线性规划所有类型总结(很全的)Word文档格式.doc

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而有关的题型种类较多，变化多样，应用线性规划的思想解题不能完全拘泥于课本中的z=ax+by的形式，下面就从规划思想出发探讨常见的简单线性规划求最值问题。

1、目标函数形如z=ax+by型：

例1（2008.全国Ⅱ）设变量满足约束条件：

，则的最小值是（）

A． B． C． D．

解：

画出可行域（如图1），由可得，所以表示直线的纵截距，由图可知当直线过点A（-2，2）时，z的最小值是-8，选D.

图2

2、目标函数形如型：

例2（2007.辽宁）已知变量满足约束条件

则的取值范围是（）

A．B．C．D．

图3

画出可行域（如图2），表示可行域内的点（x,y）与原点连线的斜率，求得A（1，6），C（）,且求得KOA=6，KOC=，所以，选A.

3、目标函数形如z=abx+cy型：

例3.（2008.北京）若实数满足则的最小值是（）A．0 B．1 C． D．9

图4

画出可行域（如图3），令u=x+2y,当x=y=0时u最小为0，则的最小值是1.故选B.

4.目标函数形如z=型：

例4．已知x、y满足，则的取值范围是（）

A．[1,5]B．[2,6]C．[2,10]D．[3,11]

图5

做出可行域（如图4），因为，其中可视作可行域内的点与点C（-1，-1）连线的斜率，且求得KCA=5，KCB=1，所以由图可知，所以选D.

5.目标函数形如型：

例5.已知x、y满足，求的最大值和最小值.

目标函数的几何意义是可行域的点（x，y）与点C（1，1）的距离（如图5），由图形易知点C与可行域内的点O（0，0）和A（2，0）的距离最大为，而的最小值是点C到直线的距离，所以=，=

变式已知x、y满足约束条件，求z=x2+y2的最大值和最小值，

图6

画出可行域（如图6），z=x2+y2表示可行域内的点与原点O距离的平方，由图可知，|OA|最大，=（）2=61,最小值为点O到直线x+2y-3=0的距离的平方，=（）2=.

6.目标函数形如z=|ax+by+c|型：

例6.已知x、y满足，求z=|x+2y-4|的最大值.

图7

因为,所以z可看作是可行域内任意一点（x,y）到直线x+2y-4=0的距离的倍.由图7知，点C到直线x+2y-4=0的距离最大,由可得C（7，9）所以zmax=|7+2×

9-4|=21.

7.目标函数形如z=ax2+by2型：

图8

例7.已知变量x、y满足，求z=4x2+y2的最值

做出可行域，即以原点为中心的共离心率的椭圆系（如图8），由z=4x2+y2得，目标函数z的几何意义是椭圆长轴的平方，当椭圆分别经过C（4，2），B（1，2，）时z取最大值和最小值，=68，=8.此题还可以进一步引申，求z=4x2-y2的最值。