圆锥曲线概念归纳及题型总结文档格式.doc

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时为双曲线的一支；

时为双曲线的另一支（含的一支）；

②当时，表示两条射线；

③当时，不表示任何图形；

④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

椭圆和双曲线比较：

椭圆

双曲线

定义

方程

焦点

如何用方程确定焦点的位置！

（2）双曲线的性质

从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：

双曲线在两条直线的外侧。

即，即双曲线在两条直线的外侧。

双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。

在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。

令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：

双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：

线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：

线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：

注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。

从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

定义式：

；

2）等轴双曲线的性质：

（1）渐近线方程为：

；

（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。

亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：

，当时交点在轴，当时焦点在轴上。

⑥注意与的区别：

三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）。

定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程叫做抛物线的标准方程。

它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：

，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

标准方程

图形

焦点坐标

准线方程

范围

对称性

轴

顶点

离心率

说明：

（1）通径：

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；

（2）抛物线的几何性质的特点：

有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；

（3）注意强调的几何意义：

是焦点到准线的距离。

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：

无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；

对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．

直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：

（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存在，

（2）联立直线和曲线的方程组；

（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式

（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换

（7）x,y，k（斜率）的取值范围（8）目标：

弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等

运用的知识：

1、中点坐标公式：

，其中是点的中点坐标。

2、弦长公式：

若点在直线上，

则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

或者

。

3、两条直线垂直：

则

两条直线垂直，则直线所在的向量

4、韦达定理：

若一元二次方程有两个不同的根，则。

常见的一些题型：

题型一：

数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

题型二：

弦的垂直平分线问题

题型三：

动弦过定点的问题

题型四：

过已知曲线上定点的弦的问题

题型五：

共线向量问题

题型六：

面积问题

题型七：

弦或弦长为定值问题

题型八：

角度问题

问题九：

四点共线问题

问题十：

范围问题（本质是函数问题）

问题十一、存在性问题：

（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：

三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围

思路点拨：

直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点。

解：

根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。

规律提示：

通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：

证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。

练习：

1、过点P（3,2）和抛物线只有一个公共点的直线有（）条。

　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1

分析：

作出抛物线，

判断点P（3,2）相对抛物线的位置。

抛物线如图，点P（3，2）在抛物线

的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P（3,2）和抛物线只有一个公共点的直线有一条。

故选择D

含焦点的区域为圆锥曲线的内部。

（这里可以用公司的设备画图）

一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：

（1）若定点P在抛物线外，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：

两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；

（2）若定点P在抛物线上，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有2条：

一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；

（3）若定点P在抛物线内，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有1条：

和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。

二、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：

（1）若定点P在双曲线内，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：

和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；

（2）若定点P在双曲线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有3条：

一条切线，2条和渐近线平行的直线；

（3）若定点P在双曲线外且不在渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有4条：

2条切线和2条和渐近线平行的直线；

（4）若定点P在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：

一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；

（5）若定点P在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P和双曲线只有一个公共点的直线不存在。

弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：

垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。

例题2、过点T（-1,0）作直线与曲线N：

交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E（,0），使得是等边三角形，若存在，求出；

若不存在，请说明理由。

过点T（-1,0）的直线和曲线N：

相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正三角形的性质：

中线长是边长的倍。

运用弦长公式求弦长。

依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线，，，。

由消y整理，得①

由直线和抛物线交于两点，得即②由韦达定理，得：

则线段AB的中点为。

线段的垂直平分线方程为：

，令y=0,得，则

为正三角形，到直线AB的距离d为。

解得满足②式此时。

思维规律：

直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；

再利用正三角形的性质：

高是边长的倍，将k确定，进而求出的坐标。

例题3、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。

（Ⅰ）求过点O、F，并且与相切的圆的方程；

（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

第一问求圆的方程，运用几何法：

圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；

第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。

（I）∵a2=2，b2=1，∴c=1，F（-1，0），l:

x=-2.∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-

设M（-），则圆半径：

r=|（-）-（-2）|=

由|OM|=r，得，解得t=±

，

∴所求圆的方程为（x+）2+（y±

）2=.

（II）由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），

代入+y2=1，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0

∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程一定有两个不等实根,

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），则x1+x1=-

∴AB垂直平分线NG的方程为

令y=0，得

∵∴点G横坐标的取值范围为（）。

技巧提示：

直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理，将弦的中点用k表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。

再利用垂直关系将弦AB的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k的函数）。

直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。

练习1：

已知椭圆过点，且离心率。

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。

第一问中已知椭圆的离心率，可以得到的关系式，再根据“过点”得到的第2个关系式，解方程组，就可以解出的值，确定椭圆方程。

第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范围。

（Ⅰ）离心率，，即

（1）；

又椭圆过点，则，

（1）式代入上式，解得，，椭圆方程为。

（Ⅱ）设，弦MN的中点A

由得：

直线与椭圆交于不同的两点，

，即………………

（1）

由韦达定理得：

则，

直线AG的斜率为：

由直线AG和直线MN垂直可得：

，即，代入

（1）式，可得，即，则。

老师支招：

如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：

，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。

本题解决过程中运用了两大解题技巧：

与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。

解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。

练习2、设、分别是椭圆的左右焦点．是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得？

若存在，求直线l的方程；

若不存在，请说明理由．

由得，点C、D关于过的直线对称，由直线l过的定点A（5,0）不在的内部，可以设直线l的方程为：

，联立方程组，得一元二次方程，根据判别式，得出斜率k的取值范围，由韦达定理得弦CD的中点M的坐标，由点M和点F1的坐标，得斜率为，解出k值，看是否在判别式的取值范围内。

假设存在直线满足题意，由题意知，过A的直线的斜率存在，且不等于。

设直线l的方程为：

，C、D，CD的中点M。

又直线l与椭圆交于不同的两点C、D，则，即。

则，M（，）。

又点，则直线的斜率为，

根据得：

，即，此方程无解，即k不存在，也就是不存在满足条件的直线。

老师提醒：

通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：

第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；

第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方程，就可以解决问题。

需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。

圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。

随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。

下面我们就通过几个考题领略一下其风采。

例题4、已知椭圆C：

的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1（-2,0）,A2（2,0）。

（I）求椭圆的方程；

（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？

并证明你的结论。

第一问是待定系数法求轨迹方程；

第二问中，点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1（-2,0）和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。

动点P在直线上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>

2，就可以了，否则就不存在。

（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。

从而椭圆的方程为

（II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得

是方程的两个根，则，，即点M的坐标为，

同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为

，

直线MN的方程为：

令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：

又，

椭圆的焦点为，即故当时，MN过椭圆的焦点。

方法总结：

本题由点A1（-2,0）的横坐标－2是方程的一个根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点M的横坐标：

再利用直线A1M的方程通过同点的坐标变换，得点M的纵坐标：

其实由消y整理得，得到，即，很快。

不过如果看到：

将中的换下来，前的系数2用－2换下来，就得点N的坐标，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。

本题的关键是看到点P的双重身份：

点P即在直线上也在直线A2N上，进而得到，由直线MN的方程得直线与x轴的交点，即横截距，将点M、N的坐标代入，化简易得，由解出，到此不要忘了考察是否满足。

另外：

也可以直接设P（t，y0），通过A1，A2的坐标写出直线PA1，PA2的直线方程，再分别和椭圆联立，通过韦达定理求出M、N的坐标，再写出直线MN的方程。

再过点F，求出t值。

例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；

最小值为1；

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。

求证：

直线过定点，并求出该定点的坐标。

第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；

第二问，直线与椭圆C相交于A，B两点，并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直，证明直线过定点，就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。

解（I）由题意设椭圆的标准方程为

，

（II）设，由得，

（注意：

这一步是同类坐标变换）

这一步叫同点纵、横坐标间的变换）

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，

，，

，解得，且满足

当时，，直线过定点与已知矛盾；

当时，，直线过定点，综上可知，直线过定点，定点坐标为

名师经验：

在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为，建立等式。

直线不过定点，也不知道斜率，设出，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。

直线和抛物线相交于A、B，以AB为直径的圆过抛物线的顶点，证明：

直线过定点，并求定点的坐标。

以AB为直径的圆过抛物线的顶点O，则OAOB，若设，则，再通过，将条件转化为，再通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到，，解出k、m的等式，就可以了。

设，由得，，（这里消x得到的）

则………………

（1）由韦达定理，得：

以AB为直径的圆过抛物线的顶点O，则OAOB，即，

可得，则，

即，又，则，且使

（1）成立，

此时，直线恒过点。

名师指点：

本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。

其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？

若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。

下面我们就通过例题领略一下思维过程。

例题6、已知点A、B、C是椭圆E：

上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。

（I）求点C的坐标及椭圆E的方程；

（II）若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。

（I），且BC过椭圆的中心O

，又点C的坐标为。

A是椭圆的右顶点，，则椭圆方程为：

将点C代入方程，得，椭圆E的方程为

（II）直线PC与直线QC关于直线对称，

设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：

，即，

由消y，整理得：

是方程的一个根，

即同理可得：

＝＝

＝

则直线PQ的斜率为定值。

本题第二问中，由“直线PC与直线QC关于直线对称”得两直线的斜率互为相反数，设直线PC的斜率为k，就得直线QC的斜率为-k。

利用是方程

的根，易得点P的横坐标：

，再将其中的k用-k换下来，就得到了点Q的横坐标：

，这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。

接下来，如果分别利用直线PC、QC的方程通过坐标变换法将点P、Q的纵坐标也求出来，计算量会增加许多。

直接计算、，就降低了计算量。

总之，本题有两处是需要同学们好好想一想，如何解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根；

二是利用直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的。

练习2、：

（2009辽宁卷文、理）已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。

（1）求椭圆C的方程；

（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

第一问中，知道焦点，则，再根据过点A，通过解方程组，就可以求出，求出方程。

第二问中，设出直线AE的斜率k，写出直线的方程，联立方程组，转化成一元二次方程，由韦达定理和点A的坐标，可以求出点E的坐标,将点E中的k,用-k换下来，就可以得到点F的坐标，通过计算yE-yF，xE-xF，就可以求出直线EF的斜率了

（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，将点A的坐标代入方

程：

，解得，（舍去）

所以椭圆方程为。

（Ⅱ）设直线AE方程为：

，代入得

设,,因为点在椭圆上，所以

………8分

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得

所以直线EF的斜率

即直线EF的斜率为定值，其值为。

……12分

老师总结：

此类题的关键就是定点在曲线上，定点的坐标是方程的根，通过韦达定理，将动点的坐标求出，在根据斜率互为相反数，就可以直接求出第二动点的坐标，最后由斜率公式，可以求出斜率为定值。

解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。

此类问题不难解决。

例题