高考数学函数与导数压轴题精练Word文档下载推荐.doc
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（3）求函数既有极大值又有极小值的充要条件。
11.设函数
（I）当图像上的点到直线距离的最小值；
（II）是否存在正实数a，使对一切正实数x都成立？
若存在，求出a的取值范围；
若不存在，请说明理由．
12.已知
（Ⅰ）的单调区间和最值；
（Ⅱ）若
13.已知函数满足,
当时,,当时,的最大值为-4．
（I）求实数的值；
（II）设，函数，．若对任意的,
总存在,使,求实数的取值范围．
14.已知函数（a∈R）。
（I）我们称使=0成立的x为函数的零点。
证明：
当a=1时，函数只有一个零点；
（II）若函数在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围。
15.定义：
（其中）。
（1）求的单调区间；
（2）若恒成立，试求实数a的取值范围；
16.已知函数
（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；
（2）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（3）设各项为正的数列满足：
求证：
2015年高考数学导数压轴题精练
详解答案
1.解：
（1），在上是增函数，
在上恒成立，即恒成立.
（当且仅当时取等号），所以.
当时,易知在（0,1）上也是增函数,所以.
（2）设，则，，.
当时，在区间上是增函数，所以的最小值为.
当时，.
因为函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，所以在上为增函数，所以的最小值为.
所以，当时，的最小值为；
当时，的最小值为.
2.解：
（I），…………（2分）
∵对任意，直线都不是的切线，∴，
，实数的取值范围是；
…………（4分）
（II）方法1：
问题等价于当时，，…………（6分）
设，在上是偶函数，
故只要证明当时，，
①当上单调递增且，
；
…………（8分）
②当，列表：
+
-
极大
极小
在上递减，在上递增，…………（10分）
∵，∴时，，时，，
∴，
若，则；
∴在上至少存在一个，使得成立．…………（12分）
方法2：
反证法
假设在上不存在，使得成立，即，，
设，∵在上是偶函数，
∴时，，…………（6分）
，与矛盾；
…………（8分）
，矛盾；
综上，，与矛盾，
假设不成立，原命题成立．…………（12分）
3.解：
由已知，得函数f（x）的定义域为.…………………1分
（Ⅰ）当k为偶数时，，则,又，
，即，得x，所以此时函数的单调递增区间为.
当k为奇数时，，则在定义域内恒成立，所以此时函数的单调增区间为.……………4分
（Ⅱ）∵函数在上是增函数
∴在上恒成立，即在上恒成立，
即，∴.①………………………6分
由（Ⅰ）可知当k为偶数时，
得0<
x,即在为减函数，
∴.
又∵对于内的任意实数x1，x2，当k为偶数时，恒有成立,
∴,即,所以,②
由①②得.…………………………………………8分
4.（I）由已知由函数的定义域为，，
，
由得，
所以函数的减区间为，增区间为．…4分
（II）由题意，得，a＝0．……5分
由（Ⅰ）知f（x）＝x－lnx，
∴f（x）＋2x＝x2＋b，即x－lnx＋2x＝x2＋b，x2－3x＋lnx＋b＝0，
设＝x2－3x＋lnx＋b（x＞0），
则＝2x－3＋＝,
当变化时，，的变化情况如下表：
x
（，1）
1
（1，2）
2
－
＋
b－－ln2
↘
b－2
↗
b－2＋ln2
……………………．．……6分
∵方程f（x）＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根,
,
＋ln2≤b<
2，即． ……8分
（III）由（I）和（II）可知当时,,即,
当时,．………10分
令（）,则．
所以当时,
即,
．……12分
5.解：
（Ⅰ）
，令，得或，……2分
当时，恒成立，此时单调递减；
当时，，若，则，若，
则，是函数的极小值点；
……2分
当时，，若，则，若，则，
此时是函数的极大值点，综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是……2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，且当时，，因此是的极大值点，，于是……2分
，令，
则恒成立，即在是增函数，所以当时，
，即恒有，……2分
又直线的斜率为，直线的斜率为，所以由导数的几何意义知曲线只可能与直线相切……2分
6.（Ⅰ）设交于点，则有
，即
（1）
又由题意知，即
（2）……2分
由
（2）解得
将代入
（1）整理得…………………………4分
令，则
时，递增，时递减，所以
即，的最大值为……………………………………6分
（Ⅱ）不妨设，变形得
令，，，高.考.资.源+网
在内单调增，，同理可证命题成立
……………………12分
7.解：
（1）设，
易知，由已知恒成立，
所以函数在处取得最大值。
又在处取得极大值，符合题意，
即关系式为 （3分）
（2）
恒成立，
令，有， （5分）
，
即对恒成立，
须
函数 （7分）
8.
9．解：
（1）
①当恒成立
上是增函数，F只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值……3分
②当时，，
若，则上单调递减；
若，则上单调递增，
时，有极小值，也是最小值，
即…………6分
所以当时，的单调递减区间为
单调递增区间为，最小值为，无最大值…………7分
（2）方法一，若与的图象有且只有一个公共点，
则方程有且只有一解，所以函数有且只有一个零点…………8分
由
（1）的结论可知…………10分
此时，
的图象的唯一公共点坐标为
又的图象在点处有共同的切线，
其方程为，即…………13分
综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为…………14分
方法二：
设图象的公共点坐标为，
根据题意得高考资源网高考高·
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即
由②得，代入①得从而…………10分
此时由
（1）可知时，
因此除外，再没有其它，使…………13分
故存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为…………14分
10.【解析】
（1）时，，
函数在区间仅有极大值点，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在最大值是，
又，故，
故函数在上的最小值为。
（4分）
（2），令，则，
则函数在递减，在递增，由，，
，故函数在的值域为。
若在恒成立，即在恒成立，
只要，若要在在恒成立，即在恒成立，
只要。
即的取值范围是。
（8分）
（3）若既有极大值又有极小值，则首先必须有两个不同正根，
即有两个不同正根。
故应满足，∴当时，
有两个不等的正根，不妨设，
由知：
时，时，时，
∴当时既有极大值又有极小值．
反之，当时，有两个不相等的正根，故函数既有极大值又有极小值的充要条件。
（12分）
11.解：
（Ⅰ）由
为减函数
则令 ------------------------------（2分）
所求距离的最小值即为到直线的距离
-------------------------（5分）
（Ⅱ）假设存在实数a满足条件，令
则 ---------------------------------（7分）
由
当为增函数
--------------------------------（10分）
的取值范围为 --------------------------------（12分）
12.解：
（Ⅰ）（x>
1），若a≤1，x>
1，则f′（x）>
0，
∵f（x）在[1，＋∞）上连续，
∴f（x）在[1，＋∞）上是单调递增函数，
∴当a≤1，x≥1时，f（x）min=f
（1）=1，
∴函数有最小值1，无最大值．---------（4分）
（Ⅱ）记g（x）=f（x）－2ax=x2－2alnx－2ax，
．
①充分性：
若，则g（x）=x2－lnx－x，
g′（x）=（2x2－x－1）=（2x＋1）（x－1）．
当x∈（0，1）时，g′（x）<
0，g（x）在（0，1）上是单调递减函数；
当x∈（1，＋∞）时，g′（x）>
0，g（x）在（1，＋∞）上是单调递增函数．
∴当x=1时，g（x）min=g
（1）=0，即g（x）≥0，当且仅当x=1时取等号，
∴方程f（x）=2ax有唯一解．
②必要性：
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解．
令g′（x）=0，得x2－ax－a=0．
∵a>
0，x>
0，∴x1=（舍去），x2=．
当x∈（0，x2）时，g′（x）<
0，g（x）在（0，x2）上是单调递减函数；
当x∈（x2，＋∞）时，g′（x）>
0，g（x）在（x2，＋∞）上是单调递增函数．
∴当x=x2时，g′（x2）=0，g（x）min=g（x2）．
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x2）=0，
∴2alnx2＋ax2－a=0，∵a>
0，∴2lnx2＋x2－1=0，（*）
设函数h（x）=2lnx＋x－1，∵在x>
0时h（x）是增函数，
∴h（x）=0至多有一解．
∵h
（1）=0，∴方程（*）的解为x2=1，即，解得．
由①、②知，“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“”．--（12分）
13.（I）由已知,得,
∴．………………………………．4分
∵时,,
设,则,∴,
∴时,,
所以,∵，，
∵，∴．又由,可得,
∴在上是增函数,在上是减函数,
∴．
∴=-1．……………………．．7分
（II）设的值域为A，的值域为B，则由已知，对于任意的，使得，．……………．9分
由（I）=-1，当时,,,
∵,∴，在上单调递减函数,
∴的值域为A=．……………………．．10分
∵,
∴
（1）当时，在上是减函数，
此时，的值域为，
为满足，又∴即．…………．11分
（2）当时，在上是单调递增函数，
此时，的值域为，为满足，又,
∴,∴,
综上可知b的取值范围是．…………．12分
14.解：
（I）当a=1时，，其定义域为（0，+∞），
解得或，又∵x>
0，故x=1，当0<
x<
1时，；
当x>
1时，，∴函数在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，当x=1时，
函数取得最大值，即，所以函数只有一个零点；
（5分）
（II）因为，其定义域为（0，+∞），
所以，
（1）当a=0时，，
所以在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意。
（7分）
（2）当a>
0时，等价于，
即x>
，此时，的单调减区间为（，+∞），依题意，
得，解之得。
（9分）
（3）当a<
即0<
，此时的单调减区间为（0，），不合题意。
综上所述，实数a的取值范围是。
（12分）
15.解：
（1），
则………1分
①当时，对恒成立，在上递增
②当时，令，则，………2分
时，，为增函数；
时，，为减函数
综上，时，增区间为；
时，增区间为，减区间为.………4分
（2）由
（1）知时，在递增，
且时，则不恒成立，故………5分
又的极大值即最大值
恒成立，只须
∴，即∴………6分
16.解：
依题意在时恒成立，即在恒成立.
则在恒成立，
即
当时，取最小值
∴的取值范围是……
设则列表：
极大值
¯
极小值
∴极小值，极大值，
又……
方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.
则，得…………
（3）设，则
在为减函数，且故当时有.
假设则，故
从而
即，∴…………
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