辽宁省高考数学试卷理科Word文件下载.doc

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11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（　　）

A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16

12．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f

（2）=，则x＞0时，f（x）（　　）

A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分.

13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　　．

14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=　　．

15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=　　．

16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为　　．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）设向量，，．

（1）若，求x的值；

（2）设函数，求f（x）的最大值．

18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．

（Ⅰ）求证：

平面PAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：

二面角C﹣PB﹣A的余弦值．

19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．

（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．

20．（12分）如图，抛物线C1：

x2=4y，C2：

x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．

（Ⅰ）求P的值；

（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．

21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，

（I）求证：

；

（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（10分）选修4﹣1：

几何证明选讲

如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：

（I）∠FEB=∠CEB；

（II）EF2=AD•BC．

23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．

（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；

（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．

24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1

（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；

（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．

参考答案与试题解析

【解答】解：

复数，

所以===．

故选B．

由A中的不等式变形得：

log41＜log4x＜log44，

解得：

1＜x＜4，即A=（1，4），

∵B=（﹣∞，2]，

∴A∩B=（1，2]．

故选D

∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，

则与向量同方向的单位向量为=，

故选A．

∵对于公差d＞0的等差数列{an}，an+1﹣an=d＞0，∴命题p1：

数列{an}是递增数列成立，是真命题．

对于数列{nan}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）an+1﹣nan=（n+1）d+an，不一定是正实数，

故p2不正确，是假命题．

对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，

故p3不正确，是假命题．

对于数列{an+3nd}，第n+1项与第n项的差等于an+1+3（n+1）d﹣an﹣3nd=4d＞0，

故命题p4：

数列{an+3nd}是递增数列成立，是真命题．

故选D．

∵成绩低于60分有第一、二组数据，

在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，

每组数据的组距为20，

则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×

20=0.3，

又∵低于60分的人数是15人，

则该班的学生人数是=50．

故选：

B．

利用正弦定理化简已知等式得：

sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，

∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，

∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，

则∠B=．

故选A

设（n∈N+）的展开式的通项为Tr+1，

则：

Tr+1=3n﹣r••xn﹣r•=3n﹣r••，

令n﹣r=0得：

n=r，又n∈N+，

∴当r=2时，n最小，即nmin=5．

输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，

判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；

判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；

判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；

判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；

判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；

判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．

∵=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．

①若，则=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；

②若，则=b（a3﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0；

③若，则=a2+a3（a3﹣b）=0，得1+a4﹣ab=0，即．

综上可知：

△OAB为直角三角形，则必有．

故选C．

因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，

所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，

因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，

所以球的半径为：

．

令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．

①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±

2，此时f（x）=g（x）；

②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；

③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．

（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，

H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，

（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；

（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），

故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，

∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．

∵函数f（x）满足，

∴

令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，

F

（2）=4•f

（2）=．

由，得f′（x）=，

令φ（x）=ex﹣2F（x），则φ′（x）=ex﹣2F′（x）=．

∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，

∴φ（x）的最小值为φ

（2）=e2﹣2F

（2）=0．

∴φ（x）≥0．

又x＞0，∴f′（x）≥0．

∴f（x）在（0，+∞）单调递增．

∴f（x）既无极大值也无极小值．

13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　16π﹣16　．

根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，

圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，

四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．

故其体积为：

22π×

4﹣22×

4=16π﹣16，

故答案为：

16π﹣16．

14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=　63　．

解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．

因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，

所以a1=1，a3=4．

设等比数列{an}的公比为q，则，所以q=2．

则．

故答案为63．

15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=　　．

设椭圆的右焦点为F'

，连接AF'

、BF'

∵AB与FF'

互相平分，∴四边形AFBF'

为平行四边形，可得|AF|=|BF'

|=6

∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，

∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×

|BF|cos∠ABF，

可得62=102+|BF|2﹣2×

10×

|BF|×

，解之得|BF|=8

由此可得，2a=|BF|+|BF'

|=14，得a=7

∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2

∴∠AFB=90°

，可得|OF|=|AB|=5，即c=5

因此，椭圆C的离心率e==

16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为　10　．

设样本数据为：

x1，x2，x3，x4，x5，

平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷

5=7；

方差s2=[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷

5=4．

从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，①

（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2=20．②

若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为：

（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；

若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10．

10．

（1）由题意可得=+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，

由，可得4sin2x=1，即sin2x=．

∵x∈[0，]，∴sinx=，即x=．

（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+．

x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，

∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．

【解答】

（Ⅰ）证明：

如图，

由AB是圆的直径，得AC⊥BC．

由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC．

又PA∩AC=A，PA⊂平面APC，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC．

因为BC⊂平面PBC，

所以平面PAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）解：

过C作CM⊥AB于M，

因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM，

故CM⊥平面PAB．

过M作MN⊥PB于N，连接NC．

由三垂线定理得CN⊥PB．

所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角．

在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得，，．

在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得．

因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以．

故MN=．

又在Rt△CNM中，．故cos．

所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．

（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”

则=张同学至少取到的全为甲类题

∴P（A）=1﹣P（）=1﹣=

（II）X的所有可能取值为0，1，2，3

P（X=0）==

P（X=1）==

P（X=2）=+=

P（X=3）==

X的分布列为

X

1

2

3

P

EX=

（Ⅰ）因为抛物线C1：

x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=，且切线MA的斜率为﹣，

所以设A点坐标为（x，y），得，解得x=﹣1，y==，点A的坐标为（﹣1，），

故切线MA的方程为y=﹣（x+1）+

因为点M（1﹣，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是

y0=﹣（2﹣）+=﹣①

∴y0=﹣=﹣②

解得p=2

（Ⅱ）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2，由N为线段AB中点知x=③，y==④

切线MA，MB的方程为y=（x﹣x1）+，⑤；

y=（x﹣x2）+⑥，

由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=，y0=

因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣⑦

由③④⑦得x2=y，x≠0

当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=y

因此中点N的轨迹方程为x2=y

（I）证明：

①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）ex，

令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）ex，则h′（x）=x（ex﹣e﹣x）．

当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，

∴h（x）在[0，1）上是增函数，

∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．

②当x∈[0，1）时，⇔ex≥1+x，令u（x）=ex﹣1﹣x，则u′（x）=ex﹣1．

当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，

∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，

∴f（x）．

（II）解：

设G（x）=f（x）﹣g（x）=

≥=．

令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，

令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．

当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，

可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，

∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．

∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．

下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．

f（x）﹣g（x）≤==﹣x．

令v（x）==，则v′（x）=．

当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，

∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．

当a＞﹣3时，a+3＞0．

∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．

即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．

综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．

【解答】证明：

（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．

∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°

∴∠EAB+∠EBA=90°

∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°

∴∠FEB=∠EAB．

∴∠CEB=∠EAB．

（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°

=∠EFB，

又∠CEB=∠FEB，EB公用．

∴△CEB≌△FEB．

∴CB=FB．

同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．

在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB．

∴EF2=AD•CB．

23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2