南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷Word下载.doc
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8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－，则线段PF的长为▲．
9．若sin（α－）＝，α∈（0，），则cosα的值为▲．
10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是▲（填上所有正确命题的序号）．
①若α∥β，mÌ
α，则m∥β；
②若m∥α，nÌ
α，则m∥n；
③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；
④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．
11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：
kx－y＋2＝0与直线l2：
x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为▲．
12．若函数f（x）＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为▲．
13．已知平面向量＝（1，2），＝（－2，2），则•的最小值为▲．
14．已知函数f（x）＝lnx＋（e－a）x－b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为▲．
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2．
A
B
C
D
（第15题图2）
（第15题图1）
（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；
（2）若∠ABC＝，求△ADC的面积．
16．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．
（第16题图）
P
（1）求证：
CD⊥AP；
（2）若CD⊥PD，求证：
CD∥平面PAB；
17．（本小题满分14分）
在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．
（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；
（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
（第17题图）
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：
＋＝1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；
x
y
O
T
M
N
（第18题图）
（3）记直线l与y轴的交点为P．若＝，求直线l的斜率k．
19．（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝ex－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）若a＝e，函数g（x）＝（2－e）x．
①求函数h（x）＝f（x）－g（x）的单调区间；
②若函数F（x）＝的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）＝f（x2），且|x1－x2|≥1，
求证：
e－1≤a≤e2－e．
20．（本小题满分16分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足（n＋1）bn＝an＋1－，
（n＋2）cn＝－，其中n∈N*．
（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；
（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：
数列{an}是等差数列．
数学附加题2017．03
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：
几何证明选讲
如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．
（1）若BC是圆O的切线，且AB＝8，BC＝4，求线段AM的长度；
（第21（A）图）
（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB＝2AC，求证：
BN＝2MN．
B．选修4—2：
矩阵与变换
设a，b∈R．若直线l：
ax＋y－7＝0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：
9x＋y－91＝0．求实数a，b的值．
C．选修4—4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l：
（t为参数），与曲线C：
（k为参数）交于A，B两点，求线段AB的长．
D．选修4—5：
不等式选讲
设a≠b，求证：
a4＋6a2b2＋b4＞4ab（a2＋b2）．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，
∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C的中点．
（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
D1
C1
B1
F
E
A1
（第22题图）
（2）点M在线段A1D上，＝λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．
23．（本小题满分10分）
现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：
*…………………第1行
**…………………第2行
***…………………第3行
……………
…………………
**…………**…………………第n行
设Mk是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜Mn的概率为pn．
（1）求p2的值；
（2）证明：
pn＞．
数学参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）
1．（－∞，1）2．23．4．305．176．31
7．8．69．10．①④11．312．{2}
13．－14．－
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
解：
（1）设∠BAD＝α，∠DAC＝β．
因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，
所以tanα＝，tanβ＝，…………………2分
所以tan∠BAC＝tan（α＋β）＝＝＝1．…………………4分
又∠BAC∈（0，π），所以∠BAC＝．…………………6分
（2）设∠BAD＝α．
在△ABD中，∠ABC＝，AD＝6，BD＝3．
由正弦定理得＝，解得sinα＝．…………………8分
因为AD＞BD，所以α为锐角，从而cosα＝＝．…………………10分
因此sin∠ADC＝sin（α＋）＝sinαcos＋cosαsin
＝（＋）＝．…………………12分
△ADC的面积S＝×
AD×
DC·
sin∠ADC
＝×
6×
2×
＝（1＋）．…………………14分
证明：
（1）因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，
所以AD⊥AP．…………………2分
又因为AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以AP⊥平面ABCD．…………………4分
因为CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥AP．…………………6分
（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．①…………………8分
因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以AB⊥AD．
又因为AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD．②…………………10分
由①②得CD∥AB，…………………12分
因为CD平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以CD∥平面PAB．…………………14分
17．（本小题满分14分）
（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a＝90时，b＝40，
从而包装盒子的侧面积
S＝2×
x（90－2x）＋2×
x（40－2x）
＝－8x2＋260x，x∈（0，20）．…………………3分
因为S＝－8x2＋260x＝－8（x－）2＋，
故当x＝时，侧面积最大，最大值为平方厘米．
答：
当x＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米．…………………6分
（2）包装盒子的体积
V＝（a－2x）（b－2x）x＝x[ab－2（a＋b）x＋4x2]，x∈（0，），b≤60．……………8分
V＝x[ab－2（a＋b）x＋4x2]≤x（ab－4x＋4x2）
＝x（3600－240x＋4x2）
＝4x3－240x2＋3600x．…………………10分
当且仅当a＝b＝60时等号成立．
设f（x）＝4x3－240x2＋3600x，x∈（0，30）．
则f′（x）＝12（x－10）（x－30）．
于是当0＜x＜10时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上单调递增；
当10＜x＜30时，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上单调递减．
因此当x＝10时，f（x）有最大值f（10）＝16000，………………12分
此时a＝b＝60，x＝10．
当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．
………………14分
（1）因为椭圆＋＝1经过点（b，2e），所以＋＝1．
因为e2＝＝，所以＋＝1．
因为a2＝b2＋c2，所以＋＝1．……………………2分
整理得b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8（舍）．
所以椭圆C的方程为＋＝1．……………………4分
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．因为T（1，0），则直线l的方程为y＝k（x－1）．
联立直线l与椭圆方程
消去y，得（2k2＋1）x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以………………6分
因为MN∥l，所以直线MN方程为y＝kx，
联立直线MN与椭圆方程
消去y得（2k2＋1）x2＝8，解得x2＝．
因为MN∥l，所以＝．……………………8分
因为（1－x1）·
（x2－1）＝－[x1x2－（x1＋x2）＋1]＝，
（xM－xN）2＝4x2＝，
所以＝＝·
＝．…………………10分
（3）在y＝k（x－1）中，令x＝0，则y＝－k，所以P（0，－k），
从而＝（－x1,－k－y1），＝（x2－1，y2）．
因为＝，所以－x1＝（x2－1），即x1＋x2＝．……………………12分
由
（2）知，
由解得x1＝，x2＝．………………14分
因为x1x2＝，所以×
＝，
整理得50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－（舍）．
又因为k＞0，所以k＝．……………………16分
（1）当a＝e时，f（x）＝ex－ex－1．
①h（x）＝f（x）－g（x）＝ex－2x－1，h′（x）＝ex－2．
由h′（x）＞0得x＞ln2，由h′（x）＜0得x＜ln2．
所以函数h（x）的单调增区间为（ln2，＋∞），单调减区间为（－∞，ln2）．
…………………3分
②f′（x）＝ex－e．
当x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在区间（－∞，1）上单调递减；
当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增．
1°
当m≤1时，f（x）在（－∞，m]上单调递减，值域为[em－em－1，＋∞），
g（x）＝（2－e）x在（m，＋∞）上单调递减，值域为（－∞，（2－e）m），
因为F（x）的值域为R，所以em－em－1≤（2－e）m，
即em－2m－1≤0．（*）
由①可知当m＜0时，h（m）＝em－2m－1＞h（0）＝0，故（*）不成立．
因为h（m）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，1）上单调递增，且h（0）＝0，h
（1）＝e－3＜0，
所以当0≤m≤1时，h（m）≤0恒成立，因此0≤m≤1．…………………6分
2°
当m＞1时，f（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，m]上单调递增，
所以函数f（x）＝ex－ex－1在（－∞，m]上的值域为[f
（1），＋∞），即[－1，＋∞）．
g（x）＝（2－e）x在（m，＋∞）上单调递减，值域为（－∞，（2－e）m）．
因为F（x）的值域为R，所以－1≤（2－e）m，即1＜m≤．
综合1°
，2°
可知，实数m的取值范围是[0，]．…………………9分
（2）f′（x）＝ex－a．
若a≤0时，f′（x）＞0，此时f（x）在R上单调递增．
由f（x1）＝f（x2）可得x1＝x2，与|x1－x2|≥1相矛盾，
所以a＞0，且f（x）在（－∞，lna]单调递减，在[lna，＋∞）上单调递增．……11分
若x1，x2∈（－∞，lna]，则由f（x1）＝f（x2）可得x1＝x2，与|x1－x2|≥1相矛盾，
同样不能有x1，x2∈[lna，＋∞）．
不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2．
因为f（x）在（x1，lna）上单调递减，在（lna，x2）上单调递增，且f（x1）＝f（x2），
所以当x1≤x≤x2时，f（x）≤f（x1）＝f（x2）．
由0≤x1＜x2≤2，且|x1－x2|≥1，可得1∈[x1，x2]，
故f
（1）≤f（x1）＝f（x2）．………………14分
又f（x）在（－∞，lna]单调递减，且0≤x1＜lna，所以f（x1）≤f（0），
所以f
（1）≤f（0），同理f
（1）≤f
（2）．
即解得e－1≤a≤e2－e－1，
所以e－1≤a≤e2－e．……………………16分
（1）因为{an}是公差为2的等差数列，
所以an＝a1＋2（n－1），＝a1＋n－1，…………………2分
从而（n＋2）cn＝－（a1＋n－1）＝n＋2，即cn＝1．………4分
（2）由（n＋1）bn＝an＋1－，
得n（n＋1）bn＝nan＋1－Sn，
（n＋1）（n＋2）bn＋1＝（n＋1）an＋2－Sn＋1，
两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝（n＋2）bn＋1－nbn．………………………6分
从而（n＋2）cn＝－＝－[an＋1－（n＋1）bn]
＝＋（n＋1）bn
＝（n＋2）（bn＋bn＋1）．
因此cn＝（bn＋bn＋1）．………………………9分
因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，所以λ≤cn＝（bn＋bn＋1）≤λ，
故bn＝λ，cn＝λ．………………………11分
所以（n＋1）λ＝an＋1－，Error!
Referencesourcenotfound.
（n＋2）λ＝（an＋1＋an＋2）－，Error!
Error!
Referencesourcenotfound.－Error!
Referencesourcenotfound.，得（an＋2－an＋1）＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ．
故an＋1－an＝2λ（n≥2）．………………………14分
又2λ＝a2－＝a2－a1，则an＋1－an＝2λ（n≥1）．
所以数列{an}是等差数列．………………………16分
南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试
数学附加参考答案及评分标准
（1）因为BC是圆O的切线，故由切割线定理得BC2＝BM·
BA．……………2分
设AM＝t，因为AB＝8，BC＝4，
所以42＝8（8－t），解得t＝6，即线段AM的长度为6．…………………………4分
（2）因为四边形AMNC为圆内接四边形，所以∠A＝∠MNB．……………………6分
又∠B＝∠B，所以△BMN∽△BCA，………………………8分
所以＝．
因为AB＝2AC，所以BN＝2MN．………………………10分
（方法一）在直线l：
ax＋y－7＝0取点A（0，7），B（1，7－a）．
因为＝，＝，……………4分
所以A（0，7），B（1，7－a）在矩阵A对应的变换作用下
分别得到点A′（0，7b），B′（3，b（7－a）－1）．
由题意，知A′，B′在直线l′：
9x＋y－91＝0上，
所以……………8分
解得a＝2，b＝13．……………10分
（方法二）设直线l上任意一点P（x，y），点P在矩阵A对应的变换作用下得到点Q（x′，y′）．
因为＝，所以……………4分
又因为点Q（x′，y′）在直线l′上，所以9x′＋y′－91＝0．
即27x＋（－x＋by）－91＝0，也即26x＋by－91＝0，
又点P（x，y）在直线l上，所以有ax＋y－7＝0．……………8分
所以＝＝，解得a＝2，b＝13．……………10分
（方法一）直线l的参数方程化为普通方程得4x－3y＝4，
将曲线C的参数方程化为普通方程得y2＝4x．………………4分
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