椭圆与双曲线的对偶性质100条文档格式.doc

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,则（i）对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M（.

（ii）对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点.

18．设为椭圆（或圆）C:

（a＞0,.b＞0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1,P0P2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点的充要条件是.

19．过椭圆（a＞0,b＞0）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

20．椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为

，.

21．若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,,，则.

22．椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：

（,）.

23．若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当

0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

24．P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.

25．椭圆（a＞b＞0）上存在两点关于直线：

对称的充要条件是.

26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

28．P是椭圆（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是.

29．设A,B为椭圆上两点，其直线AB与椭圆相交于,则.

30．在椭圆中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为,其中,当时,.

31．设S为椭圆（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,）;

当时，有,.

32．椭圆与直线有公共点的充要条件是.

33．椭圆与直线有公共点的充要条件是.

34．设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.

35．经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2，则.

36．已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.

（1）;

（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;

（3）的最小值是.

37．MN是经过椭圆（a＞b＞0）过焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则.

38．MN是经过椭圆（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦，则.

39．设椭圆（a＞b＞0）,M（m,o）或（o,m）为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q（A1,A2为对称轴上的两顶点）的交点N在直线：

（或）上.

40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

42．设椭圆方程,则斜率为k（k≠0）的平行弦的中点必在直线：

的共轭直线上,而且.

43．设A、B、C、D为椭圆上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则.

44．已知椭圆（a＞b＞0）,点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，的外（内）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是（）.

45．设△ABC内接于椭圆，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.

46．过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

47．设A（x1,y1）是椭圆（a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线L的距离,分别是A到椭圆两焦点的距离，则.

48．已知椭圆（a＞b＞0）和（），一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.

49．已知椭圆（a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.

50．设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则

（1）.

（2）.

51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：

于M，N两点,则.

52．L是经过椭圆（a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.

53．L是椭圆（a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点，e是离心率，，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.

54．L是椭圆（a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.

55．已知椭圆（a＞b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则（当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号）.

56．设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，,,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有

（1）.

（2）.（3）.

57．设A、B是椭圆（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且、的横坐标，

（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则；

（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则.

58．设A、B是椭圆（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，

（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；

（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足.

59．设是椭圆的长轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线.

60．过椭圆（a＞b＞0）的左焦点作互相垂直的两条弦AB、CD则.

61．到椭圆（a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.

62．到椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.

63．到椭圆（a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.

64．已知P是椭圆（a＞b＞0）上一个动点，是它长轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是.

65．椭圆的一条直径（过中心的弦）的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.

66．设椭圆（a＞b＞0）长轴的端点为,是椭圆上的点过P作斜率为的直线，过分别作垂直于长轴的直线交于,则

（1）.

（2）四边形面积的最小值是.

67．已知椭圆（a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.

68．OA、OB是椭圆（a＞0,b＞0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则

（1）直线AB必经过一个定点.

（2）以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是.

69．是椭圆（a＞b＞0）上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，则

（1）直线AB必经过一个定点.

（2）以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是

（且）.

70．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，那么

（1），且F1、F2在 

同侧直线L和椭圆相切.

（2），且F1、F2在L同侧直线 

和椭圆相离，（3），或F1、F2在L异侧直线L和椭圆相交.

71．AB是椭圆（a＞b＞0）的长轴，是椭圆上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是.

72．设点为椭圆（a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆过定点的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时.当弦AB垂直于长轴所在直线时,.

73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.

74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.

75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.

76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.

77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.注:

在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.

78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.

81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.

82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.

83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.

84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.

85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.

86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.

87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.

88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.

89.已知椭圆（包括圆在内）上有一点,过点分别作直线及的平行线，与直线分别交于,为原点，则：

.

（1）；

（2）.

90.过平面上的点作直线及的平行线，分别交轴于，交轴于.

（1）若，则的轨迹方程是.

（2）若，则的轨迹方程是.

91.点为椭圆（包括圆在内）在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记与的面积为，则：

92.点为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记与的面积为，已知，则的轨迹方程是.

双曲线

4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

5．PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.

8．设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.

9．双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.

10．若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.

11．若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.

12．AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则.

13．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.

14．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.

15．若PQ是双曲线（b＞a＞0）上对中心张直角的弦，则.

16．若双曲线（b＞a＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则

（1）;

17．给定双曲线：

18．设为双曲线（a＞0,b＞0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1,P0P2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点的充要条件是.

19．过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

20．双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为，.

21．若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,,，则（或）.

22．双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：

（,

当在右支上时，,.

当在左支上时，,.

23．若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当

1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

24．P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.

25．双曲线（a＞0,b＞0）上存在两点关于直线：

26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

28．P是双曲线（a＞0，b＞0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是.

29．设A,B为双曲线（a＞0,b＞0，）上两点，其直线AB与双曲线相交于,则.

30．在双曲线中，定长为2m（m）0）的弦中点轨迹方程为,其中,当时,.

31．设S为双曲线（a＞0,b＞o）的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,）;

当时，有.

32．双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.

33．双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.

34．设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.

35．经过双曲线（a＞0,b＞0）的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则.

36．已知双曲线（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.

（1）;

（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;

37．MN是经过双曲线（a＞0,b＞0）过焦点的任一弦（交于两支），若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则.

38．MN是经过双曲线（a＞b＞0）焦点的任一弦（交于同支），若过双曲线中心O的半弦，则.

39．设双曲线（a＞0,b＞0）,M（m,o）为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q（A1,A2为两顶点）的交点N在直线：

上.

40．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

41．过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

42．设双曲线方程,则斜率为k（k≠0）的平行弦的中点必在直线：

43．设A、B、C、D为双曲线（a＞0,b＞o）上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则.

44．已知双曲线（a＞0,b＞0）,点P为其上一点F1,F2为双曲线的焦点，的外（内）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是

（）.

45．设△ABC三顶点分别在双曲线上，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与双曲线相切的充要条件是D为EF的中点.

46．过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

47．设A（x1,y1）是双曲线（a＞0,b＞0）上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线L的距离,分别是A到双曲线两焦点的距离，则.

48．已知双曲线（a＞0,b＞0）和（），一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.

49．已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则或.

50．设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则

（1）.

（2）.

51．设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：

52．L是经过双曲线（a＞0,b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线实轴的两个焦点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.

53．L是经过双曲线（a＞0,b＞0）的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线的准线与x轴交点,点，e是离心率，，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.

54．L是双曲线（a＞0,b＞0）焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.

55．已知双曲线（a＞0,b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则（当且仅当AB⊥x轴时取等号）.

56．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，,,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有

（1）.

（2）.（3）.

57．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且、的横坐标，

（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则；

（2）若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则.

58．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，

（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若BP交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；

（2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足.

59．设是双曲线的实轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线.

60．过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点作互相垂直的两条弦AB、CD,则.

61．到双曲线（a＞0,b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.

62．到双曲线（a＞0,b＞0）的实轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.

63．到双曲线（a＞0,b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.

64．已知P是双曲线（a＞0,b＞0）上一个动点，是它实轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是.

65．双曲线的一条直径（过中心的弦）的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.

66．设双曲线（a＞0,b＞0）实轴的端点为,是双曲线上的点过P作斜率为的直线，过分别作垂直于实轴的直线交于,则

67．已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.

68．OA、OB是双曲线（a＞0,b＞0,且）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则

（1）直线AB必经过一个定点.

（2）以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是.

69．是双曲线（a＞0,b＞0）上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，则

（1）直线AB必经过一个定点.

（2）以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是

70．如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，那么

（1），且F1、F2在 

同侧直线L和双曲线相切,或是双曲线的渐近线.

（2），且F1、F2在L同侧直线 

和双曲线相离，（3），或F1、F2在L异侧直线L和双曲线相交.

71．AB是双曲线（a＞0,b＞0）的实轴，是双曲线上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是.

72．设点为双曲线（a＞0,b＞0）的内部（（含焦点的区域））一定点，AB是双曲线过定点的任一弦.

（1）如,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时.

（2）如,则当弦AB平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时,.

73．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切.

74．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点.

75．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与a-c.

76．双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.

77．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.

注:

在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.

78．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

79．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

80．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.

81．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.

82．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,