高一数学必修二《圆与方程》知识点整理Word下载.doc

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五、点与圆的位置关系

1.判断方法：

点到圆心的距离与半径的大小关系

点在圆内；

点在圆上；

点在圆外

2.涉及最值：

（1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值

（2）圆内一点，圆上一动点，讨论的最值

思考：

过此点作最短的弦？

（此弦垂直）

六、直线与圆的位置关系

1.判断方法（为圆心到直线的距离）

（1）相离没有公共点

（2）相切只有一个公共点

（3）相交有两个公共点

这一知识点可以出如此题型：

告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.

2.直线与圆相切

（1）知识要点

①基本图形

②主要元素：

切点坐标、切线方程、切线长等

问题：

直线与圆相切意味着什么？

圆心到直线的距离恰好等于半径

（2）常见题型——求过定点的切线方程

①切线条数

点在圆外——两条；

点在圆上——一条；

点在圆内——无

②求切线方程的方法及注意点

i）点在圆外

如定点，圆：

，[]

第一步：

设切线方程

第二步：

通过，从而得到切线方程

特别注意：

以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上——千万不要漏了！

如：

过点作圆的切线，求切线方程.

答案：

和

ii）点在圆上

1）若点在圆上，则切线方程为

会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.

2）若点在圆上，则切线方程为

碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.

由上述分析，我们知道：

过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.

③求切线长：

利用基本图形，

3.直线与圆相交

（1）求弦长及弦长的应用问题

垂径定理及勾股定理——常用

弦长公式：

（暂作了解，无需掌握）

（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：

直线过定点，而定点恰好在圆内.

（3）关于点的个数问题

例：

若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是_________________.答案：

4.直线与圆相离

会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）

七、对称问题

1.若圆，关于直线，则实数的值为____.

3（注意：

时，，故舍去）

变式：

已知点是圆:

上任意一点，点关于直线的对称点在圆上，则实数_________.

2.圆关于直线对称的曲线方程是________________.

已知圆：

与圆：

关于直线对称，则直线的方程为_______________.

3.圆关于点对称的曲线方程是__________________.

八、最值问题

方法主要有三种：

（1）数形结合；

（2）代换；

（3）参数方程

1.已知实数，满足方程，求：

（1）的最大值和最小值；

——看作斜率

（2）的最小值；

——参数法；

截距（线性规划）

（3）的最大值和最小值.——两点间的距离的平方

2.已知中，，，，点是内切圆上一点，求以，，为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.

数形结合和参数方程两种方法均可！

3.设为圆上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是____________.答案：

（数形结合和参数方程两种方法均可！

）

七、圆的参数方程

，为参数

八、相关应用

1.若直线（，），始终平分圆的周长，则的取值范围是______________.

2.已知圆：

，问：

是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为，以为直径的圆经过原点，若存在，写出直线的方程，若不存在，说明理由.

提示：

或弦长公式.答案：

或

3.已知圆：

，点，，设点是圆上的动点，，求的最值及对应的点坐标.

4.已知圆：

，直线：

（）

（1）证明：

不论取什么值，直线与圆均有两个交点；

（2）求其中弦长最短的直线方程.

5.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围.

6.已知圆与直线交于，两点，为坐标原点，问：

是否存在实数，使，若存在，求出的值；

若不存在，说明理由.

九、圆与圆的位置关系

几何法（为圆心距）

（1）外离

（2）外切

（3）相交（4）内切

（5）内含

2.两圆公共弦所在直线方程

圆：

，圆：

，

则为两相交圆公共弦方程.

补充说明：

若与相切，则表示其中一条公切线方程；

若与相离，则表示连心线的中垂线方程.

3圆系问题

（1）过两圆：

和：

交点的圆系方程为（）

说明：

1）上述圆系不包括；

2）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

（2）过直线与圆交点的圆系方程为

（3）有关圆系的简单应用

（4）两圆公切线的条数问题

①相内切时，有一条公切线；

②相外切时，有三条公切线；

③相交时，有两条公切线；

④相离时，有四条公切线

十、轨迹方程

（1）定义法（圆的定义）：

略

（2）直接法：

通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.

过圆外一点作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.

分析：

（3）相关点法（平移转换法）：

一点随另一点的变动而变动

动点主动点

特点为：

主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.

法2：

（参数法）

设，由，则

设，则

，由得：

参数法的本质是将动点坐标中的和都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出，的范围.

（4）求轨迹方程常用到得知识

①重心，②中点，

③内角平分线定理：

④定比分点公式：

，则，

⑤韦达定理.

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