嘉定区2015年高三数学文科二模试卷文档格式.doc
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俯视图
8.设变量满足约束条件则的最大值为_____________．
9.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为__________．
10．已知定义在上的单调函数的图像经过点、，若函数的
反函数为，则不等式的解集为．
11.现有张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张.从中任取张,要求这
张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为____________．
12．已知函数，若，关于的方程有三个不相等的实
数解，则的取值范围是__________．
13．在平面直角坐标系中，点列，，…，，…，满
足若，则_______．
14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，
得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列
，若，则____________．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．在△中，“”是“”的……………………………………（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．已知平面直角坐标系内的两个向量，，且平面内的任一向
量都可以唯一的表示成为实数），则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
17．设双曲线（，）的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐
近线方程为……………………………………………………………………………（）
A．B．C．D．
18．在四棱锥中，，分别为侧棱，的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为……………………………………………（）
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
在△中，已知，外接圆半径．
（1）求角的大小；
（2）若角，求△面积的大小.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，，、分别为、的中点．
E
P
A
C
D
B
F
（1）求证：
平面；
（2）求三棱锥的体积．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且．若用每天的最大值为当天的综合污染指数，并记作．
（1）令，，求的取值范围；
（2）求的表达式，并规定当时为综合污染指数不超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知椭圆（）的焦距为，且椭圆的短轴的一个端点与左、右焦点、构成等边三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆上上任意一点，求的最大值与最小值；
（3）试问在轴上是否存在一点，使得对于椭圆上任意一点，到的距离与到直线的距离之比为定值．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数，其中．定义数列如下：
，,．
（1）当时，求，，的值；
（2）是否存在实数，使，，构成公差不为的等差数列？
若存在，请求出实数的值；
若不存在，请说明理由；
（3）求证：
当时，总能找到，使得．
2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研
数学试卷（文）参考答案与评分标准
一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）
1．或2．3．4．
5．6．7．8．
9．10．11．
12．13．14．
二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）
15．B16．D17．C18．C
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）
（1）由题意，，
因为，所以，故，……（2分）
解得（舍），或．………………（5分）
所以，．………………（6分）
（2）由正弦定理，，得，所以．………（2分）
因为，由，得，…………（4分）
又，所以△的面积．…………（6分）
（1）连结，由已知得△与△都是正三角形，
所以，，，………………（1分）
因为∥，所以，……………（2分）
又平面，所以，……（4分）
因为，所以平面．…（6分）
（2）因为，……（2分）
且，…………………………（4分）
所以，．………………（8分）
（1）当时，；
………………（2分）
当时，因为，所以，……………………（4分）
即的取值范围是．……………………………………（5分）
（2）当时，由
（1），令，则，…………（1分）
所以………………（3分）
于是，在时是关于的减函数，在时是增函数，
因为，，由，
所以，当时，；
当时，，
即………………………………（6分）
由，解得．………………………………（8分）
所以，当时，综合污染指数不超标．…………………………（9分）
（1）已知，，，……………………（2分）
所以，……………………………………（3分）
所以椭圆的标准方程为．……………………（4分）
（2），，设，则，，（），……………………（2分）
因为，所以，，…（4分）
由，得的最大值为，最小值为．…………………………（6分）
（3）假设存在点，设，到的距离与到直线的距离之比为定值，则有，………………………………………………（1分）
整理得，……………………………………（2分）
由，得对任意的都成立．………………………………………………………………（3分）
令，
则由得①
由得②
由，得③
由①②③解得得，．…………………………（5分）
所以，存在满足条件的点，的坐标为．………………………（6分）
（1）因为，故，………………………………（1分）
因为，所以，…………（2分）
，…………（3分）
．…………（4分）
（2）解法一：
假设存在实数，使得，，构成公差不为的等差数列．
则得到，，．…（2分）
因为，，成等差数列，所以，…………3分
所以，，化简得，
解得（舍）,．…………………………………（5分）
经检验，此时的公差不为0，
所以存在，使得，，构成公差不为的等差数列．…………（6分）
方法二：
因为，，成等差数列，所以，
即，…………………………………………（2分）
所以，即．
因为公差，故，所以解得．………（5分）
经检验，此时，，的公差不为0．
（3）因为,…………（2分）
又,所以令…………………………（3分）
由，，……，，
将上述不等式全部相加得，即，…………………（5分）
因此要使成立，只需，
所以，只要取正整数，就有．
综上，当时，总能找到，使得．
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