高中数学必修一高频考点、常考题型及易错题型文档格式.doc
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先分区是数集，还是点集。
集合
{x|f（x）＝0}
{x|f（x）>
0}
{x|y＝f（x）}
{y|y＝f（x）}
{（x，y）|y＝f（x）}
含义
方程f（x）＝0的解集
不等式f（x）>
0的解集
函数y＝f（x）的定义域
函数y＝f（x）的值域
函数y＝f（x）图象上的点集
（五）容斥原理（集合交并运算后，元素个数关系）
（六）德摩根定理
A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）
用集合A、B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B；
A∩（∁UB）；
B∩（∁UA）；
∁U（A∪B）或（∁UB）∩（∁UA）．
【必会一般考点】
一、5类数集表示方法（N或N+表示正整数集）
二、5种集合的表示方法
1.自然语言法：
用文字叙述的形式来描述集合.
2.列举法：
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
3.描述法：
{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.
4.区间法:
（a，b）、[a，b]、（a，b]、[a，b）、（a,+∞）、（-∞，b）
对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须．
5.图示法：
用数轴或韦恩图来表示集合.
【规律方法技巧】
一、解决集合问题的5大法宝：
数轴、韦恩图、坐标系（平几）、解方程、列举法
1.离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图或交、并、补的定义求解
2.点集的运算常利用数形结合（坐标系）的思想或联立方程组进行求解
3.连续型数集的运算，常借助数轴求解
4.如不易比较集合中元素与元素关系时，可采取列举法，观察前几项关系
二、学好集合问题须做到“五看”
一看代表元素，分清数集、点集、还是其它集合.二看约束条件；
三看能否化简，化简后再研究集合，将变得简单.
四看能否数形结合，它是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、坐标轴或韦恩图.
五看端点值能不能取等号；
同时还要注意各个端点的画法，即实心的点与空心的圆圈的应用.
【易错题型及创新题型】
如何破解集合的五类易错题型和一类创新题型？
1.大意：
似曾相识的题目。
计算失误：
与指数函数、对数函数、幂函数、绝对值函数和分段函数相结合的题型。
找不到解题切入点或不能等价转换：
创新题。
2.由入门级的一次方程/不等式、二次方程/不等式逐步深入到指对数不等式、分式不等式、绝对值不等式、三角不等式、复数等转变。
易错点1含参集合忽视元素的互异性
【问题1】:
已知1∈{,,}，求实数的值。
【练1】:
已知集合A＝{1，3，2a－1}，B＝{3，a2}，若B⊆A，求实数的值。
【练2】:
已知集合，，且，求实数的值．
易错点2忽视空集
已知，且，求的取值范围。
设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0}，①若B⊆A，求a的值；
②若A⊆B，求a的值．
已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<
m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为（）
【练3】:
已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若集合B＝{x|p－6≤x≤2p－1}，且A∩B＝A，则实数p的取值范围为________．
【练4】:
设，，若，求实数a组成的集合的子集个数？
8个.
易错点3对集合表示方法理解存在偏差（不能确定集合由哪些元素组成）
已知，求。
【问题2】:
A={（x，y）|y=x+1},B={y|y=x2+1},则A∩B=（）
A={y|y=x2+1}，B={y|y=x-1},则A∩B=（）
已知集合M＝{（x，y）|y＝－x＋1}，N＝{（x，y）|y＝x－1}，那么M∩N为（）
易错点4参数可否取“=”问题（遗漏端点）
【规律总结】1.处理技巧.2.精益求精、规范答题.3.实心的点与空心的圆圈的应用.
已知集合A=｛x︳0＜2x≤3+a｝，B=｛x︳-0.5＜x＜2｝，若AB,求a的取值范围.
已知集合A＝{x|1≤x<
5}，C＝{x|－a<
x≤a＋3}.若C∩A＝C，则a的取值范围是________.
易错点5方程、不等式、函数最高项系数为字母，忽略字母为0的情况
设，，若，求实数a组成的集合的子集有________个.
若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝（）
A．4 B．2 C．0 D．0或4
创新题型与集合相关的创新性题型，即新概念、新定义、新性质题型
1.对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:
当都为正偶数或正奇数时,※=;
当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=.则在此定义下,集合※中的元素个数是（）
A.个B.个C.个D.个
【解析】因为，，，，，，，，
，集合中的元素是有序数对，所以集合中的元素共有个，故选B.
2.【2016年广东揭阳一模】非空数集如果满足：
①；
②若对有，则称是“互倒集”.给出以下数
集：
②；
③；
④.其中“互倒集”的个数是（）A．4B．3C．2D．1
【经典题型】
1.【湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考】已知集合，，若，，则.
【解析】，若，，由，，所以，∴是方程的两根，由根与系数关系得：
．
2.【2016年榆林二模】已知集合，则.
3.【2015届湖北省七市高三4月联考】集合，，则（）
A．B．C．D．[0，1]【答案】D
4.【2015届广东省汕头市潮南区高三5月高考模拟】已知集合，,且,则（）A．4B．5C．6D．7
5.【2015届浙江省高三第二次考试五校联考】，若表示集合中元素的个数，则，则．
【解析】当时，，，即，，
由于不能整除3，从到，，3的倍数，共有682个，.
6.设集合，则集合的子集个数为（）
A. B. C. D.
【解析】，共有4个元素，故集合的子集个数为，故答案为C.
如何学好高中函数知识？
1.一算（4种不等式解法）、一图（8种图象画法、4大变换技巧）、一解、两域、一定、一最、四性、一渐；
2.一参、一恒、一存、一恰
每新学一个函数，均要研究上述内容
高中阶段部分常见不等式的解法？
1.一元二次不等式的解法
判别式
二次函数的图象
二次方程的根
（
无实根
不等式的解集
或
（1）一元二次不等式的解法及步骤？
的解为“大两边、小中间”，即“x>
x大或x<
x小”，“x小<
x大”.若a<
0，怎么处理？
（2）一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数的区别与联系？
（3）十字交叉相乘法的技巧？
2.分式不等式的解法
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
3.绝对值不等式的解法
不等式
解集
把看成一个整体，化成，型不等式来求解
4.指数不等式与对数不等式解法
（1）当时,；
.
（2）当时,；
高一上学期8种常见函数的图像及其性质？
“一解、二域、一定、四性、一最、一渐”与“作图、识图、用图”
函数名
一次函数
二次函数
反比例函数
指数函数
解析式
图像
定义域
R
值域
必过点
周期性
不是周期函数
单调性
在R上单增
为减
为增
最值
在R不存在最大最小值
开口向上有最小值
不存在最大最小值
在R上不存在最大最小值
奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
对称性
图像关于原点对称；
既不成中心对称也不成轴对称。
渐近线
无
对数函数
幂函数
双钩函数
含绝对值函数
Y=xa
y=ax+b/x（a>
0,b>
0）
与均值不等式关系
无最大最小值
，无最大值
非奇非偶
既不是轴对称也不是中心对称
关于原点成中心对称
关于直线对称。
直线x=0
和
一、指数、对数、幂函数图象规律
1.指数函数，在第一象限内，越大图象越高；
在第二象限内，越大图象越低．
2.对数函数，在第一象限内，越大图象越低；
在第四象限内，越大图象越高．
3.幂函数
（1）图象分布：
幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于轴对称）；
是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；
是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
（2）过定点：
所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
（3）单调性：
如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
（4）奇偶性：
当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．
（5）图象特征：
幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．
偶函数
第一象限性质
减函数
增函数
过定点
二、拓展对勾函数（作图）
陌生函数，利用描点法作图：
化简函数解析式；
确定函数的定义域；
讨论函数的性质（奇偶性、单调性、值域）；
确定特殊点；
画出函数的图象．
如何画出f（x）=x-2/x图象
三、图象平移、对称、翻折、伸缩4大变化技巧（注意过定点与渐近线）
1.y=|f（x）|、y=f（|x|）、|y|=f（x）三大图象画法（上不动、下翻上；
左去掉、右不动、右翻左；
上不动、上翻下）
若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
延伸探究1若y＝|2x－1|，与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围________
延伸探究2若y＝|2x－1|在（－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是什么？
延伸探究3若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？
2.形似神异的图象变换规律
y=logax→y=|loga（x-m）|+n,m>
0,n>
0下翻上、右移m、上移n
y=logax→y=loga|x-m|+n,m>
0左去掉、右翻左、右移m、上移n
y=logax→y=loga（|x-m|+n）,m>
0左移n、左去掉、右翻左、右移m
y=logax→y=|loga|x-m||,m>
0下翻上、左去掉、右翻左、右移m
3.与指数函数相关的函数图象
y=ax与y=a-xy=loga|x|y=ax+a-xy=ax-=a-x
如何得到y=2-|x-1|图象？
选择合理变换顺序。
y=0.5x；
y=0.5|x|；
y=0.5|x-1|
4.与对数函数相关的函数图象
y=|logax|y=loga|x||y=loga|x||
5.图象平移变化易错点
若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；
若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.
四、秒杀复杂函数图像的4大技巧（识图）
特殊点函数值、定义域与值域、单调性、奇偶性
1.[2016·
杭州模拟]已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
A．f（x）＝x2－2ln|x|B．f（x）＝x2－ln|x|C．f（x）＝|x|－2ln|x|D．f（x）＝|x|－ln|x|
2.【2016年揭阳市高中毕业班二模】函数（）图象的大致形状是
3.[2016·
济南模拟]函数f（x）＝2x－x2的图象为（ ）
4.[2016·
五、用图
1.【2016届湖北省襄阳五中高三5月高考模拟】已知函数是奇函数，当时，．若不等式（且）对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
2.【河北省衡水中学2016届高三一调】已知是定义在上的周期为3的函数，当时，.若函数在区间[-3,4]上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是
青岛模拟]已知函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[－1,1]时，f（x）＝x2，那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有（ ）
A．10个 B．9个C．8个 D．1个
4.当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是（ ）
A. B.C．（1，） D．（，2）
延伸探究1
若本例变为：
若不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．
延伸探究2
当0＜x<
时，＜logax，求实数a的取值范围．
5.【2016届安徽省江南十校高三二模】已知定义在上的奇函数，对于都有，当时，，则函数在内所有的零点之和为（）A．6B．8C．10D．12
专题2函数的概念及其表示
主要考查以下三种形式：
一是考察函数的概念；
二是简单函数的定义域和值域；
三是函数的解析表示法；
其中经常以分段函数为载体，考察函数、方程、不等式等知识.在选择题、填空题中出现，一般是一个具体的函数，难度较低．对函数值域的考察，多以基本初等函数为背景，若出现在解答题中，则会利用导数工具求解，难度较大．
【考点1】函数的概念与映射的概念
1.映射与函数的区别与联系
区别：
主要区别体现在对集合的要求上，映射定义中两个集合为“非空集合”，函数定义中两个集合为“非空数集”.即映射可以是非空图集到非空图集的映射，也可是非空图集到非空数集的映射.函数仅为非空数集到非空数集.
联系：
均为一对一或一对多，不可多对一.函数是数集上的一种映射，即函数是特殊的映射，映射是函数概念的推广.
2.有关经典结论
（1）函数图像是特点是什么？
判断两个非空数集能否构成函数，须看是否满足任意性、存在性、唯一性，缺一不可.须会从图形和代数式两种判断方法.
（2）原象、象与函数定义域、值域区别与联系？
函数定义域=集合A,函数值域集合B.
（3）从集合到集合的映射有个.
（4）第一个集合中的元素必须有象.
（5）相同函数的判断方法：
①表达式相同；
②定义域一致（两点必须同时具备）.实际解题时，定义域、对应法则哪一要素容易判断不相等，先判断谁，只要有一个不相等，即不为同一函数.
1.给出四个命题：
①函数是其定义域到值域的映射；
②是函数；
③函数的图象是一条直线；
④与是同一个函数．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个
2.设集合是两个集合，①；
②；
③.则上述对应法则中，能构成到的映射的个数是（）
【解析】对于①，，由对应法则，中的元素在中没有对应的象．∴
【考点2】函数的表示
如何求函数解析式？
一、解析式表示方法：
解析法、列表法、图像法
二、求解析式常用方法
1.代入法：
如已知求时，有.
2.换元法或配凑法:
已知复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法，这时要注意标注新元取值范围.当已知表达式较简单时，也可用凑配法.
3.待定系数法：
已知的函数类型，要求的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.
4.方程组法/消元/参法：
已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的，得到关于的方程组，解之即可得出.若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f（x）.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．（x与-x、x与1/x）
5.图形法：
已知函数尤其是分段函数图像求解析式
6.赋值法：
给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式.
三、易错点：
若自变量不是R，定要标注自变量范围，否则极易出错．
四、用好解析式（通过解析式，分析出函数的单调性和奇偶性，再利用此性质解题）
【考点3】分段函数及其应用
1.【2016年河北石家庄高三二模】已知则的值为.
2.【2016年江西九江市高三三模】已知函数满足，求的值.
学好分段函数仅需把握11类常见题型
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，非几个函数；
它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.
一、分段函数的五种类型
1.取整函数f（x）=[x],[x]是不超过X的最大整数
2.符号函数f（x）=（-1）x,X分奇偶数
3.绝对值函数4.自定义函数5.点列函数
二、具体题型
1．求分段函数的定义域和值域
例1.求函数的定义域、值域.值域为（-1，2]U｛3｝.
2．求分段函数的函数值
例1.已知函数求.
例2.已知函数，求f{f[f（a）]}（a<
0）的值.
分析:
求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由a<
0,f（a）=2a，又0<
2a<
1,,
，所以，.
注：
求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．
练1.设则__________
练2.设则__________
3．求分段函数的最值
例2.设a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|+1,x∈R,求f（x）的最小值.
所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可.
解：
当x<
a时，函数f（x）=x2-x+a+1,
所以若，则函数f（x）在（-∞,a]上单调递减，从而f（x）在（-∞,a]上的最小值为f（a）=a2+1.
若，则函数f（x）在（-∞,a]上的最小值为，且；
当x≥a时，函数；
若，则函数f（x）在[a,+∞）上的最小值为，且.
若，则函数f（x）在[a,+∞）上的最小值为f（a）=a2+1.
综上，当时，函数f（x）的最小值是；
当时，函数f（x）的最小值是a2+1；
当时，函数f（x）的最小值是.
4．求分段函数的解析式
例1.在同一平面直角坐标系中,函数和的图象关于直线对称,现将的图象沿轴向左平移2个单位,再沿轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数的表达式为（A）
例2.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；
西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示：
（I）写出图l表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t），写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g（t）；
（II）认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?
解析：
（I）由图l可得市场售价与时间的关系为
由图2可得种植成本与时间的函数关系为
（0≤t≤300）。
（II）设t时间的纯收益为h（t），由题意得
h（t）=f（t）-g（t）
再求h（t）的最大值即可。
5．作分段函数的图像
例1.函数的图像大致是（）
例2.已知函数f（x）=|x2-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值.a=4.
6．求分段函数的反函数
例1.求函数的反函数.
∵f（x）在R上是单调减函数，∴f（x）在R上有反函数.
∵y=x2+1（x≤0）的反函数是（x≥1）,y=1-x（x>
0）的反函数是y=1-x（x<
1）,
∴函数f（x）的反函数是
注：
求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可.
例2.已知是定义在上的奇函数,且当时,,设得反函数为,求的表达式.
设,则,所以,又因为是定义在上的奇函数,所以,且,所以,因此
从而可得.
例3
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