海淀区高三理科数学二模试题及答案Word文档下载推荐.docx
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（8）已知集合，集合满足
①每个集合都恰有个元素
②．
集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则的值不可能为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）极坐标系中，点到直线的距离为________.
（10）在的二项展开式中，的系数为.
（11）已知平面向量，的夹角为，且满足，，则，.
（12）在中，，则.
（13）能够使得命题“曲线上存在四个点，，，满足四边形是正方形”为真命题的一个实数的值为.
（14）如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为_________.
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（15）（本小题13分）
如图，已知函数在一个周期内的图象经过，，三点．
（Ⅰ）写出，，的值；
（Ⅱ）若，且，求的值．
16.（本小题共13分）
某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如下：
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
第一轮测试成绩
96
89
88
92
90
87
第二轮测试成绩
（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率；
（Ⅱ）从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；
（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为，，考核成绩的平均数和方差分别为，，试比较与，与的大小.（只需写出结论）
17.（本小题共14分）
如图，在三棱柱中，，⊥平面，，，分别是，的中点．
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）证明：
平面；
（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.
18.（本小题共14分）
已知椭圆：
，为右焦点，圆：
，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在两侧.
（Ⅰ）求椭圆的焦距及离心率;
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.
19. （本小题共13分）
已知函数（）
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）当时，设.求证：
曲线存在两条斜率为且不重合的切线.
20. （本小题共13分）
如果数列满足“对任意正整数，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为.
（Ⅰ）若，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；
（Ⅱ）若数列具有“性质P”，求证：
且；
（Ⅲ）若数列具有“性质P”，且存在正整数，使得，这样的数列共有多少个？
并说明理由
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
D
A
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）1 （10）10
（11）1；
（12）
（13）答案不唯一，或的任意实数 （14）
解：
（Ⅰ），，． 7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
因为，所以． 8分
因为，所以． 9分
所以， 11分
所以， 12分
所以． 13分
（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：
分）分别为：
93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．
其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人. 1分
所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：
， 3分
从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6. 4分
（Ⅱ）设事件：
从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分. 5分
由（Ⅰ）知，上述考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. 6分
所以，. 9分
（Ⅲ），. 13分
（Ⅰ）因为⊥平面，平面，
所以． 1分
因为，，，平面，
所以平面． 3分
因为平面，
所以． 4分
（Ⅱ）法一：
取的中点，连接、．
因为、分别是、的中点，
E
M
所以ME∥，且ME． 5分
在三棱柱中，，且，
所以ME∥AD，且ME=AD，
所以四边形ADEM是平行四边形， 6分
所以DE∥AM． 7分
又平面，平面，
所以平面． 9分
注：
与此法类似，还可取AB的中点M，连接MD、MB1．
法二：
取AB的中点，连接、．
因为D、分别是AC、AB的中点，
所以MD∥BC，且MDBC． 5分
所以MD∥B1E，且MD=B1E，
所以四边形B1EDM是平行四边形， 6分
所以DE∥MB1． 7分
法三：
因为、分别是、的中点，
所以，． 5分
在三棱柱中，，，
因为、分别是和的中点，
所以，，，
所以，四边形是平行四边形， 6分
所以，． 7分
又因为，，
平面MDE，BB1,平面，
所以，平面平面． 8分
因为，平面，
所以，平面． 9分
（Ⅲ）在三棱柱中，，
因为，所以．
在平面内，过点作，
所以，平面． 10分
建立空间直角坐标系C-xyz，如图．则
,,,,.
，，． 11分
设平面的法向量为，则
，即，
得，令，得，故． 12分
设直线DE与平面所成的角为θ，
则sinθ＝，
所以直线与平面所成角的正弦值为. 14分
（Ⅰ）在椭圆：
中，，，
所以， 2分
故椭圆的焦距为， 3分
离心率． 5分
设（，），
则，故． 6分
所以，
所以， 8分
． 9分
又，，故． 10分
因此 11分
．
由，得，即，
所以， 13分
当且仅当，即，时等号成立. 14分
（Ⅱ）法二：
设（）， 6分
则，
， 13分
当且仅当时，即，时等号成立． 14分
（Ⅰ）法一：
， 1分
令，得． 2分
①当时，与符号相同，
当变化时，，的变化情况如下表：
↘
极小
↗
4分
②当时，与符号相反，
6分
综上，在处取得极小值. 7分
令，则， 3分
易知，故是上的增函数，
即是上的增函数． 4分
所以，当变化时，，的变化情况如下表：
因此，在处取得极小值. 7分
（Ⅱ）， 8分
故． 9分
注意到，，，
所以，，，使得．
因此，曲线在点，处的切线斜率均为.
11分
下面，只需证明曲线在点，处的切线不重合.
法一：
曲线在点（）处的切线方程为，即．假设曲线在点（）处的切线重合，则． 12分
假设曲线在点（，）处的切线重合，则，整理得：
． 12分
法一：
由，得，则
因为，故由可得．
而，，于是有，矛盾！
令，则，且.
由（Ⅰ）知，当时，，故．
所以，在区间上单调递减，于是有，矛盾！
因此，曲线在点（）处的切线不重合． 13分
20. （本小题13分）
（Ⅰ）若，公差，则数列不具有性质． 1分
理由如下：
由题知，对于和，假设存在正整数k，使得，则有，解得，矛盾！
所以对任意的，． 3分
（Ⅱ）若数列具有“性质P”，则
①假设，，则对任意的，.
设，则，矛盾！
4分
②假设，，则存在正整数，使得
设，，，…，，，，则，但数列中仅有项小于等于0，矛盾！
③假设，，则存在正整数，使得
设，，，…，，，，则，但数列中仅有项大于等于0，矛盾！
8分
综上，，．
（Ⅲ）设公差为的等差数列具有“性质P”，且存在正整数，使得．
若，则为常数数列，此时恒成立，故对任意的正整数，
，
这与数列具有“性质P”矛盾，故．
设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，设
，
因为，所以，即数列的每一项均是整数．
由（Ⅱ）知，，，故数列的每一项均是自然数，且是正整数．
由题意知，是数列中的项，故是数列中的项，设，则
即．
因为，，故是的约数．
所以，,．
当时，，得，故
，共2019种可能；
，共1010种可能；
，共3种可能；
，共2种可能；
当时，，得，故
当时，，得，故
，共1种可能；
，共1种可能；
，共1种可能．
综上，满足题意的数列共有（种）．
经检验，这些数列均符合题意． 13分
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