新高一数学暑假衔接课程Word文档格式.docx

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（2）立方差公式；

（3）三数和平方公式；

（4）两数和立方公式；

（5）两数差立方公式．

【典型例题】：

（1）计算：

=___________________________________

（2）计算：

=______________________________

（3）计算=____________________________

（4）=___________________________________

变式1：

利用公式计算

（1）=_______________________

（2）=________________________

变式2:

利用立方和、立方差公式进行因式分解

（1）

（2）（3）（4）

【典型例题】

（1）

（2）已知，求的值．

（3）已知，求的值．

变式1:

计算：

已知，，求的值．

知识点二、根式

式子叫做二次根式，其性质如下：

（1）

（2）

（3） （4）

基本的化简、求值

化简下列各式：

（1）=___________

（2）=_____________

（3）计算=_______________________

（4）=_______________________

（5）=_______________________

（6）设，求=_______________________

二次根式成立的条件是（ ）

A． B． C． D．是任意实数

若，则的值是（ ）

A．－３ B．３ C．－９ D．９

变式3：

计算

（1）

（2）

知识点三、分式

【典型例题—1】：

1、分式的化简

（1）化简

（2）化简

2、

（1）试证：

（其中n是正整数）；

（2）计算：

；

（3）证明：

对任意大于1的正整数，有．

3、分式的运用

设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值

对任意的正整数n，______________

选择题：

若，则=（　　）

（A）１（B）（C）（D）

变式3:

知识点四、因式分解

【内容概述】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。

在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。

是一种重要的基本技能。

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等。

1、【典型例题】：

公式法（立方和、立方差公式）

我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

（立方和公式）

（立方差公式）

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）。

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。

例：

（1）

（2）

变式：

分解因式：

2、【典型例题】：

分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．

分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：

（1）分组后能提取公因式

（2）分组后能直接运用公式

分解因式

（1）=_______________________

（2）=_______________________

（3）=_______________________

3、【典型例题】：

十字相乘法

型的因式分解

把下列各式因式分解：

（1）=_______________________

（2）=_______________________

（3）=_______________________

（4）=_______________________

（5）=_______________________

（6）=_______________________

一般二次三项式型的因式分解

（1）

（2）

变式练习:

（1）x2-6x+5=_______________________

（2）x2+15x+56=_______________________

（3）x2+2xy-3y2=_______________________

（4）（x2+x）2-4（x2+x）-12=_______________________

4、拆项法（选讲）

分解因式=_______________________

课后练习：

1．填空：

（1）（）；

（2）；

（3）．

（4）若，则的值为________

（5）若，则______________

（6），，则________________

（7）若，则_______________

（8）若，则（　　）

　（A）（B）　（C）　（D）

（9）计算等于（　　）

（A）　（B）　（C）　（D）

（10）若，则的值为（ ）

A． B． C． D．

2．化简：

（1）

（2）

3．把下列各式分解因式：

（1）

（2）

（3）（4）

（5） （6）

知识点一、一元二次方程根的判别式

例1.求下列方程的根

（1）

（2）（3）

例2.判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x2－3x＋3＝0；

（2）x2－ax－1＝0；

（3）x2－ax＋（a－1）＝0（4）x2－2x＋a＝0．

已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（3）方程有实数根；

（4）方程无实数根。

知识点二、根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，，

则有：

；

．

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

x1＋x2＝，x1·

x2＝．

这一关系也被称为“韦达定理”．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知：

x1＋x2＝－p，x1·

x2＝q，即：

p＝－（x1＋x2），q＝x1·

x2，

所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－（x1＋x2）x＋x1·

x2＝0。

由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－（x1＋x2）x＋x1·

x2＝0的两根．因此有：

以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（x1＋x2）x＋x1·

x2＝0．

例3.已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

例4.已知关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

例5.已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

例6.若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

（1）求|x1－x2|的值；

（2）求的值；

（3）．

若是方程的两个根，试求下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

例7.若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的范围．

例8.已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值。

（1）方程两实根的积为5；

（2）方程的两实根满足。

例9.已知是一元二次方程的两个实数根。

（1）是否存在实数，使成立？

若存在，求出的值；

若不存在，请说明理由。

（2）求使的值为整数的实数的整数值。

填空:

（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝．

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是．

（3）以－3和1为根的一元二次方程是．

（4）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．

（5）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．

已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？

已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求（x1－3）（x2－3）的值．

变式4:

已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，如果2（x1＋x2）＞x1x2，求实数k的取值范围．

变式5：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．

求：

（1）|x1－x2|和；

（2）x13＋x23．

变式6：

关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|x1－x2|＝2，求实数m的值．

课堂练习

1．选择题:

（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）

（A）－3（B）3（C）－2（D）2

（2）下列四个说法：

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；

④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）

（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－1

2．填空:

（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．

（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．

（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|x1－x2|＝．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－（2m＋1）x＋1＝0有两个不相等的实数根？

有两个相等的实数根？

没有实数根？

课后练习

1、选择题：

（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，

则这个直角三角形的斜边长等于（）

（A）（B）3（C）6（D）9

（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值为（）

（A）6（B）4（C）3（D）

（3）如果关于x的方程x2－2（1－m）x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（）

（A）α＋β≥（B）α＋β≤（C）α＋β≥1（D）α＋β≤1

（4）已知是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋（a＋b）x＋＝0的根的情况是（）

A）没有实数根B）有两个不相等的实数根

C）有两个相等的实数根D）有两个异号实数根

2．填空：

若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝．

3.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数

4．已知关于x的方程．

无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．

5.若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围

6．（选做）已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使（2x1－x2）（x1－2x2）＝－成立？

若存在，求出k的值；

若不存在，说明理由；

（2）求使－2的值为整数的实数k的整数值；

（3）若k＝－2，，试求的值．

知识点一、的图像与性质、

1、当时，

函数图象开口方向；

顶点坐标为，对称轴为直线；

当时，y随着x的增大而；

当时，y随着x的增大而；

当时，函数取最小值．

2、当时，

函数图象开口方向；

顶点坐标为，对称轴为直线；

当时，y随着x的增大而；

当时，y随着x的增大而；

当时，函数取最大值．

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

【典型例题】:

例1.求二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？

并画出该函数的图象．

作出以下二次函数的草图

（1）

（2） （3）

例2.某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：

x/元

130

150

165

y/件

70

50

35

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？

此时每天的销售利润是多少？

例3.把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值

知识点二、二次函数的三种表示方式

1、一般式：

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；

2、顶点式：

y＝a（x＋h）2＋k（a≠0），其中顶点坐标是（－h，k）．

3、交点式：

y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）

例4.已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

例5.已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

例6.已知二次函数的图象过点（－1，－22），（0，－8），（2，8），求此二次函数的表达式．

例7.函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）

（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法确定

已知二次函数的图象经过与x轴交于点（－1，0）和（2，0），则该二次函数的解析式可设为

y＝a（a≠0）．

变式2：

二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为．

根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点（1，－2），（0，－3），（－1，－6）；

（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点（1，11）；

（3）函数图象与x轴交于两点（1－，0）和（1＋，0），并与y轴交于（0，－2）．

知识点三、二次函数的最值问题

1．二次函数的最值．

二次函数在自变量取任意实数时的最值情况：

当时，函数在处取得最小值，无最大值；

当时，函数在处取得最大值，无最小值

2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步：

确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步：

配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

3．求二次函数在某一范围内的最值．

如：

在（其中）的最值．

第一步：

先通过配方，求出函数图象的对称轴：

第二步：

讨论：

（1）若时求最小值或时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于即，即对称轴在的左侧；

②对称轴，即对称轴在的内部；

③对称轴大于即，即对称轴在的右侧。

（2）若时求最大值或时求最小值，需分两种情况讨论：

①对称轴，即对称轴在的中点的左侧；

②对称轴，即对称轴在的中点的右侧；

说明：

求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置

例8.求下列函数的最大值或最小值．

（1）；

（2）

例9.当时，求函数的最大值和最小值．

例10.当时，求函数的取值范围．

例11.当时，求函数的最小值（其中为常数）．

设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值．

已知函数在上的最大值为4，求的值．

求关于的二次函数在上的最大值（为常数）．

变式4：

已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：

（1）x≤－2；

（2）x≤2；

（3）－2≤x≤1；

（4）0≤x≤3．

知识点四、一元二次不等式

通过前面的学习，咱们已经掌握了根据二次函数的解析式画函数的图像，现在同学们根据图像与x轴交点的个数分类，详细总结，然后对比二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系.（在黑板上画出表格的框架，让学生来填，引导学生自主找规律）

1、一元二次不等式的解集：

设相应的一元二次方程的两根为，，

则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数

（）的图象

一元二次方程

2．简单分式不等式的解法

解简单的分式不等式的方法：

对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.

3．含有字母系数的一元一次不等式

一元一次不等式最终可以化为的形式：

（1）当时，不等式的解为：

（2）当时，不等式的解为：

（3）当时，不等式化为：

①若，则不等式的解是全体实数；

②若，则不等式无解．

例12解下列不等式：

（1）

（2）

（3） （4） （5）

（6）（7） （8）

（9）

例13已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围．

例14解关于x的不等式

1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，），B（1，0），C（，2）；

（2）已知抛物线的顶点为（1，），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（，0），（5，0），且与y轴交于点（0，）；

（4）已知抛物线的顶点为（3，），且与x轴两交点间的距离为4．

2.已知函数，其中，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

3.若0<

a<

1,则不等式（x－a）（x－）<

0的解是（）

A.a<

x<

B.<

a