直接证明与间接证明Word文档格式.doc以及数学归纳法学生版Word文档格式.doc

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反证法：

假设原命题__________（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

自我检测

1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的（　　）

A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

2．用反证法证明“如果a>

b，那么>

”的假设内容应是（　　）

A.＝ B.<

C.＝且<

D.＝或<

3．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（　　）

A．|a－c|≤|a－b|＋|c－b|

B．a2＋≥a＋

C.－<

－

D．|a－b|＋≥2

4．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：

那么d⊗（a⊕c）等于（　　）

A．a B．b C．c D．d

5．设x、y、z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数（　　）

A．至少有一个不大于2 B．都小于2

C．至少有一个不小于2 D．都大于2

探究点一　综合法

例1　已知a，b，c都是实数，求证：

a2＋b2＋c2≥（a＋b＋c）2≥ab＋bc＋ca.

变式迁移1　设a，b，c>

0，证明：

＋＋≥a＋b＋c.

探究点二　分析法

例2　若a，b，c是不全相等的正数，求证：

lg＋lg＋lg>

lga＋lgb＋lgc.

变式迁移2　已知a>

0，求证：

－≥a＋－2.

探究点三　反证法

例3　若x，y都是正实数，且x＋y>

2，

求证：

<

2与<

2中至少有一个成立．

变式迁移3　若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：

a，b，c中至少有一个大于0.

1．综合法是从条件推导到结论的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论．即由因导果．

2．分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．即执果索因，用分析法寻找解题思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析综合法．

3．用反证法证明问题的一般步骤：

（1）反设：

假定所要证的结论不成立，即结论的反面（否定命题）成立；

（否定结论）

（2）归谬：

将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；

（推导矛盾）

（3）结论：

因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．（结论成立）

数学归纳法

1．归纳法

由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法．

2．数学归纳法

设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：

（1）证明起始命题________（或________）成立；

（2）在假设______成立的前提下，推出________也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立．

3．数学归纳法证题的步骤

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值__________时命题成立．

（2）（归纳递推）假设______________________________时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

1．用数学归纳法证明：

“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝（a≠1）”在验证n＝1时，左端计算所得的项为（　　）

A．1 B．1＋a

C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3

2．如果命题P（n）对于n＝k（k∈N*）时成立，则它对n＝k＋2也成立，又若P（n）对于n＝2时成立，则下列结论正确的是（　　）

A．P（n）对所有正整数n成立

B．P（n）对所有正偶数n成立

C．P（n）对所有正奇数n成立

D．P（n）对所有大于1的正整数n成立

3．证明<

1＋＋＋＋…＋<

n＋1（n>

1），当n＝2时，中间式子等于（　　）

A．1 B．1＋

C．1＋＋ D．1＋＋＋

4．用数学归纳法证明“2n>

n2＋1对于n>

n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（　　）

A．2 B．3 C．5 D．6

5．用数学归纳法证明“n3＋（n＋1）3＋（n＋2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开（　　）

A．（k＋3）3 B．（k＋2）3

C．（k＋1）3 D．（k＋1）3＋（k＋2）3

探究点一　用数学归纳法证明等式

例1　对于n∈N*，用数学归纳法证明：

1·

n＋2·

（n－1）＋3·

（n－2）＋…＋（n－1）·

2＋n·

1＝n（n＋1）（n＋2）．

变式迁移1　用数学归纳法证明：

对任意的n∈N*,1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.

探究点二　用数学归纳法证明不等式

例2　用数学归纳法证明：

对一切大于1的自然数，不等式…>

均成立．

变式迁移2　已知m为正整数，用数学归纳法证明：

当x>

－1时，（1＋x）m≥1＋mx.

【突破思维障碍】

1．归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．

2．数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决．

【易错点剖析】

1．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个（或两个以上）初始值进行验证；

初始值的验证是归纳假设的基础．

2．在进行n＝k＋1命题证明时，一定要用n＝k时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．

1．数学归纳法：

先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，并证明当n＝k＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立．这是因为第一步首先证明了n取第一个值n0时，命题成立，这样假设就有了存在的基础，至少k＝n0时命题成立，由假设合理推证出n＝k＋1时命题也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n0＝1成立，又证明了n＝k＋1也成立，这就一定有n＝2成立，n＝2成立，则n＝3成立，n＝3成立，则n＝4也成立，如此反复以至无穷，对所有n≥n0的整数就都成立了．

2．

（1）第①步验证n＝n0使命题成立时n0不一定是1，是使命题成立的最小正整数．

（2）第②步证明n＝k＋1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法．

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