意知，，两式相加得

，两式相加得

当且仅当时取得等号。

这里用到了基本不等式，如果一下子看不出来，也可以先利用齐次化思想，将分子分母同除以，令，将式子简化，就容易发现了。

好题速递219题

已知函数，若在上既有最大值又有最小值，且最大值与最小值的和为4，则．

已知在上既有最大值又有最小值，故

又是奇函数，且最大值与最小值的和为4，则，

故

好题速递220题

对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：

①在内是单调的；

②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”．若存在“和谐区间”，则的取值范围是．

因为在和上是增函数，所以或，且，

因此是方程的两个不相等且同号的实数根，即有两个不相等且同号的实数根

又且，故只需，解得

又，故

好题速递221题

已知以为周期的函数，其中，若恰有5个实数解，则的取值范围是．

当时，原函数式化为方程，表示一个半椭圆，当时，是两线段和组成的折线，再根据周期性画出大致图象如图所示。

由图象可知，当直线与第二个半椭圆相交，而与第三个半椭圆无交点时，方程恰有5个实数解，

由方程组消去得

由，解得

由，解得，所以

好题速递222题

（2015重庆理科第16题）若函数的最小值为5，则________．

按照两类分类讨论，画出的折线图，图象最低点的纵坐标为5，求得或

由题意得，从而

设

的图象是以为顶点的开口向上的“V”形图。

的图象是以为顶点的开口向下（开口比的图象开口大）的“V”形图，且与轴交点的坐标为。

当或时，，所以若函数的最小值为5，则或

好题速递223题

若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是________．

设点满足，点满足

两式相加得点的轨迹是直线

同时点满足

所以满足条件的点在线段上，其中点，分别为直线与圆的交点，表示线段上的点与坐标原点连线距离的平方，所以当运动到或时，取得最大值为16，当运动到圆心时，取得最小值为8，故

将代入，得到

将代入得

好题速递224题

★设反比例函数与二次函数的图象有且仅有两个不同的公共点，，且，则．

与的图象有且仅有两个不同的公共点

方程有两个不同的实数根

三次方程仅有两个实根，故必有一个是一次根，一个是重根。

方程或

对于第一种情况，等式两边展开比较系数得，，

故，因为，所以，

对于第二种情况，等式两边展开比较系数得，，

故，因为，所以，但由知，与矛盾，故舍去。

本题是自山东高考题改编而来，解法中运用了三次方程求根的因式分解，奇次根穿过与偶次根反弹的问题。

浙江高考曾多次考过类似的问题，值得注意。

例如：

（2014浙江文7）已知函数，且，则

A．B．C．D．

方程的三个根为，

比较系数得，故

（2012浙江理17）设，若时均有，则____．

，且，因为对恒成立，则必是二重零点

代入得：

，解之得：

，舍去，得答案：

（2013浙江文16）设，若时恒有，则。

【解析】当时，有，所以得，代回原式

故必定是重根，即中必有因子，所以，所以

这三道题都是加深零点意义理解的好题。

零点就像是x轴上的守门员，关系着函数正负性变化的重任，“奇重零点穿过，偶重零点反弹”。

好题速递225题

设是正实数，且，则的最小值是________．

设，，则题目变为“已知，求的最小值。

当且仅当，即，即时取得等号

本题还是分母换元使得式子简化，灵活运用均值不等式。

好题速递226题

（重庆高考题）函数的值域是__________．

设，则问题变为求的值域

当时，有

将视为圆上任一点与原点连线的斜率，结合图形可知，

所以，

当时，

综上可知，

注意到，联想其结构特征与三角函数中的正余弦定义式相似

于是设直线的倾斜角为，则

好题速递227题

已知，，，，则的取值范围是________．

考虑向量模的几何意义

由和，可作出图形

的终点必在以为直径的圆上

又，故的终点必在以为圆心，1为半径的圆上

所以问题转化为与（半径为1的小圆）有交点

注意到的半径为，圆心距

所以两圆相交需满足

且有

作一个整体换元，设，

问题转化为规划问题，已知，求的取值范围。

如图可得

代数方法

，因此只需求的取值范围

即，解得

所以，故

解法三：

解析几何坐标方法

设，设A，B是以O为圆心，2为半径的圆上两点，且AC^BC，则|a－b|=AB=2MC．

∵MO2+MA2=OA2，而MA=MC，∴MO2+MC2=4．

设，则，

即．（*）

|a－b|=AB=2MC=．

由（*）知，，

∴，即．

∴．

好题速递228题

已知实数，满足，，则的最大值是________．

因为

即的最大值是

好题速递229题

设函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是________．

由题意知的值域是值域的子集，易得的值域是

设，则的值域为的值域，再通过分类讨论进行解答

或或或

解得

解法一常规，但计算量较大，作为填空题不划算。

故从数形结合的角度，利用函数图象给出解法二。

的值域是，设，

则问题可以转化为对任意实数，关于的方程在上有解，

即对任意实数，总存在，使得直线与在是有公共点，

即直线与一簇函数个个都有公共点，

从图象上显然看到，只要直线与函数有公共点即可，于是求得

好题速递230题

在中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是．

因为，系数之和为1，故三点共线，且，所以点在线段上，设，

当时，取最小值

好题速递231题

设数列满足，且，则．

找规律。

易知，，，，，……，

故数列是周期为5的数列，所以

好题速递232题

令，则，即数列是等比数列，且，故，即

好题速递233题

已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为．

由

（1）

（2）得

因为，故

好题速递234题

已知函数，其中，设为的一个零点，若，则符合条件的的值有个．

因为，故，解得

由知，

当时，；

当时，（舍去）；

综上，符合条件的或，有两个值。

好题速递235题

已知是的外心，，，，若，则的最小值为．

因为，

解得，

这里又是三角形外心与向量的常见结合题，“外心点积转边投影”是正道。

好题速递236题

★已知函数，设，，若函数有四个零点，则的取值范围是．

是开口形状确定，顶点在上运动的抛物线，于是当取不同值时所对应的函数图象如图所示，是“W型”的图象

交点横坐标由解得

函数有四个零点，可视为直线与函数有四个交点，故只需两条抛物线的“交叉点”到直线的竖直距离大于即可。

故，解得

好题速递237题

在中，若，，则的面积取得最大值时，最长的边长等于．

设，，

由题知，，

故，当且仅当时，取得最大值，此时

由余弦定理知

当且仅当时，等号成立，故最长边为

好题速递238题

如图，在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是．

极化恒等式角度

显然当均为的直径时，最大为4；

取的中点，则由极化恒等式知

投影角度

要求，显然在确定的情况下，最大。

如图，当且与圆相切时，最大。

此时设，则，

显然当且仅当与重合，与重合，即与反向且模长均为直径时，

坐标角度

设，

令

则（当且仅当时取得等号）

解法四：

利用竞赛知识

在竞赛中证明过一个不等式，在中，有

这里用了三角的积化和差、和差化积公式，属于超纲内容。

好题速递239题

★在平面直角坐标系中，设是圆上不同的三个点，若存在实数，使得，则的取值范围是．

（这里的就是向量夹角，由于三点不同，故）

当时有

画出可行域如图，

于是将视为可行域内的到点的距离的平方，易得当时，，当时，，故

于是

由可以构造三角形法则

故设，则构成的三边（否则三点中至少有两个点重合），如图所示

于是满足，画出可行域，后续如解法一。

好题速递240题

★已知二次函数为非负，则的最小值为．

齐次化思想

根据条件有，则

因此

当且仅当及时取得最小值，即时取得。

令得

令，得，代入

得

当且仅当时取得等号

待定系数法

假设，化简为

又

故比对系数得，得，即，此时

即因为，所以

因为，所以

好题速递241题

已知，，则的最大值是．

判别式法

令，代入得

关于的一元二次方程有解得，即

所以，当且仅当时取得等号。

化齐次式

令，即

利用余弦定理构造三角形

设的三边分别为，由得

由正弦定理，故

其中，故取，

评注：

本题是很常见的最值问题，解法一、解法二是常规的两种方法，解法三利用三角换元，解法四构造三角形的方法不仅求出了最大值，还取到了最小值。

好题速递242题

（2015全国联赛2）若实数满足，则的值为．

由得，

这里用了1的逆用，简化了计算，当然也可以把都算出来，不过计算量比较大。

好题速递243题

（2015全国联赛4）在矩形中，，边上（包含）的动点与的延长线上（包含点）的动点满足，则的最小值为．

不妨设，则，则由得，

坐标法解决向量问题是常见方法。

好题速递244题

（2015全国联赛6）在平面直角坐标系中，点集所对应的平面区域的面积为．

先考虑在第一象限中的部分，此时有，故这些点对应于图中的及其内部，由对称性知，对应的区域是图中以原点为中心的菱形及其内部

同理设，则对应的区域是图中以为中心的菱形及其内部。

由点集的定义知，所对应的平面区域是被，中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积

由直线，直线得交点

由对称性知，

好题速递245题

（2015全国联赛7）设为正实数，若存在，使得，则的取值范围是．

而，故题目条件等价于：

存在整数，使得①

当时，区间的长度不小于，故必存在满足①式

当时，注意到，故仅需要考虑如下几种情况：

（i），此时且，无解

（ii），此时

（iii），此时，得

综上，可知或

好题速递246题

（2015全国联赛9）若实数满足，，则的最小值是．

由条件知，

当且仅当，即，的最小值为

由于，故的最小值为

本题又是“三个字母两个方程，少一个合情合理”的问题。

在处理的时候用到了三元均值不等式

好题速递247题

（2015安徽全国联赛3）设平面向量满足，则的取值范围是．

由于，当时取得等号

又，当时取得等号

取平面内，，则

于是问题转化为在同心圆环（）内的两点之间的距离在之间，求的取值范围。

（评注：

又是一个点发出的两个向量做点积，极化恒等式又有用武之地啦！

，其中是线段的中点

如图所示，由圆的垂径定理得，

当位于半径为3的圆周上，且时取得最大值为

当重合时，取得最小值为0

因此，即，即

好题速递248题

A

B

C

P

H

O

在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若面积的最大值为16，则实数的取值范围是．

，

故面积的最大值为16，即能取得4。

由图象可知，，故

解不等式得或

好题速递249题

如图，已知边长为1的正的顶点在平面内，顶点在平面外的同一侧，点分别为在平面内的投影，设，直线与平面所成的角为。

若是以角为直角的直角三角形，则的取值范围是．

如图建系，设，，则

因为且，故

又因为，故，又，故

又因为，，故

注意到

考虑为直线与平面所成的角，显然其上界（无法取得）为，此时；

其最小值当时取得，为，因此所求的范围为

好题速递250题

在中，边上的中垂线分别交于，若，，则．

取作为基底向量，则，

由得，即①

而得，整理得②

将①式代入②式得，故