巧解排列组合的21种模型Word格式.doc

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在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

例3.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是

A、24种B、60种C、90种D、120种

在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.

4.标号排位问题分步法:

把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有

A、6种B、9种C、11种D、23种

先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；

第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×

3×

1=9种填法，选.

5.有序分配问题逐分法:

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例5.

（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是

A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种

先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有

A、种B、种C、种D、种

答案：

6.全员分配问题分组法:

例6.

（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有种方法.

说明：

分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为

A、480种B、240种C、120种D、96种

7.名额分配问题隔板法:

例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.

8.限制条件的分配问题分类法:

例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案种；

②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；

③若乙参加而甲不参加同理也有种；

④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种.

9.多元问题分类法：

元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.

例9.

（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有

A、210种B、300种C、464种D、600种

按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有、、、

和个，合并总计300个,选.

（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素；

由此可知，从中任取2个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种.

（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；

能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；

从中任取两个数符合要；

从中各取一个数也符合要求；

从中任取两个数也符合要求；

此外其它取法都不符合要求；

所以符合要求的取法共有种.

10.交叉问题集合法：

某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.

例10.从6名运动员中选出4人参加4×

100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

种.

11.定位问题优先法：

某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；

再排其它的元素。

例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；

所以共有种.

12.多排问题单排法:

把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.

例12.

（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是

A、36种B、120种C、720种D、1440种

前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共

种，选.

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

抽取两类混合元素不能分步抽.

例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有

A、140种B、80种C、70种D、35种

解析1：

逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.

解析2：

至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：

甲型1台乙型2台；

甲型2台乙型1台；

故不同的取法有台,选.

14.选排问题先取后排:

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.

例14.

（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，“再排”在四个盒中每次排3个有种，故共有种.

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种.

15.部分合条件问题排除法:

在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.

例15.

（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有

A、70种B、64种C、58种D、52种

正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有

A、150种B、147种C、144种D、141种

10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种情况：

①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有个；

②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；

③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是种.

16.圆排问题线排法:

把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：

在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成线排，其它的元素全排列.

例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式种不同站法.

从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法.

17.可重复的排列求幂法:

允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.

例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

完成此事共分6步，第一步；

将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：

将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.

18.复杂排列组合问题构造模型法:

例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.

一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.

19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

从5个球中取出2个与盒子对号有种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为种.

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:

例20.

（1）30030能被多少个不同偶数整除？

先把30030分解成质因数的形式：

30030=2×

5×

7×

11×

13；

依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为

个.

（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×

58=174对.

21.利用对应思想转化法:

对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.

例21.

（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？

因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个.

（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从到的最短路径有多少种？

A

B

可将图中矩形的一边叫一小段，从到最短路线必须走7小段，其中：

向东4段，向北3段；

而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有种.我们对服务人员的配备以有经验、有知识、有技术、懂管理和具有高度的服务意识为准绳，在此基础上建立一支高素质的物业管理队伍，为销售中心的物业管理创出优质品牌。

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