人教版高中数学知识点总结Word文件下载.doc

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且

（1）

（3）

并集

补集

12

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

（1）含绝对值的不等式的解法

不等式

解集

把看成一个整体，化成，型不等式来求解

（2）一元二次不等式的解法

判别式

二次函数的图象

一元二次方程的根

（其中

无实根

的解集

〖1.2〗函数及其表示

【1.2.1】函数的概念

（1）函数的概念

①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作．

②函数的三要素:

定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．

（2）区间的概念及表示法

①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；

满足的实数的集合叫做开区间，记做；

满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；

满足的实数的集合分别记做．

注意：

对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须

．

（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①是整式时，定义域是全体实数．

②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．

⑤中，．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零．

⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：

若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．

⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．

（4）求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：

①观察法：

对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．

②配方法：

将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．

③判别式法：

若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．

④不等式法：

利用基本不等式确定函数的值域或最值．

⑤换元法：

通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．

⑥反函数法：

利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．

⑦数形结合法：

利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．

⑧函数的单调性法．

【1.2.2】函数的表示法

（5）函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．

解析法：

就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：

就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：

就是用图象表示两个变量之间的对应关系．

（6）映射的概念

①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．

②给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．

〖1.3〗函数的基本性质

【1.3.1】单调性与最大（小）值

（1）函数的单调性

①定义及判定方法

函数的

性质

定义

图象

判定方法

单调性

如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<

x2时，都有f（x1）<

f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数．

（1）利用定义

（2）利用已知函数的单调性

（3）利用函数图象（在某个区间图

象上升为增）

（4）利用复合函数

如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<

x2时，都有f（x1）>

f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数．

象下降为减）

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；

若为减，为减，则为增；

若为增，为减，则为减；

若为减，为增，则为减．

y

x

o

（2）打“√”函数的图象与性质

分别在、上为增函数，

分别在、上为减函数．

（3）最大（小）值定义

①一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对于任意的，都有；

（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最大值，记作．

②一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最小值，记作．

【1.3.2】奇偶性

（4）函数的奇偶性

奇偶性

如果对于函数f（x）定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）,那么函数f（x）叫做奇函数．

（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）

（2）利用图象（图象关于原点对称）

如果对于函数f（x）定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）,那么函数f（x）叫做偶函数．

（2）利用图象（图象关于y轴对称）

②若函数为奇函数，且在处有定义，则．

③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．

〖补充知识〗函数的图象

（1）作图

利用描点法作图：

①确定函数的定义域；

②化解函数解析式；

③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；

④画出函数的图象．

利用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．

①平移变换

②伸缩变换

③对称变换

（2）识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．

（3）用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．

第二章基本初等函数（Ⅰ）

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；

当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；

0的次方根是0；

负数没有次方根．

②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；

当为偶数时，．

③根式的性质：

；

当为奇数时，；

当为偶数时，．

（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：

且．0的正分数指数幂等于0．

②正数的负分数指数幂的意义是：

且．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：

底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质

①②

③

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数

函数名称

指数函数

1

函数且叫做指数函数

定义域

值域

过定点

图象过定点，即当时，．

非奇非偶

在上是增函数

在上是减函数

函数值的

变化情况

变化对 图象的影响

在第一象限内，越大图象越高；

在第二象限内，越大图象越低．

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：

（2）几个重要的对数恒等式

，，．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：

，即；

自然对数：

，即（其中…）．

（4）对数的运算性质如果，那么

①加法：

②减法：

③数乘：

④

⑤⑥换底公式：

【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

函数

对数函数

函数且叫做对数函数

在第一象限内，越大图象越靠低；

在第四象限内，越大图象越靠高．

（6）反函数的概念

设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；

②从原函数式中反解出；

③将改写成，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数与反函数的图象关于直线对称．

②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．

③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．

④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．

〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．

（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质

①图象分布：

幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于轴对称）；

是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；

是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：

所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．

③单调性：

如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．

④奇偶性：

当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．

⑤图象特征：

幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．

〖补充知识〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：

②顶点式：

③两根式：

（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．

（3）二次函数图象的性质

①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是．

②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；

当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．

③二次函数当时，图象与轴有两个交点．

（4）一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．

设一元二次方程的两实根为，且．令，从以下四个方面来分析此类问题：

①开口方向：

②对称轴位置：

③判别式：

④端点函数值符号．

①k＜x1≤x2

②x1≤x2＜k

③x1＜k＜x2af（k）＜0

④k1＜x1≤x2＜k2

⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2f（k1）f（k2）0，并同时考虑f（k1）=0或f（k2）=0这两种情况是否也符合

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此结论可直接由⑤推出．

（5）二次函数在闭区间上的最值

设在区间上的最大值为，最小值为，令．

（Ⅰ）当时（开口向上）

①若，则②若，则③若，则

>

a

O

b

2

-

=

p

q

f（p）

f（q）

①若，则②，则

（Ⅱ）当时（开口向下）

<

①若，则②，则．

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：

对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、函数零点的求法：

求函数的零点：

（代数法）求方程的实数根；

（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数．

１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

高中数学必修2知识点

第一章空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征

1.2空间几何体的三视图和直观图

1三视图：

正视图：

从前往后侧视图：

从左往右俯视图：

从上往下

2画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

3直观图：

斜二测画法

4斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；

（3）.画法要写好。

5用斜二测画法画出长方体的步骤：

（1）画轴

（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3空间几何体的表面积与体积

（一）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积：

各个面面积之和

2圆柱的表面积3圆锥的表面积

4圆台的表面积5球的表面积

（二）空间几何体的体积

1柱体的体积2锥体的体积

3台体的体积4球体的体积

第二章直线与平面的位置关系

D

C

B

A

α

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1平面含义：

平面是无限延展的

2平面的画法及表示

（1）平面的画法：

水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三个公理：

（1）公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

符号表示为

L

·

A∈L

B∈L=>

Lα

A∈α

B∈α

公理1作用：

判断直线是否在平面内

（2）公理2：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：

A、B、C三点不共线=>

有且只有一个平面α，

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：

确定一个平面的依据。

（3）公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

P

β

P∈α∩β=>

α∩β=L，且P∈L

公理3作用：

判定两个平面是否相交的依据

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线

相交直线：

同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：

同一平面内，没有公共点；

异面直线：

不同在任何一个平面内，没有公共点。

2公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

设a、b、c是三条直线

=>

a∥c

a∥b

c∥b

强调：

公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：

判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4注意点：

①a'

与b'

所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；

②两条异面直线所成的角θ∈（0，）；

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：

线线平行，则线面平行。

符号表示：

aα

bβ=>

a∥α

2.2.2平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：

一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

aβ

bβ

a∩b=Pβ∥α

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

线面平行则线线平行。

aβa∥b

α∩β=b

作用：

利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：

如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

α∥β

α∩γ=aa∥b

β∩γ=b

可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

L