解三角形完整讲义Word下载.docx

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3、的内角的对边分别为，若，则等于（）

A． B．2 C． D．

4、已知△ABC中，，，，则a等于（B）

A．B.C.D.

5、在△ABC中，＝10，B=60°

C=45°

则等于（ B）

A． B． C． D．

6、已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则等于．（）

7、△ABC中，，，，则最短边的边长等于（A）

A.B.C.D.

8、△ABC中，，的平分线把三角形面积分成两部分，则（C）

A.B.C. D.

9、在△ABC中，证明：

。

证明：

由正弦定理得：

两边之和

1、在△ABC中，A＝60°

，B＝45°

，，则a＝；

b＝.

（,）

2、已知的周长为，且．

（1）求边的长；

（2）若的面积为，求角的度数．

三角形个数

1、△ABC中，∠A=60°

a=,b=4,那么满足条件的△ABC（C）

A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定

2、ΔABC中,a=1,b=,∠A=30°

则∠B等于 （B）

A．60°

B．60°

C．30°

D．120°

3、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （D）

A．b=10，A=45°

，B=70°

B．a=60，c=48，B=100°

C．a=7，b=5，A=80°

D．a=14，b=16，A=45°

4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （D）

A．a=1,b=2,c=3 B．a=1,b=,∠A=30°

C．a=1,b=2,∠A=100°

C．b=c=1,∠B=45°

5、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°

，此三角形的解的情况是（B ）

A．无解 B．一解 C． 二解 D．不能确定

6、满足A=45°

c=,a=2的△ABC的个数记为m,则am的值为（A）

A．4 B．2 C．1 D．不定

7、已知△ABC中，121°

，则此三角形解的情况是无解

8、在△ABC中，已知，，，则边长。

或

等比叠加

1、△ABC中，若，，则等于（A）

A.2B.C.D.

2、在△ABC中，A=60°

b=1,面积为，则=.

变式应用

1、在△ABC中，若∠A:

∠B:

∠C=1:

2:

3,则

2、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，则A∶B∶C等于（　A　　）

　　A．1∶2∶3 B．2∶3∶1

C．1：

3：

2 D．3：

1：

2

3、在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：

sinB：

sinC＝4：

5：

6,下列结论：

①②③④其中成立的个数是（ C）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

4、在△ABC中，已知边,，求边a、b的长。

解：

由，,可得，

变形为sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B,

又∵a≠b,∴2A=π－2B,∴A+B=.∴△ABC为直角三角形.

由a2+b2=102和，解得a=6,b=8。

5、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，若，则_________________。

6、设锐角三角形的内角的对边分别为，．

（1）求的大小；

（2）求的取值范围．

求取值范围

1、△ABC中，已知60°

，如果△ABC两组解，则x的取值范围（C）

A． B． C． D．

2、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（B）

A． B．C． D．

3、在锐角中，则的值等于，的取值范围为.2

答案 

：

设由正弦定理得

由锐角得，

又，故，所以

余弦定理

公式应用

1、在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（ C ）

A． 30°

B．45°

C．60°

D．120°

2、在三角形中，，则的大小为（）

3、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（B）

A.90°

B.120°

C.135°

D.150°

4、在△ABC中，150°

，则b＝7

5、在△ABC中，若，则（C）

A.B.C.D.

6、在△中，三边长分别为,则的值为（D）

A．38B．37C．36D．35

7、在△ABC中，已知，则角A为（C ）

A． B． C． D．或

8、在钝角△ABC中，已知，，则最大边的取值范围是。

9、设a、b、c是的三边长，对任意实数x，有（B）

A.B.C.D.

9、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（B）

A．52 B． C．16 D．4

10、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC=9

11、设A、B、C为三角形的三内角,且方程（sinB－sinA）x2+（sinA－sinC）x+（sinC－sinB）=0有等根，那么角B （D）

A．B>

60°

B．B≥60°

C．B<

D．B≤60°

（sinA-sinC）²

-4（sinB-sinA）（sinC-sinB）=sin²

A-2sinAsinC+sin²

C-4（sinBsinC-sinAsinC-sin²

B+sinAsinB）

=（sinA+sinC）²

-4sinB（sinA+sinC）+4sin²

B=（sinA+sinC-2sinB）²

判断三角形

1、若，则△（A）

A.一定是锐角三角形 B.可能是钝角三角形

C.一定是等腰三角形 D.可能是直角三角形

2、在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（C）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

3、△ABC中，，，则△ABC一定是（D）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（A）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定

5、△ABC中，，则△ABC一定是（D）

A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

6、在△ABC中，若，则△ABC是（B）

A．有一内角为30°

的直角三角形 B．等腰直角三角形

C．有一内角为30°

的等腰三角形 D．等边三角形

7、若的内角的对边分别为，且则（）

A．为等腰三角形 B．为直角三角形

C．为等腰直角三角形 D．为等腰三角形或直角三角形

8、的内角的对边分别为，根据下列条件判断三角形形状：

9、若（a+b+c）（b+c－a）=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么ΔABC是 （B）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

10、在△ABC中，已知,那么△ABC一定是（ B ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形

11、在△ABC中，若，则△ABC的形状是（D ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

12在中，，，分别为角，，所对边，若，则此三角形一定是（C）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

13、在△ABC中，若，则△ABC的形状是（B）

A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形

14、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ B）

A． B． C． D．

15、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=,则ΔABC是______三角形.钝角

16、在△ABC中，已知，，试判断△ABC的形状。

由正弦定理得：

，，。

所以由可得：

，即：

又已知，所以，所以，即，

因而。

故由得：

，。

所以，△ABC

为等边三角形。

17、已知的三个内角A、B、C所对的边分别为,向量

，且.

（1）求角A的大小；

（2）若，试求当取得最大值时的形状.

9.解：

（1）由

又因为

解得分

（Ⅱ）在，

．，

即,

又由（Ⅰ）知所以，为正三角形

18、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：

①B=60°

b2=ac；

①由余弦定理

，

.由a=c及B=60°

可知△ABC为等边三角形.

②b2tanA=a2tanB；

②由

∴A=B或A+B=90°

，∴△ABC为等腰△或Rt△.

③sinC=③，由正弦定理：

再由余弦定理：

.

④（a2－b2）sin（A+B）=（a2+b2）sin（A－B）.④由条件变形为

∴△ABC是等腰△或Rt△.

1、在△ABC中，如果，那么等于。

2、在中，已知，则___________

3、在△ABC中，，则△ABC的最大内角的度数是120

4、在△ABC中，，cosC是方程的一个根，求△ABC周长的最小值。

又是方程的一个根由余弦定理可得：

则：

当时，c最小且此时△ABC周长的最小值为

5、在中，角所对的边分别为，且满足，．

（I）求的面积；

（II）若，求的值．

解

（1）因为，，又由

得，

（2）对于，又，或，由余弦定理得

，

已知面积

1、已知△ABC的面积为，且，则∠A等于（D）

B．30°

C．60°

D．60°

2、在中，已知角、、所对的边分别是、、，边，且，又的面积为，则____________

3、已知△中，，，，，，则（）

A.B．C．D．或

4、若△ABC的周长等于20，面积是，A＝60°

，则BC边的长是（C）

A． 5 B．6 C．7 D．8

5、在ΔABC中，若SΔABC=（a2+b2－c2）,那么角∠C=______.

6、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。

求：

（1）角C的度数；

（2）AB的长度。

（1）C＝120°

（2）由题设：

7、在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b

解法一：

在中则由正弦定理及余弦定理有:

化简并整理得：

.又由已知.解得.

解法二:

由余弦定理得:

.又,.

所以 ①

又，

，即

由正弦定理得，故 ②

由①，②解得.

求三角形面积

1、在△ABC中，,,∠A＝30°

，则△ABC面积为（B）

A． B． C．或 D． 或

2、已知△ABC的三边长，则△ABC的面积为（B）

A

C

B

30米

20米

3、三角形的一边长为14，这条边所对的角为，另两边之比为8：

5，则这个三角形的面积为。

4、在△ABC中，°

，°

，∠C＝70°

，那么△ABC的面积为（C）

A． B． C． D．

5、△ABC中，，，，则等于（C）

ABC或D或

6、在ABC中，,sinB=.（I）求sinA的值；

（II）设AC=，求ABC的面积.

7、、、为的三内角，对边分别为、、，若．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求的面积．

（Ⅰ）

又，，

（Ⅱ）由余弦定理得

即：

，∴

8、在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2x+2=0的两根，角A、B满足：

2sin（A+B）－=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。

由2sin（A+B）－=0，得sin（A+B）=,∵△ABC为锐角三角形

∴A+B=120°

C=60°

又∵a、b是方程x2－2x+2=0的两根，∴a+b=2,

∴c=,=×

2×

=。

a·

b=2,∴c2=a2+b2－2a·

bcosC=（a+b）2－3ab=12－6=6,

9、已知△的内角的对边分别为，其中，又向量m，n，m·

n=1．

（1）若，求的值；

（2）若，求△的面积．

（1）∵mn

∴∴

由正弦定理得，，∴，

（2）∵，，，∴，又∵，∴，∴，∴．

10、在中，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设，求的面积．

10.解：

（Ⅰ）由，得．----2分

∵，∴-----4分

．-----6分

（Ⅱ）由，得，------8分

由正弦定理得．-----10分

所以的面积．----12分

11、在中，角所对的边分别为，且满足，．

解（Ⅰ）

又，，而，所以，所以的面积为：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以

所以

定理应用

1、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°

、60°

，则塔高为（ 

）

A.米B.米C.200米D.200米

2、海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°

的视角，从B岛望C岛和A岛成75°

的视角，则B、C间的距离是（ 

C 

）

A.10海里 

B.5海里 

C.5海里 

D.5海里

3、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（D）

A． 450a元 B．225a元 C． 150a元 D． 300a元

4、甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°

的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（A）

A． 分钟 B．分钟 C．21.5分钟 D．2.15分钟

5、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°

，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°

，这时飞机与地面目标的水平距离为（A）

A． 5000米 B．5000 米 C．4000米 D．米

6、如图：

D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,α（α<

β）,则A点离地面的高度AB等于 （A）

A． B．

DC

C．D．

7、在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°

的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？

（如图所示）

设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°

，OB＝vt，。

在△AOB中，由正弦定理，得，

∴

而，即sin∠OAB>

1,∴这样的∠OAB不存在，因此，游击手不能接着球.

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