解析几何离心率专题突破Word格式文档下载.doc
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变式练习1:
若椭圆经过原点,且焦点为、,则其离心率为()
A.B.C.D.
由、知,∴,又∵椭圆过原点,∴,,∴,,所以离心率.故选C.
变式练习2:
如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为()
A.B.C.D
由题设,,则,,因此选C
变式练习3:
点P(-3,1)在椭圆()的左准线上,过点且方向为的光线,经直线反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为()
ABCD
由题意知,入射光线为,关于的反射光线(对称关系)为,则解得,,则,故选A
二、构造、的齐次式,解出
根据题设条件,借助、、之间的关系,构造、的关系(特别是齐二次式),进而得到关于的一元方程,从而解得离心率。
例2:
已知、是双曲线()的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是()
A. B. C. D.
如图,设的中点为,则的横坐标为,由焦半径公式,
即,得,解得
(舍去),故选D
设双曲线()的半焦距为,直线过,两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
由已知,直线的方程为,由点到直线的距离公式,得,
又,∴,两边平方,得,整理得,
得或,又,∴,∴,∴,故选A
双曲线虚轴的一个端点为,两个焦点为、,,则双曲线的离心率为()
ABCD
如图所示,不妨设,,,则
,又,
在中,由余弦定理,得,
即,∴,
∵,∴,∴,∴,∴,故选B
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解
例3:
设椭圆的两个焦点分别为、,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________。
四、根据圆锥曲线的统一定义求解
例4:
设椭圆()的右焦点为,右准线为,若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离,则椭圆的离心率是 .
如图所示,是过且垂直于轴的弦,∵于,∴为到准线的距离,根据椭圆的第二定义,
变式练习:
在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为,则该椭圆的离心率为()
ABCD
五、构建关于的不等式,求的取值范围
例5:
设,则二次曲线的离心率的取值范围为()
A.B.C.D.
另:
由,,得,,
∴,∴
∵,∴,∴,∴,故选D
例6:
如图,已知梯形中,,点分有向线段所成的比为,双曲线过、、三点,且以、为焦点.当时,求双曲线离心率的取值范围。
以的垂直平分线为轴,直线为轴,建立如图所示的直角坐标系,则轴.因为双曲线经过点、,且以、为焦点,由双曲线的对称性知、关于轴对称.依题意,记,,,其中为双曲线的半焦距,是梯形的高.
由定比分点坐标公式得,,设双曲线的方程为,则离心率,由点、在双曲线上,所以,将点的坐标代入双曲线方程得①
将点的坐标代入双曲线方程得②
再将①、②得,∴③
④
将③式代入④式,整理得,∴,由题设得:
,解得,所以双曲线的离心率的取值范围为
配套练习
1.设双曲线()的离心率为,且它的一条准线与抛物线的准线重合,则此双曲线的方程为()
A. B. C. D.
2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于()
A. B. C. D.
3.已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为()
ABCD
4.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为ABCD
5.在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为,则该双曲线的离心率为()
ABCD
6.如图,和分别是双曲线()的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则双曲线的离心率为()
A B C D
8.设、分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,使,且,则双曲线离心率为()
A B C D
9.已知双曲线()的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()
ABCD
10.椭圆()的焦点为、,两条准线与轴的交点分别为、,若,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案:
1.由可得故选D
2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,∴,椭圆的离心率,选D。
3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A
4.不妨设椭圆方程为(a>
b>
0),则有,据此求出e=
5.不妨设双曲线方程为(a>
0,b>
0),则有,据此解得e=,选C
6.解析:
如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△是等边三角形,连接AF1,∠AF2F1=30°
,|AF1|=c,|AF2|=c,∴,双曲线的离心率为,选D。
7.由已知P(),所以化简得.
8.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点。
若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90º
,且|AF1|=3|AF2|,设|AF2|=1,|AF1|=3,双曲线中,,∴离心率,选B。
9.双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,∴≥,离心率e2=,∴e≥2,选C
10.椭圆的焦点为,,两条准线与轴的交点分别为,若,,,则,该椭圆离心率e≥,选D
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