应用导数研究曲线的切线Word格式文档下载.doc

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方法规律：

求函数的导数的方法

（1）求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；

（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．

变式练习：

1.若f（x）＝2xf′

（1）＋x2，则f′（0）＝__________.

解析：

f′（x）＝2f′

（1）＋2x.令x＝1，得f′

（1）＝2f′

（1）＋2，即f′

（1）＝－2.令x＝0，

得f′（0）＝2f′

（1）＝－4.答案：

－4

题型二：

导数的几何意义

[例2]

（1）（2012·

辽宁高考）已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．

（2）若曲线y＝x3＋.①求曲线在点P（2,4）处的切线方程；

②求斜率为4的曲线的切线方程．

（1）y＝，y′＝x，∴y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2.

点P的坐标为（4,8），点Q的坐标为（－2,2），∴在点P处的切线方程为y－8＝4（x－4），

即y＝4x－8.在点Q处的切线方程为y－2＝－2（x＋2），即y＝－2x－2.

解得A（1，－4），则A点的纵坐标为－4.

（2）①∵P（2,4）在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，

∴在点P（2,4）处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.

∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y－4＝4（x－2），即4x－y－4＝0.

②设切点为（x0，y0），则切线的斜率k＝x＝4，x0＝±

2.切点为（2,4）或，

∴切线方程为y－4＝4（x－2）或y＋＝4（x＋2），即4x－y－4＝0或12x－3y＋20＝0.

互动探究：

若将本例

（2）①中“在点P（2,4）”改为“过点P（2,4）”如何求解？

设曲线y＝x3＋与过点P（2,4）的切线相切于点A，

则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x.∴切线方程为y－＝x（x－x0），

即y＝x·

x－x＋.∵点P（2，4在切线上，∴4＝2x－x＋\f（4,3），即x－3x＋4＝0.

∴x＋x－4x＋4＝0.∴x（x0＋1）－4（x0＋1）（x0－1）＝0.

∴（x0＋1）（x0－2）2＝0.解得x0＝－1或x0＝2.

故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.

1．求曲线切线方程的步骤：

（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；

（2）由点斜式方程求得切线方程为y－y0＝f′（x0）·

（x－x0）．

2．求曲线的切线方程需注意两点

（1）当曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，切线方程为x＝x0；

（2）当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．

训练：

1.已知点P在曲线f（x）＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．

解析　由题意知，函数f（x）＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′（x0）＝4x－1＝3，∴x0＝1，将其代入f（x）中可得P（1,0）．答案　（1,0）

题后反思：

本题主要考查导数的几何意义及简单的逻辑推理能力．

2.2.若函数f（x）＝－x3＋f′

（1）x2－f′

（2）x＋5，则曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线l的方程为___．

f′（x）＝－x2＋f′

（1）·

x－f′

（2），∴

∴f′

（2）＝－1，f′

（1）＝1.∴f（x）＝－x3＋x2＋x＋5，f′（x）＝－x2＋x＋1.

∴f′（0）＝1，f（0）＝5.∴曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x＋5.答案：

x－y＋5＝0

1．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为（　　）

A．－　　　B.　　　C．－　　　D.

y′＝＝，所以y′|x＝＝＝.答案B

2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

y′＝＝≥－1（当且仅当ex＝1，即x＝0时取等号），即－1≤tanα＜0，所以≤α＜π.答案：

D

3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程是x－y＋1＝0，则（　　）

A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1

∵y′＝2x＋a，∴k＝y′|x＝0＝a＝1，将（0，b）代入切线：

0－b＋1＝0.

∴b＝1，故a＝1，b＝1.答案：

A

4.设x∈R，函数f（x）＝ex＋ae－x的导函数y＝f′（x）是奇函数，若曲线y＝f（x）的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）A.B．－C．ln2D．－ln2

y＝f′（x）＝ex－ae－x，∵y＝f′（x）为奇函数，∴f′（0）＝1－a＝0，∴a＝1，

∴f′（x）＝ex－e－x，由ex－e－x＝，得ex＝2，∴x＝ln2.答案：

C

5.若以曲线y＝x3＋bx2＋4x＋c（c为常数）上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围为__________．

y′＝x2＋2bx＋4，∵y′≥0恒成立，∴Δ＝4b2－16≤0，∴－2≤b≤2.答案：

[－2,2]

6．已知函数f（x），g（x）满足f（5）＝5，f′（5）＝3，g（5）＝4，g′（x）＝1，则函数y＝的图像在x＝5处的切线方程为__________．

由y＝＝h（x）知y′＝h′（x）＝，

得h′（5）＝＝＝.

又h（5）＝＝＝，所以切线方程为y－＝（x－5），即5x－16y＋3＝0.

7.已知′是函数的导函数,如果′是二次函数,′的图象开口向上,顶点坐标为,那么曲线上任一点处的切线的倾斜角的取值范围是

（A） （B） （C） （D）

由题意知,所以,即,所以,选B.

题型三：

导数几何意义的应用

[例3]已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x－lnx存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是（　　）A.B.C.D.

由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y′＝2ax＋3－＝1有正根，

即2ax2＋2x－1＝0有正根．当a≥0时，显然满足题意；

当a<

0时，需满足Δ≥0，解得－≤a<

0.综上，a≥－.[答案]　A

导数几何意义应用的三个方面

导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：

（1）已知切点A（x0，f（x0））求斜率k，即求该点处的导数值：

k＝f′（x0）；

（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k；

（3）已知过某点M（x1，f（x1））（不是切点）的切线斜率为k时，常需设出切点A（x0，f（x0）），利用k＝求解．

变式练习

1．[2013·

大纲全国]已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点（－1，a＋2）处切线的斜率为8，则a＝（　　）

A．9　　　　B．6　　　　C．－9　　　　D．－6

由题意知y′|x＝－1＝（4x3＋2ax）|x＝－1＝－4－2a＝8，则a＝－6.故选D项．

2．[2014·

新乡月考]设曲线y＝在点（3,2）处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝（　　）

A．2B.C．－D．－2

y′＝＝，点（3,2）处切线斜率k＝－，∵切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，∴a＝－2.答案：

3．[2014·

长春三校联考]若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为（　　）A．1B.C.D.

过点P作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－lnx相切，设P（x0，x－lnx0），

则k＝y′|x＝x0＝2x0－，∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－（舍去）．∴P（1,1），

∴d＝＝.答案：

B

4．[2013·

广东]若曲线y＝ax2－lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝__________.

由曲线在点（1，a）处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，解得a＝.答案：

5．[2013·

江西]若曲线y＝xα＋1（α∈R）在点（1,2）处的切线经过坐标原点，则α＝__________.

切线斜率k＝＝2，又y′＝αxα－1，y′|x＝1＝α，故α＝2.答案：

2

6.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为

A.B.C.D.

在点的切线斜率为.故切线方程为,即,与坐标轴的交点坐标为,故三角形的面积为,选B.

7.已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（　）

A．－1B．1－log20132012 C．-log20132012　　D．1

函数的导数为，所以在处的切线斜率为，

故切线斜率为，令得，故，所以，选A.

8.设函数f（x）＝ax－，曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为7x－4y－12＝0.

（1）求f（x）的解析式；

（2）证明：

曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

（1）方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.

又f′（x）＝a＋，于是解得故f（x）＝x－.

（2）设P（x0，y0）为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝（x－x0），即y－＝（x－x0）．

令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.

令y＝x得y＝x＝2x0.从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0,2x0）．

所以点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.

故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值6。

9.设Q是曲线T：

上任意一点，是曲线T在点Q处的切线，且交坐标轴于A,B两点，则OAB的面积（O为坐标原点）

A.为定值2B.最小值为3C.最大值为4D.与点Q的位置有关

【知识点】导数的几何意义；

三角形的面积.

设Q，，则，∴，

∴曲线C在点P处的切线方程为：

整理，得

∴△OAB的面积故选：

A.

【思路点拨】曲线C在点P处的切线方程为求出，由此得到△OAB的面积为定值.

6