解析几何突破专题一.docx

解析几何突破专题一.docx

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解析几何突破专题一

解析几何突破专题

时间：

60分钟满分：

73测试时间：

2019年4月22日班级：

姓名：

常用知识拓展

1．P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.

2．椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为，通径是最短的焦点弦．

3．P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2（a＋c）．

4．设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－.

（1）弦长公式

①若直线y＝kx＋m与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；

②焦点弦（过焦点的弦）：

最短的焦点弦为通径长，最长为2a.

（2）中点弦的重要结论

AB为椭圆＋＝1（a>b>0）的弦，A（x1，y1），B（x2，y2），弦中点M（x0，y0）．

①斜率：

k＝－；

②弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－.　

1．直线kx－4y－k＝0与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝8，则弦AB的中点到直线x＋1＝0的距离等于（　　）

A．1B．2

C．4D．8

2．（2019·唐山市五校联考）直线l与双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM（O是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为（　　）

A．3B．2C.D.

3．（2018·高考全国卷Ⅰ）已知双曲线C：

－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（　　）

A.B．3C．2D．4

4．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB的长为________．

5．（2019·太原市模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为____________．

6.已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的离心率为，点（2，）在C上．

（1）求C的方程；

（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：

直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

7．已知点Q是抛物线C1：

y2＝2px（p>0）上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：

y＝2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B.若点Q的坐标为（1，－6），求直线AB的方程及弦AB的长．

8.（2019·南昌市第一次模拟测试）已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的下顶点为A，右顶点为B，离心率e＝.抛物线E：

y＝的焦点为F，P是抛物线E上一点，抛物线E在点P处的切线为l，且l∥AB.

（1）求直线l的方程；

（2）若l与椭圆C相交于M，N两点，且S△FMN＝，求椭圆C的标准方程．

9．已知双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的离心率为，虚轴长为4.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）过点（0，1），倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．

解析几何突破专题二

时间：

60分钟满分：

83测试时间：

2019年4月23日班级：

姓名：

与焦点弦有关的常用结论

（以图为依据）

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.

（2）|AB|＝x1＋x2＋p＝（θ为AB的倾斜角）．

（3）＋为定值.

（4）以AB为直径的圆与准线相切．

（5）以AF或BF为直径的圆与y轴相切．

1．（2018·高考全国卷Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（　　）

A.B.C.D.

2（2018·高考全国卷Ⅱ）双曲线－＝1（a>0，b>0）的离心率为，则其渐近线方程为（　　）

A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x

3（2017·高考全国卷Ⅱ）若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是（　　）

A．（，＋∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）

4.（一题多解）（2018·高考全国卷Ⅲ）设F1，F2是双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为（　　）

A.　　　　　　　　B．2C.D.

5．（2018·高考天津卷）已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1

6．直线l与抛物线C：

y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点________．

7．（2018·高考全国卷Ⅲ）已知点M（－1，1）和抛物线C：

y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．

8．（综合型）（2019·长春市质量检测

（一））已知椭圆C的两个焦点为F1（－1，0），F2（1，0），且经过点E.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点（点A位于x轴上方），若＝2，求直线l的斜率k的值．

9已知椭圆＋y2＝1，

（1）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；

（2）求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程．

10．（2018·高考天津卷）设椭圆＋＝1（a>b>0）的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|＝.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线l：

y＝kx（k<0）与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．

11．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（4，0），实轴长为4.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l：

y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．

解析几何突破专题一参考答案

时间：

60分钟满分：

68测试时间：

2019年4月22日班级：

姓名：

1．直线kx－4y－k＝0与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝8，则弦AB的中点到直线x＋1＝0的距离等于（　　）

A．1B．2C．4D．8

解析：

选C.kx－4y－k＝0，即y＝k（x－1），即直线kx－4y－k＝0过抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），

设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝x1＋x2＋2＝8，故x1＋x2＝6，则弦AB的中点的横坐标是3，所以弦AB的中点到直线x＋1＝0的距离是4.

2．（2019·唐山市五校联考）直线l与双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM（O是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为（　　）

A．3B．2C.D.

解析：

选D.设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），代入双曲线的方程，得两式相减得－＝0，又所以＝，所以＝＝kOMkl＝1，

所以e2＝1＋＝2，所以e＝，故选D.

3．（2018·高考全国卷Ⅰ）已知双曲线C：

－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（　　）

A.B．3C．2D．4

解析：

选B.法一：

由已知得双曲线的两条渐近线方程为

y＝±x.设两渐近线夹角为2α，则有tanα＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.

又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．

在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.

则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝·tan60°＝3.故选B.

法二：

因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F（2，0），所以直线MN的方程为y＝－（x－2），

由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.

4．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB的长为________．

解析：

由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为（1，0），直线AB的方程为y＝2（x－1）．

由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.

设A（x1，y1）、B（x2，y2），由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.

则|AB|＝＝＝＝.

答案：

5．（2019·太原市模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为____________．

解析：

因为抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝4，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝k（x－1），与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝，因为|AB|＝|y1－y2|＝6，所以4＝6，解得k＝±，所以|y1－y2|＝＝2，所以△AOB的面积为×1×2＝.

答案：

6已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的离心率为，点（2，）在C上．

（1）求C的方程；

（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：

直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

【解】　

（1）由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为＋＝1.

（2）证明：

法一：

设直线l：

y＝kx＋b1（k≠0，b1≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）．

将y＝kx＋b1代入＋＝1，得（2k2＋1）x2＋4kb1x＋2b－8＝0.

故xM＝＝，yM＝k·xM＋b1＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

法二：

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），则＋＝1，①＋＝1，②

①－②得＋＝0，

即·＝－.又y1＋y2＝2y0，x1＋x2＝2x0，所以·kAB＝－.即kOM·kAB＝－.

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值－.

7．已知点Q是抛物线C1：

y2＝2px（p>0）上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：

y＝2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B.若点Q的坐标为（1，－6），求直线AB的方程及弦AB的长．

解：

由Q（1，－6）在抛物线y2＝2px上，可得p＝18，所以抛物线C1的方程为y2＝36x.

设抛物线C2的切线方程为y＋6＝k（x－1）．联立消去y，得2x2－kx＋k＋6＝0，

Δ＝k2－8k－48.由于直线与抛物线C2相切，故Δ＝0，解得k＝－4或k＝12.

由得A；由得B.

所以直线AB的方程为12x－2y－9＝0，弦AB的长为2.

8（2019·南昌市第一次模拟测试）已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的下顶点为A，右顶点为B，离心率e＝.抛物线E：

y＝的焦点为F，P是抛物线E上一点，抛物线E在点P处的切线为l，且l∥AB.

（1）求直线l的方程；

（2）若l与椭圆C相交于M，N两点，且S△FMN＝，求椭圆C的标准方程．

【解】　

（1）因为e2＝1－＝，所以＝，所以kAB＝，又l∥AB，所以直线l的斜率为.

设P，由y＝得y′＝，因为过点P的直线l与抛物线E相切，所以＝，解得t＝2，

所以P，所以直线l的方程为x－2y－1＝0.

（2）法一：

设M（x1，y1），N（x2，y2），由

得2x2－2x＋1－4b2＝0，则x1＋x2＝1，x1x2＝，易知Δ＝4－8（1－4b2）>0，解得b2>，

所以|x1－x2|＝＝.|MN|＝|x1－x2|＝，

l：

x－2y－1＝0，抛物线焦点为F（0，2），则点F到直线l的距离d＝＝，

所以S△FMN＝|MN|×d＝××＝，解得b2＝4，

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

法二：

设M（x1，y1），N（x2，y2），由得2x2－2x＋1－4b2＝0，则x1＋x2＝1，x1x2＝，

易知Δ＝4－8（1－4b2）>0，解得b2>，所以|x1－x2|＝＝.

l：

x－2y－1＝0中，令x＝0得y＝－，则l交y轴于点D，

又抛物线焦点为F（0，2），所以|FD|＝2＋＝，

所以S△FMN＝|FD|×|x1－x2|＝×＝，解得b2＝4，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

9．已知双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的离心率为，虚轴长为4.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）过点（0，1），倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．

解：

（1）依题意可得解得所以双曲线的标准方程为x2－＝1.

（2）由题意得直线l的方程为y＝x＋1.设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由得3x2－2x－5＝0.由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝－，

所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝×＝.

原点O到直线l的距离d＝＝，

所以S△OAB＝·|AB|·d＝××＝.即△OAB的面积为.

解析几何突破专题二

时间：

60分钟满分：

68测试时间：

2019年4月22日班级：

姓名：

1（2018·高考全国卷Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，因为△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c.因为|OF2|＝c，所以点P坐标为（c＋2ccos60°，2csin60°），即点P（2c，c）．因为点P在过点A，且斜率为的直线上，所以＝，解得＝，所以e＝，故选D.

2（2018·高考全国卷Ⅱ）双曲线－＝1（a>0，b>0）的离心率为，则其渐近线方程为（　　）

A．y＝±xB．y＝±x

C．y＝±xD．y＝±x

【解析】　因为双曲线的离心率为，所以＝，即c＝a.又c2＝a2＋b2，所以（a）2＝a2＋b2，化简得2a2＝b2，所以＝.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以y＝±x.故选A.

【答案】　A

3（2017·高考全国卷Ⅱ）若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是（　　）

A．（，＋∞）B．（，2）

C．（1，）D．（1，2）

4（一题多解）（2018·高考全国卷Ⅲ）设F1，F2是双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为（　　）

A.　　　　　　　　B．2

C.D.

【解析】　

（1）依题意得，双曲线的离心率e＝，因为a>1，所以e∈（1，），选C.

（2）法一：

不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－（a）2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.

法二：

如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形．

因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，

所以|OP|＝a.

又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，

所以|F2P|＝a＝b，

所以c＝＝a，所以e＝＝.故选C.

5（2018·高考天津卷）已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

解析：

选A.由题意不妨设A，B，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，则d1＝，d2＝，

故d1＋d2＝＋＝＝2b＝6，故b＝3.

又＝＝＝＝2，所以b2＝3a2，得a2＝3.所以双曲线的方程为－＝1.

6．直线l与抛物线C：

y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点________．

解析：

设A（x1，y1），B（x2，y2），因为k1k2＝，所以·＝.又y＝2x1，y＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：

x＝my＋b代入抛物线C：

y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点（－3，0）．

答案：

（－3，0）

7．（2018·高考全国卷Ⅲ）已知点M（－1，1）和抛物线C：

y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．

解析：

法一：

由题意知抛物线的焦点为（1，0），则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k（x－1）（k≠0），由消去y得k2（x－1）2＝4x，即k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝1.由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得·＝（x1＋1，y1－1）·（x2＋1，y2－1）＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－（y1＋y2）＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2.

法二：

设抛物线的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2），则所以y－y＝4（x1－x2），则k＝＝，取AB的中点M′（x0，y0），分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝（|AF|＋|BF|）＝（|AA′|＋|BB′|）．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.

答案：

2

8．（综合型）（2019·长春市质量检测

（一））已知椭圆C的两个焦点为F1（－1，0），F2（1，0），且经过点E.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点（点A位于x轴上方），若＝2，求直线l的斜率k的值．

解：

（1）由解得

所以椭圆C的方程为＋＝1.

（2）由题意得直线l的方程为y＝k（x＋1）（k>0），联立，得整理得y2－y－9＝0，

Δ＝＋144>0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝，y1y2＝，

又＝2，所以y1＝－2y2，

所以y1y2＝－2（y1＋y2）2，

则3＋4k2＝8，解得k＝±，又k>0，所以k＝.

9.已知椭圆＋y2＝1，

（1）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；

（2）求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程．

解：

（1）设弦的端点为P（x1，y1），Q（x2，y2），其中点是M（x，y）．

①－②得＝－＝－，

所以－＝，

化简得x2－2x＋2y2－2y＝0（包含在椭圆＋y2＝1内部的部分）．

（2）由

（1）可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，因此所求直线方程是y－＝－，化简得2x＋4y－3＝0.

10．（2018·高考天津卷）设椭圆＋＝1（a>b>0）的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|＝.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线l：

y＝kx（k<0）与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．

解：

（1）设椭圆的焦距为2c，由已知有＝，

又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.

由|AB|＝＝，从而a＝3，b＝2.

所以，椭圆的方程为＋＝1.

（2）设点P的坐标为（x1，y1），点M的坐标为（x2，y2），由题意，x2>x1>0，点Q的坐标为（－x1，－y1）．由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，从而x2－x1＝2[x1－（－x1）]，即x2＝5x1.

易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，由方程组消去y，可得x2＝.由方程组消去y，可得x1＝.由x2＝5x1，可得＝5（3k＋2），两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－，或k＝－.当k＝－时，x2＝－9<0，不合题意，舍去；当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意．

所以，k的值为－.