高考数学21种排列组合模型完整版文档格式.docx
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任排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
例3.A,B,C,D,E五人并排站成•排，如果〃必须站在/的右边
（4〃可以不相邻）那么不同的排法种数是
A、24种B、60种C、90种D、120种
B^A的右边与/T在M的左边排法数相同，所以题设的
排法只是5个元素全排列数的•半，即60种，选乩
4.标号排位问题分步法
把兀索排到指定位置上，可先把某个兀索按规定排入，笫二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
例4・将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格电,毎格填•个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
A.6种B、9种C、11种［）、23种
先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法「第二步填余下的两个数字，只有•种填法，共有3X3X1二9种填法，选〃・
5.有序分配问题逐分法
有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.
例
（1）有甲乙丙三项任务，rp需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人屮选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是
A、126（）种B、2025种
C、2320种［）、3040种
先从10人中选出2人承担叩项任务，再从剩下的8人屮选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有GX=2520种，选（;
.
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有
AWe种B、3G：
W种C、G：
U念种D、
一种
答案：
月・
6.全员分配问题分组法
例6.
（1）4名优秀学牛全部保送到3所学校去，毎所学校至少去一名，则不同的保送方案右多少种？
把四名学生分成3组令U种方法，再把三组学生分配到三所学校有念种，故共有U念=36种方法.
说明：
分配的兀素名亍对彖毎•对象都有兀素分配时常用先分纽再分配.
（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本,不同的分法种数为
A.48（）种1人240种C、12（）种【）、96种
B.
7・名额分配问题隔板法
例7.1（）个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名
额，有多少种不同分配方案？
解析:
10个名额分到7个班级，就足把10个名额苕成10个相同的小球分成7堆，毎堆至少一个，可以在IO个小球的9个空位屮插入6块木板，每•种插法对应着•种分配方案,故共有不同的分配方案为=84种.
•限制条件的分配问题分类法
例&
某高校从某系的10名优秀毕业牛•屮选4人分别到西部四城市参加中国四部经济丿F发建设，其中卬同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
因为叩乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙來分类，有以下四种情况：
①若叩乙都不参加，则冇派遣方案禹种；
②若甲参加而乙不参加，先安排叩有3种方法，然后安排其余学生有念方法，所以共右3心③若乙参加血叩不参加同理也有3心种；
④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余H人到另外两个城市右《种，共有方法•所以共右不同的派遣方法总数为£
+3&
+3念+7心4088种.
9•多元问题分类法
元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.
例9.
（1）由数字0,1,2,3,4,5组成没有莹复数字的六位数，Jt•中个位数字小于十位数字的共仃
A、210种B、300种C、464种D、600种解析：
按题意，个位数字只可能是（）、1、2、3和4共5种情况，分别有〈、444.堆堆鳶、和W个，合并总计300个,选〃・
（2）从1,2,3∙∙∙,100这100个数屮，任取两个数，使它们的乘积能被7幣除，这两个数的取法（不计顺序）共河多少种？
解析：
被取的两个数中至少右一个能被7榕除时，他们的乘积就能被7榕除，将这100个数组成的集合视为全集1,能被7整除的数的集合记做4{7,14,21,…98}共有,4个元素,不能被7整除的数组成的集合记做輕={1,2,3,4,…,100}共有86个元素；
由此可知，从月中任取2个元素的取法旳从/!
中任取-个，又从輕中任取一个共有两种情形共符合耍求
的取法有C1>
ClX,=1295种.
（3）从1,2,3,∙∙∙,10（）这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
将/={123…,100}分成四个不相交的子集，能被4整除的数集宀{4,&
12,…100}；
能被4除余1的数集
—{1,5,9,…97},能被4除余2的数集C={2,6,…,98},能被4除余3的数集"
{3,7,II,…99},易见这四个集合中每•个有23个元素：
从＞1屮任取两个数符合要；
从乩D中各取•个数也符合耍求；
从C中任取两个数也符合耍求；
此外其它取法都不符合耍求；
所以符合要求的取法共有c；
+c；
W种.
10•交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分Z间右交集，可川集合中求元素个数公式n（∕U"
）=H（A）+一n{A∩・
例10・从6名运动员中选出4人参加4X100米接力赛，如果卬不跑第一棒，乙不跑笫四棒，共有多少种不同的参赛方案？
设全集={6人中任取4人参赛的扌」!
•列},A={甲跑笫•棒的排列},1匸{乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共右：
H（I）-H（A）一λ（B）÷
n（AMB）=4-4-4÷
^=252种.
11.定位问题优先法
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；
再排其它的元素。
例11.1名老师和4名获奖同学徘成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
解析^老师在中间三个位置上选•个有农种，4名同学在英余
4个位置上右划种方法；
所以共44；
=72种.
12.多排问题单排法
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.
例12・
（1）6个不同的元素扌作成前后两排，m3个元素，那么不同的排法种数是
A、36种BX12（）种C、720种D、1440种
前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共4=720
种，选
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,右•多少种不同排法？
看成一排，某2个元素在前半段四个位置屮选排2个，有垮种，某1个兀素排在后半段的四个位置屮选…个有41种,其余5个元素任排5个位置匕有&
种，故共有^44=5760种HF法.
13."
至少"
"
至多"
问题用间接排除法或分类法
抽取两类混合兀素不能分步抽.
例13•从4台屮型和3台乙型电视机中任取3台，其屮至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共右
A、140种B、80种C、70种D、35种
解析1：
逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另•种型号的电视机，故不同的取法共有H=70种,选.C
解析厶至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：
甲型1台乙型2台；
甲型2台乙型1台：
故不同的取法有
CC+W=70台，选C.
14•选排问题先取后排
从儿类兀素中取出符合题意的几个兀素，再安排到•定的位置上,可用先取后排法.
例14.
（1）四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,
则恰有•个空盒的放法有多少种?
“先取”四个球中二个为•组,另二组各•个球的方法有U种，“再排”在四个盒屮每次排3个有禹种，故共有
W=I44种.
（2）9名乒乓球运动员，其屮男3名，女4名，现在要进行混
合双打训练，有多少种不同的分组方法?
先取男女运动员各2名，种，这四名运动员混和双打练习有&
中排法，故共有CU念=120种.
15.部分合条件问题排除法
在选取的总数屮，只有部分合条件，可以从总数屮减去不符合条件数，即为所求.
例15・
（1）以止方体的顶点为顶点的四面体共有
A、70种B、64种C.58种D.32种
解析」匸方体8个顶点从中毎次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有Gl-12=58个.
（2）四面体的顶点和各棱中点共1（）点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共仃
AS150种B、147种C、144种D、141种解析：
1（）个点中任取4个点共有G；
J种，英中四点共面的有三种睛况:
①在四面体的四个面上,每面内四点共面的悄况为V,四个面共有4（：
个；
②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个;
③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个•所以四点不共血的情况的种数是G；
厂4^-3-6=141种.
16•圆排问题线排法
把刀个不同元素放在圆周力个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列,而顺序相同（即旋转一下就可以亘合）的排法认为足相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列介个普通排列：
a∖,5g∙∙,55S■…，5∙∙∙g,Q∖,在圆排列中只算
种，因为旋转后可以重合，故认为相同，力个元素的圆排列数n∖
有万种•因此可将某个元素固定展成线排，其它的〃-1元素全排列.
例16・5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法？
首先可让5位姐姐站成•圈，屈圆排列有禹种，然后在让插入英间，每位均可插入其姐姐的圧边和右边，有2种方式,故不同的安排方式24X768种不同站法.
从个不同元素中取出加个元素作恻形排列共河万&
种不同排法.
17.可重复的排列求卑法
允许克复排列问题的特点足以元素为研究对彖，兀素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地〃个不同元素排在刃个不同位置的排列数有加"
种方法.
例17•把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
完成此事共分6步，第-•步：
将笫-•名实习生分配到车间有7种不同方案，第一步：
将第一名实习牛分配到乍间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有才种不同方案.
复杂排列组合问题构造模型法
例18•马路上有编号为1,2,：
”・・，9九只路灯，现耍关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯（；
种方法,所以满足条件的关灯方案令1（）种.
一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.
19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法
例19•设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒了要求每个盒了放•个球,
并Il恰好有两个球的号码与盒了号码相同，问有名少种不同的方法？
从5个球屮取出2个与盒了对号有C；
种，还剩卜3个球与3个盒了序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3,4,3号球与3,4,5号盒了时，3号球不能装入3号盒了，当3号球装入4号盒子时，4,3号球只有1种装法，3号球装入5号盒了时，4,5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为2（；
=20种.
20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法
例20.
（1）3（）（）3（）能被多少个不同偶数整除？
先把30030分解成质因数的形式:
30030=2X3×
5×
7X11X13；
依题意偶因数2必取，3,5,7,11,13这5个因数屮任取若干个组成成积，所有的偶因数为
—U+（；
Y:
+C；
=32个.
（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？
因为四面体屮仅有3对异面直线，可将问题分解成止方体的H个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体«
个顶点
屮任取四个顶点构成的四面体有V-12=58个，所以8个顶点可连成的异面直线右3X58-174对.
21.利用对应思想转化法
对应思想是教材屮渗透的•种匝耍的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.
例21.
（1）恻周上有10点,以这些点为端点的弦相交于恻内的交点最多有多少个？
因为圆的•个内接四边形的两条对角线相交丁•圆内•点，一个恻的内接四边形就对应着两条弦相交于恻内的一个交点，F是问题就转化为岡周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有C寿个，所以］员I周匕有1（）点，以这些点为端点的弦相交丁•圆内的交点有］m个.
（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其屮实线农示马路，从/到〃的最短路径有多少种？
可将图中矩形的一边叫一小段，从S到〃最短路线必须走7小段，苴中：
向东4段，向北3段:
rf∏⅛前一段的尾接后
•段的首，所以只耍确定向东走过4段的走法，便能确定路径,因此不同走法右V种.
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