中考数学深度复习讲义全等三角形文档格式.doc
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（1）求证:
Rt△ABE≌Rt△CBF;
（2）若∠CAE=30º
求∠ACF度数.
A
B
C
E
F
第22题图
【答案】
（1）∵∠ABC=90°
∴∠CBF=∠ABE=90°
.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵AE=CF,AB=BC,∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）
（2）∵AB=BC,∠ABC=90°
∴∠CAB=∠ACB=45°
∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°
-30°
=15°
由
（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°
+15°
=60°
例2在一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等式：
①AB=DC；
②BE=CE；
③∠B=∠C；
④∠BAE=∠CDE．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．
请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
已知：
求证：
△AED是等腰三角形．
证明：
解析本例是一道开放性问题，考查全等三角形的识别，填法多样，一般先看从题中已知的四个条件中取出两个共有六种取法，再看有几种正确．正确的填法可以是已知：
①③（或①④，或②③，或②④）（任选一个即可）．若选①③，证明如下：
证明：
在△ABE和△DCE中，
∵
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，即△AED是等腰三角形．
点评几何演绎推理论证该如何考？
一直是大家所关注的．本题颇有新意，提供了一种较新的考查方式，让学生自主构造问题，自行设计命题并加以论证，给学生创造了一个自主探究的机会，具有一定的挑战性．这种考查的形式在近几种的中考试题中频繁出现，复习时值得重视．
例3已知Rt△ABC中，∠C=90°
．
（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）．
①作∠BAC的平分线AD交BC于点D；
②作线段AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，垂足为H；
③连结ED．
（2）在
（1）的基础上写出一对全等三角形：
△_____≌△______，并加以证明．
解析
（1）按照要求用尺规作∠BAC的平分线AD，作线段AD的垂直平分线，并连结相关线段．
（2）由AD平分∠BAC，
可以得到∠BAD=∠DAC．
由EF垂直平分线段AD，
可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°
，EA=ED，
从而有∠EAD=∠EDA=∠FAH，再加上公共边，
从而有△AEH≌△AFH≌△DEH．
以上三组中任选一组即可．
点拨本题的最大特点是将基本作图与证明结合起来，就目前的情况来看，“作图→证明”“作图→计算”“作图→变换”是考查基本作图的常见命题模式．作角平分线和线段的垂直平分线是新课标中明确提出的基本作图之一，作图的图形中含有很多相等的线段和角，蕴含着全等三角形．
例4在△ABC中，∠A=90°
，AB=AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：
△DEF为等腰直角三角形；
（2）如图2，若E，F分别是AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？
证明你的结论．
图1图2
解析
（1）连结AD．
∵AB=AC，∠BAC=90°
，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=AD，
∴∠B=∠DAC=45°
又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF，
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°
∴△DEF为等腰直角三角形．
（2）连结AD．
∴AD=BD，AD⊥BC．
∴∠DAC=∠ABD=45°
，
∴∠DAF=∠DBE=135°
又AF=BE，
∴△DAF≌△DBE（SAS），
∴FD=ED，∠FDA=∠EDB，
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°
∴△DEF仍为等腰直角三角形．
例5在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到如图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察，测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在
（2）在基础上沿AC方向继续平移到如图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，
（2）中的猜想是否仍然成立？
（不用说明理由）
图1图2图3
解析
（1）BF=CG．
在△ABF和△ACG中，
∵∠F=∠G=90°
，∠FAB=∠GAC，AB=AC，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴BF=CG．
（2）DE+DF=CG．
过点D作DH⊥CG于点H（如图2）．
∵DE⊥BA于点E，∠G=90°
，DH⊥CG．
∴四边形EDHG为矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC．
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC．
又∵∠F=∠DHC=90°
，CD=DC，
∴△FDC≌△HCD（AAS），
∴DF=CH．
∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．
（3）仍然成立．
点评本题从直接证明三角形全等，到探究新的情况下如何构建新的全等三角形证明待定的数量关系，再到不同位置关系下的归纳猜想，三个问题由浅入深考查学生的不同层次的数学能力．本题还可以利用面积来进行证明，比如
（2）中连结AD．
全等三角形
一、选择题
1.（2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知中，，是高和的交点，，则线段的长度为（）.
A． B．4 C． D．
【答案】B
2.（2011山东威海，6，3分）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（）．
A．EF∥AB B．BF=CF C．∠A=∠DFE D．∠B=∠DFE
【答案】C
3.（2011浙江衢州，1,3分）如图，平分于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（）
A.1B.2C.3D.4
（第6题）
4.（2011江西，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）.
A.BD=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC
第7题图
【答案】D
5.（2011江苏宿迁,7,3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（▲）
A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BDA＝∠CDA
6.（2011江西南昌，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）.
7.（2011上海，5，4分）下列命题中，真命题是（）．
（A）周长相等的锐角三角形都全等；
（B）周长相等的直角三角形都全等；
（C）周长相等的钝角三角形都全等；
（D）周长相等的等腰直角三角形都全等．
8.（2011安徽芜湖，6,4分）如图，已知中，，是高和的交点，，则线段的长度为（）.
9.
10．
二、填空题
1.（2011江西，16，3分）如图所示，两块完全相同的含30°
角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°
。
有以下四个结论：
①AF⊥BC；
②△ADG≌△ACF；
③O为BC的中点；
④AG：
DE=：
4，其中正确结论的序号是.（错填得0分，少填酌情给分）
【答案】①②③
2.（2011广东湛江19,4分）如图，点在同一直线上,,,
（填“是”或“不是”）的对顶角，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是（只需写出一个）．
3.
4.
5.
三、解答题
1.（2011广东东莞，13，6分）已知：
如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求证：
AE=CF.
【答案】∵AD∥CB
∴∠A=∠C
又∵AD=CB，∠D=∠B
∴△ADF≌△CBE
∴AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
即AE=CF
2.（2011山东菏泽，15
（2），6分）已知：
如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：
AB=DC
在△ABC与△DCB中
（∵AC平分∠BCD，BD平分∠ABC）
∴△ABC≌△DCB
∴AB=DC
3.（2011浙江省，19，8分）如图，点D，E分别在AC，AB上．
（1）已知，BD=CE，CD=BE，求证：
AB=AC；
（2）分别将“BD=CE”记为①，“CD=BE”记为②，“AB=AC”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的命题，命题2是命题．（选择“真”或“假”填入空格）．
（1）连结BC，∵BD=CE，CD=BE，BC=CB．
∴△DBC≌△ECB（SSS）
∴∠DBC=∠ECB
∴AB=AC
（2）逆，假；
4.（2011浙江台州，19,8分）如图，在□ABCD中，分别延长BA，DC到点E，使得AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交AD，BC于点F,G。
△AEF≌△CHG.
【答案】证明：
∵□ABCD
∴AB=CD,∠BAD=∠BCDAB∥CD
∴∠EAF=∠HCG∠E=∠H
∵AE=AB，CH=CD
∴AE=CH
∴△AEF≌△CHG.
5.（2011四川重庆，19，6分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：
BC∥EF．
【证明】∵AF＝DC，∴AC＝DF，又∠A＝∠D，
AB＝DE，∴△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF．
6.（2011江苏连云港，20，6分）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？
为什么？
【答案】解：
全等.理由如下：
∵两三角形纸板完全相同，∴BC=BF，AB=BD，∠A=∠D，∴AB－BF=BD－BC，即AF=DC.在△AOF和△DOC中，∵AF=DC，∠A=∠D，∠AOF=∠DOC，∴△AOF≌△DOC（AAS）.
7.（2011广东汕头，13，6分）已知：
8.（2011重庆江津，22，10分）在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º
9.（2011福建福州，17
（1），8分）如图6,于点,于点,交于点,且.
求证.
图6
（1）证明:
∵,
∴
在和中
∴≌
10．（2011四川内江，18，9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°
，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°
的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
D
【答案】BE=EC，BE⊥EC
∵AC=2AB，点D是AC的中点
∴AB=AD=CD
∵∠EAD=∠EDA=45°
∴∠EAB=∠EDC=135°
∵EA=ED
∴△EAB≌△EDC
∴∠AEB=∠DEC，EB=EC
∴∠BEC=∠AED=90°
∴BE=EC，BE⊥EC
11.（2011广东省，13，6分）已知：
12.（2011湖北武汉市，19，6分）（本题满分6分）如图，D，E，分
别
是
AB，AC
上
的
点
，且AB=AC，AD=AE．求证∠B=∠C．
在△ABE和△ACD中，
AB＝AC∠A＝∠AAE＝AD
∴△ABE≌△ACD
∴∠B=∠C
13.（2011湖南衡阳，21，6分）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：
BE=CF．
【证明】∵在△ABC中，AD是中线，
∴BD=CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD＝∠BED＝90°
，在△BED与△CFD中，∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD，∴BE=CF．
14.（20011江苏镇江,22,5分）已知:
如图,在△ABC中,D为BC上的一点,AD平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC.
求证:
AB=AC
【答案】证明∵AD平分∠EDC,∴∠ADE=∠ADC,又DE=DC,AD=AD,
∴△ADE≌△ADC,∴∠E=∠C,
又∠E=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.
15.（2011湖北宜昌，18，7分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F.
（1）证明：
∠DFA=∠FAB；
（2）证明:
△ABE≌△FCE.
（第18题图）
（1）∵AB与CD是平行四边形ABCD的对边，∴AB∥CD，（1分）∴∠F=∠FAB．（3分）
（2）在△ABE和△FCE中，∠FAB=∠F（4分）∵∠AEB=∠FEC（5分）BE=CE（6分）∴△ABE≌△FCE．（7分）
2011年中考真题
一、选择题
1.（2011深圳市全真中考模拟一）如图，将两根钢条、的中点O连在一起，使、可以绕着点0自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△AOB△的理由是
（A）边角边（B）角边角（C）边边边（D）角角边
答案;
第1题
1、（2011北京四中模拟8）如图，∠ACB=∠ADB，要使△ACB≌△BDA，请写出一个符合要求的条件
答案∠CAB=∠DBA或∠CBA=DAB
2、（2011年北京四中模拟28）
如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带编号为的碎片去．
答案：
③
（第2题）
①
②
（第3题）图）
3．（2011年海宁市盐官片一模）如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点．则四边形的面积是 ．
16
A组
1、（浙江省杭州市2011年中考数学模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．
【根据习题改编】
（1）你添加的条件是：
；
（2）证明：
（第1题）图）
解：
（1）（或点D是线段BC的中点），，中任选一个即可﹒
（2）以为例进行证明：
∵CF∥BE，
∴∠FCD﹦∠EBD．
又∵，∠FDC﹦∠EDB，
∴△BDE≌△CDF．
2、（2011年北京四中三模）
如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出和BE相等的线段，并证明你的结论。
和BE相等的线段是：
AF通过证明△ABF≌△BCE得证BE=AF
3、（2011年如皋市九年级期末考）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：
，并给予证明．
（第3题）
答案不惟一．添加条件为AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AFD．
以添加条件AE＝AF为例证明．
在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，
∴△AED≌△AFD（SAS）．
4、（北京四中模拟）
已知：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线
交DC于点E．
（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE．
略
2、（2011杭州模拟26）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10cm，OC=6cm。
P是线段OA上的动点，从点O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上。
已知A、Q两点间的距离是O、P两点间距离的a倍。
若用（a，t）表示经过时间t（s）时，△OCP、△PAQ、△CBQ中有两个三角形全等。
请写出（a，t）的所有可能情况.
（0，10），（1，4），（，5）
3、（北京四中模拟）如图，已知．求证：
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