求数列通项公式的十种方法文档格式.doc

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解:

由已知得,

化简有,由类型

（1）有,

又得,所以,又,,

此题也可以用数学归纳法来求解.

二、累乘法

1.○。

------------适用于：

----------这是广义的等比数列

累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若，则

两边分别相乘得，

例4已知数列满足，求数列的通项公式。

因为，所以，则，故

所以数列的通项公式为

例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.

已知等式可化为：

（）（n+1）,即

时，

==.

本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.

练习.已知,求数列{an}的通项公式.

答案：

-1.

本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为

若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.

三、待定系数法适用于

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如,其中）型

（1）若c=1时，数列{}为等差数列;

（2）若d=0时，数列{}为等比数列;

（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

待定系数法：

设,

得,与题设比较系数得

所以所以有：

因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，

所以即：

.

规律：

将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式

逐项相减法（阶差法）：

有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型

（1）即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例6已知数列中，，求数列的通项公式。

又是首项为2，公比为2的等比数列

，即

两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……

练习．已知数列中，求通项。

2．形如：

（其中q是常数，且n0,1）

①若p=1时，即：

，累加即可.

②若时，即：

，

求通项方法有以下三种方向：

i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列

即：

令，则,然后类型1，累加求通项.

ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。

即：

令,则可化为.然后转化为类型5来解，

iii.待定系数法：

目的是把所求数列构造成等差数列

设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.

注意：

应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。

例7已知数列满足，求数列的通项公式。

解法一（待定系数法）：

设，比较系数得，

则数列是首项为，公比为2的等比数列，

所以，即

解法二（两边同除以）：

两边同时除以得：

，下面解法略

解法三（两边同除以）：

练习.（2003天津理）

设为常数，且．证明对任意≥1，；

3．形如（其中k,b是常数，且）

方法1：

逐项相减法（阶差法）

方法2：

待定系数法

通过凑配可转化为;

解题基本步骤：

1、确定=kn+b

2、设等比数列，公比为p

3、列出关系式,即

4、比较系数求x,y

5、解得数列的通项公式

6、解得数列的通项公式

例8在数列中，求通项.（逐项相减法）

，①

时，，

两式相减得.令,则

利用类型5的方法知即②

再由累加法可得.亦可联立①②解出.

例9.在数列中，,求通项.（待定系数法）

原递推式可化为

比较系数可得：

x=-6,y=9,上式即为

所以是一个等比数列，首项,公比为.即：

故.

4．形如（其中a,b,c是常数，且）

基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

例10已知数列满足，求数列的通项公式。

设

比较系数得，

所以

由，得

则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。

5.形如时将作为求解

分析：

原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。

例11已知数列满足，求数列的通项公式。

设

比较系数得或，不妨取，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）

则，则是首项为4，公比为3的等比数列

，所以

练习.数列中，若,且满足,求.

.

四、迭代法（其中p,r为常数）型

例12已知数列满足，求数列的通项公式。

因为，所以

又，所以数列的通项公式为。

注：

本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

例13.（2005江西卷）

已知数列，

（1）证明

（2）求数列的通项公式an.

（1）略

（2）所以

又bn=－1，所以.

本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：

设c，则c,转化为上面类型

（1）来解

五、对数变换法适用于（其中p,r为常数）型p>

0，

例14.设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.

两边取对数得：

，，设，则是以2为公比的等比数列，，，，∴

练习数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.

例15已知数列满足，，求数列的通项公式。

因为，所以。

两边取常用对数得

设 （同类型四）

由，得，

所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此

则。

六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例16已知数列满足，求数列的通项公式。

求倒数得为等差数列，首项，公差为，

七、换元法适用于含根式的递推关系

例17已知数列满足，求数列的通项公式。

令，则

代入得

即

因为，

则，即，

可化为，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得

。

八、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。

例18已知数列满足，求数列的通项公式。

由及，得

由此可猜测，下面用数学归纳法证明这个结论。

（1）当时，，所以等式成立。

（2）假设当时等式成立，即，则当时，

由此可知，当时等式也成立。

根据

（1），

（2）可知，等式对任何都成立。

九、阶差法（逐项相减法）

1、递推公式中既有，又有

分析：

把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。

例19已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。

∵对任意有⑴

∴当n=1时，，解得或

当n≥2时，⑵

⑴-⑵整理得：

∵各项均为正数，∴

当时，，此时成立

当时，，此时不成立，故舍去

练习。

已知数列中,且,求数列的通项公式.

2、对无穷递推数列

例20已知数列满足，求的通项公式。

因为 ①

所以 ②

用②式－①式得

则故

所以 ③

由，，则，又知，则，代入③得。

所以，的通项公式为

十、不动点法目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法

不动点的定义：

函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。

由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。

类型一：

形如

例21已知数列中，，求数列的通项公式。

递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1

∴，……

类型二：

递归函数为

（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴

（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。

例22.设数列满足,求数列的通项公式.

此类问题常用参数法化等比数列求解.

对等式两端同时加参数t,得：

令,解之得t=1,-2代入得

,

相除得,即{}是首项为，

公比为的等比数列,=,解得.

两边取倒数得，

令b，则b,转化为累加法来求.

例23已知数列满足，求数列的通项公式。

令，得，则是函数的两个不动点。

因为

所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。

练习1：

已知满足，求的通项

练习2。

已知数列满足，求数列的通项

练习3.（2009陕西卷文）

已知数列满足，.

令，证明：

是等比数列；

（Ⅱ）求的通项公式。

（1）是以1为首项，为公比的等比数列。

（2）。

十一。

特征方程法形如是常数）的数列

形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①

若①有二异根，则可令是待定常数）

若①有二重根，则可令是待定常数）

再利用可求得，进而求得

例24已知数列满足，求数列的通项

其特征方程为，解得，令，

由，得，

例25已知数列满足，求数列的通项

练习1．已知数列满足，求数列的通项

练习2．已知数列满足

，求数列的通项

说明：

（1）若方程有两不同的解s,t,

则,,

由等比数列性质可得,,

由上两式消去可得.

（2）若方程有两相等的解，则

即是等差数列，

由等差数列性质可知，

所以．

例26、数列满足，且求数列的通项。

……①

令，解得，将它们代回①得，

……②，……③，

③÷

②，得,

则，∴数列成等比数列，首项为1，公比q=2

所以，则，

十二、四种基本数列

1．形如型等差数列的广义形式，见累加法。

2.形如型等比数列的广义形式，见累乘法。

3.形如型

（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f（n）为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;

或用逐差法（两式相减）得，，分奇偶项来分求通项.

例27.数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.

分析1：

构造转化为型

解法1：

令

则.

时,各式相加:

当n为偶数时，.此时当n为奇数时，

此时,所以.故解法2：

时，，两式相减得：

构成以,为首项，以2为公差的等差数列;

构成以,为首项，以2为公差的等差数列

.

评注：

结果要还原成n的表达式.

例28.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足

Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.

方法一：

以下同上例，略

答案

4.形如型

（1）若（p为常数），则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f（n）为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.

例29.已知数列,求此数列的通项公式.

同上例类似，略.

5．形如型

（1）若是常数，同题型1.

（2）若是一次式同题型1

（3）若是二次式。

例1．（2006年陕西理20）已知正项数列，其前n项和S满足成等比数列，且10S=，求数列的通项公式.

∵10S=①

∴

又10S=

（2）,②

①-②,得，

即.

∵∴.

当.此时不成等比数列，∴.

当.此时有.∴.

∴.

评注:

该题用即的关系,.

消去,也可用的方法求出.

例2．（2007年重庆理科21）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，

求证：

．

（I）解由，解得或，

由假设，因此，

又由，

得，即或，

因，故不成立，舍去．

因此，从而是公差为，首项为的等差数列，

故的通项为．

（II）证法一：

由可解得；

从而．

因此．

令，

则．

因，故．

特别地，从而．

即．

证法二：

同证法一求得及，

由二项式定理知，当时，不等式成立．

由此不等式有

证法三：

同证法一求得及．

令，．

因．

从而

证法四：

下面用数学归纳法证明：

当时，，，

因此，结论成立．

假设结论当时成立，即．

则当时，

；

因．故．

从而．这就是说，当时结论也成立．

综上对任何成立．

例3．（2008年全国理科2）设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：

函数在区间是增函数；

（Ⅱ）证明：

（Ⅲ）设，整数．证明：

故函数在区间（0,1）上是增函数．

（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，

由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；

（ⅱ）假设当时，成立，即

那么当时，由在区间是增函数，得：

.而，则，

，也就是说当时，也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立．

（Ⅲ）证明：

由．可得：

1、若存在某满足，则．

2、若对任意都有，则：

成立．

例4.已知数列中,且,求数列的通项公式.

6.形如型

例１．（2008年湖南理科）（本小题满分12分）

数列

（Ⅰ）求并求数列的通项公式；

（Ⅱ）设证明：

当

解（Ⅰ）因为

一般地，当时，

＝，即

所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此

当时，

所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此

故数列的通项公式为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①

②

①-②得，

要证明当时，成立，只需证明当时，成立.

　证法一

（1）当n=6时，成立.

（2）假设当时不等式成立，即

则当n=k+1时，

由

（1）、

（2）所述，当6时，，即当6时，

证法二

令，则

所以当时，.因此当时，．

于是当时，．综上所述，当时，．

7.形如型

例1．（2008年重庆理科22）设各项均为正数的数列{}满足.

（Ⅰ）若，求，并猜想的值（不需证明）；

（Ⅱ）记对2恒成立，求的值及数列{bn}的通项公式.

（Ⅰ）因　，　

由此有，

故猜想的通项为．∴

（Ⅱ）令．

由题设知x1=1且，　①

　②

因②式对n=2成立，有　③

下面用反证法证明：

由①得．

因此数列是首项为，公比为的等比数列.故

④

又由①知

因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以

⑤

由④-⑤得⑥

对n求和得⑦

由题设知

即不等式22k+1＜，对恒成立.但这是不可能的，矛盾.

因此x2,结合③式知2=,

因此代入⑦式得Sn=2－（）,

所以bn==（）

8.形如=0型

例1．（2008年天津理科22）在数列与中，，数列的前项和满足,为与的等比中项，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求数列与的通项公式；

（Ⅲ）设.证明.

本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分

（Ⅰ）由题设有，，解得．由题设又有，，解得．

（Ⅱ）解法一：

由题设，，，及，，进一步可得，，，，

猜想，，．

先证，．

当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：

（1当时，，等式成立．

（2）假设时等式成立，即，．

由题设，　　

①的两边分别减去②的两边，整理得，从而

这就是说，当时等式也成立．根据

（1）和

（2）可知，等式对任何的成立．

综上所述，等式对任何的都成立

再用数学归纳法证明，．

（1）当时，，等式成立．

（2）假设当时等式成立，即，那么．

这就是说，当时等式也成立．根据

（1）和

（2）可知，等式

对任何的都成立．

由题设　　

①的两边分别减去②的两边，整理得，．所以

　，　，……　，．

将以上各式左右两端分别相乘，得，

由（Ⅰ）并化简得，．

止式对也成立．

由题设有，所以，

即，．

令，则，即．

由得，．所以，即，．

解法三：

由题设有，，

所以，，……，．

将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得

，．

由（Ⅰ），上式对也成立．所以，．

上式对时也成立．

以下同解法二，可得，．

（Ⅲ）证明：

当，时，

注意到，

　．

从而时，有

总之，当时有，即．