浙江省温州市高考数学模拟试卷份解析版Word格式文档下载.doc

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，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°

的角，则线段PA长的取值范围是（　　）

A．（0，） B．[0，] C．（，） D．（，）

9．（4分）记max{a，b}=，已知向量，，满足||=1，||=2，•=0，=λ+μ（λ，μ≥0，且λ+μ=1，则当max{•，•}取最小值时，||=（　　）

A． B． C．1 D．

10．（4分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x+1）=+，则f（0）+f（2017）的最大值为（　　）

A．1﹣ B．1+ C． D．

二、填空题（本小题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分）

11．（6分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=2，C=60°

，则c=　　，△ABC的面积S=　　．

12．（6分）若实数x，y满足，则y的最大值为　　，的取值范围是　　．

13．（6分）如图，一个简单几何体三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，其俯视图的轮廓为正方形，则该几何体的体积是　　，表面积是　　．

14．（6分）在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门，若同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为　　，乙丙两名同学都选物理的概率是　　．

15．（6分）在等差数列{an}中，若a22+2a2a8+a6a10=16，则a4a6=　　．

16．（6分）过抛物线C：

y2=2px（p＞0）的焦点F直线交该抛物线与A，B两点，若|AF|=8|OF|（O为坐标原点），则　　．

17．已知a，b，c∈R，若|acos2x+bsinx+c|≤1对x∈R成立，则|asinx+b|的最大值为　　．

三、解答题（本大题5小题，共74分）

18．（14分）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x

（I）求函数f（x）的最小正周期；

（II）若﹣＜α＜0，f（α）=，求sin2α的值．

19．（15分）在四菱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．

（I）求证：

PA⊥AB；

（II）求直线AD与平面PCD所成角的大小．

20．（15分）设函数f（x）=，证明：

（I）当x＜0时，f（x）＜1；

（II）对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a．

21．（15分）已知直线l：

y=﹣x+3与椭圆C：

mx2+ny2=1（n＞m＞0）有且只有一个公共点P（2，1）．

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）若直线l′：

y=﹣x+b交C于A，B两点，且PA⊥PB，求b的值．

22．（15分）设数列{an}满足an+1=an2﹣an+1（n∈N*），Sn为{an}的前n项和．证明：

对任意n∈N*，

（I）当0≤a1≤1时，0≤an≤1；

（II）当a1＞1时，an＞（a1﹣1）a1n﹣1；

（III）当a1=时，n﹣＜Sn＜n．

参考答案与试题解析

1．（4分）（2017•温州模拟）设集合A={x||x﹣2|≤1}，B={x|0＜x≤1}，则A∪B=（　　）

【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．

【解答】解：

∵集合A={x||x﹣2|≤1}={x|1≤x≤3}，

B={x|0＜x≤1}，

∴A∪B={x|0＜x≤3}=（0，3]．

故选：

A．

【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．

2．（4分）（2017•温州模拟）设复数z1=﹣1+2i，z2=2+i，其中i为虚数单位，则z1•z2=（　　）

【分析】利用复数的运算法则即可得出．

z1•z2=（﹣1+2i）（2+i）=﹣4+3i．

D．

【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．（4分）（2017•温州模拟）已知空间两不同直线m、n，两不同平面α、β，下列命题正确的是（　　）

【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；

在B中，n∥β或n⊂β；

在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；

在D中，m可以垂直于n．

由空间两不同直线m、n，两不同平面α、β，知：

在A中，若m∥α且n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；

在B中，若m⊥β且m⊥n，则n∥β或n⊂β，故B错误；

在C中，若m⊥α且m∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；

在D中，若m不垂直于α，且n⊂α，则m可以垂直于n，故D错误．

C．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．

4．（4分）（2017•温州模拟）若直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点，则实数b的取值范围是（　　）

【分析】由题意利用点到直线的距离小于等于半径，求出b的范围即可．

由题意可知圆的圆心坐标为（0，0），半径为1，

因为直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点，所以≤1，

解得﹣≤b≤．

故选D．

【点评】本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，转化思想的应用．

5．（4分）（2017•温州模拟）设离散型随机变量X的分布列为

【分析】当EX=2时，由离散型随机变量X的分布列的性质列出方程组得P1=P3，当P1=P3时，P1+P2+P3=2P1+P2=1能求出EX=2．从而得到EX=2的充要条件是P1=P3．

由离散型随机变量X的分布列知：

当EX=2时，，解得P1=P3，

当P1=P3时，P1+P2+P3=2P1+P2=1．

EX=P1+2P2+3P3=4P1+2P2=2．

∴EX=2的充要条件是P1=P3．

【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望为2的充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的性质的合理运用．

6．（4分）（2017•温州模拟）若二项式（+）n的展开式中各项的系数和为32，则该展开式中含x的系数为（　　）

【分析】令x=1，则2n=32，解得n=5，再利用通项公式即可得出．

令x=1，则2n=32，解得n=5，

∴的通项公式：

Tr+1==，

令=1，解得r=1．

∴该展开式中含x的系数为=5．

B．

【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．（4分）（2017•温州模拟）要得到函数y=sin（3x﹣）的图象，只需将函数y=cos3x的图象（　　）

【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

函数y=sin（3x﹣）=cos[﹣（3x﹣）]=cos（3x﹣），

故将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，可得y=cos（3x﹣）=sin（3x﹣）的图象，

【点评】本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

8．（4分）（2017•温州模拟）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与BCD均为等于直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°

【分析】以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PA长的取值范围．

以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，

建立空间直角坐标系，

则A（0，1，1），B（0，2，0），C（0，0，0），

设Q（q，0，0），=（0，λ，﹣λ），

则=﹣==（q，0，0）﹣（0，1，1）﹣（0，λ，﹣λ）=（q，﹣1﹣λ，λ﹣1），

∵异面直线PQ与AC成30°

的角，

∴cos30°

====，

∴q2+2λ2+2=，∴，

∴，解得0，

∴||=∈[0，]，

∴线段PA长的取值范围是[0，]．

【点评】本题考查线段的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

9．（4分）（2017•温州模拟）记max{a，b}=，已知向量，，满足||=1，||=2，•=0，=λ+μ（λ，μ≥0，且λ+μ=1，则当max{•，•}取最小值时，||=（　　）

【分析】由题意画出图形，设，则，由已知求得λ的范围，把•，•均用含有λ的代数式表示，求出分段函数的值域，得到max{•，•}的最小值，进一步求得||．

如图，

设，则，

∵λ，μ≥0，λ+μ=1，∴0≤λ≤1．

又=λ+μ，

∴=λ；

=4﹣4λ．

由λ=4﹣4λ，得．

∴max{•，•}=．

令f（λ）=．

则f（λ）∈[]．

∴，此时，

∴=．

∴．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法，训练了分段函数值域的求法，属中档题．

10．（4分）（2017•温州模拟）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x+1）=+，则f（0）+f（2017）的最大值为（　　）

【分析】由已知可得f（x+1）﹣f2（x+1）+f（x）﹣f2（x）=，令g（x）=f（x）﹣f2（x），则g（0）+g（2017）=，结合基本不等式和二次函数的图象和性质，可得答案．

∵函数f（x）满足f（x+1）=+，

∴f（x）＞0且f2（x+1）=++f（x）﹣f2（x），

则f（x+1）﹣f2（x+1）=+﹣[++f（x）﹣f2（x）]=﹣[f（x）﹣f2（x）]，

故f（x+1）﹣f2（x+1）+f（x）﹣f2（x）=，

令g（x）=f（x）﹣f2（x），则g（x+1）+g（x）=，

则g（0）=g

（2）=…=g（2016）；

g

（1）=g（3）=…=g（2017）；

g（0）+g（2017）=，

∴f（0）﹣f2（0）+f（2017）﹣f2（2017）=，

f（0）+f（2017）=+f2（0）+f2（2017）≥+，

即2[f（0）+f（2017）]2﹣4[f（0）+f（2017）]+1≤0，

解得：

f（0）+f（2017）∈[1﹣，1+]，

B

【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数求值，基本不等式的应用，难度中档．

11．（6分）（2017•温州模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=2，C=60°

【分析】由已知利用余弦定理可求c，利用三角形面积公式即可得解．

∵a=1，b=2，C=60°

，

∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：

c2=1+4﹣2×

=3，

∴c=，

∴S△ABC===．

故答案为：

，．

【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．

12．（6分）（2017•温州模拟）若实数x，y满足，则y的最大值为　2　，的取值范围是　[，]　．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

作出不等式组，对应的平面区域如图：

可知A的纵坐标取得最大值：

2．

∵z=，则z的几何意义为区域内的点到定点D（﹣2，﹣1）的斜率，

由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，则z的最大为：

=，最小为：

=，

即≤z≤，

则z=，的取值范围是[，]，

2；

[，]．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及斜率的计算，通过数形结合是解决本题的关键．

13．（6分）（2017•温州模拟）如图，一个简单几何体三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，其俯视图的轮廓为正方形，则该几何体的体积是　　，表面积是　3　．

【分析】易得此几何体为四棱锥，利用相应的三角函数可得四棱锥的高，把相关数值代入即可求解．

由主视图和左视图为等腰三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为四边形可得此几何体为四棱锥，

∵主视图为边长为1的正三角形，

∴正三角形的高，也就是棱锥的高为，俯视图的边长为1，

∴四棱锥的体积=×

1×

=，表面积是1+4×

=3．

故答案为，3．

【点评】解决本题的关键是得到该几何体的形状，易错是确定四棱锥的底面边长与高的大小．

14．（6分）（2017•温州模拟）在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门，若同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为　15　，乙丙两名同学都选物理的概率是　　．

【分析】同学甲必选物理，则甲选物理后还要从另外6门学科中再任选两门，由此能求出甲的不同选法种数；

乙丙两名同学7门学科中任选3门，基本事件总数n=，乙丙两名同学都选物理，包含的基本事件个数m=，由此能求出乙丙两名同学都选物理的概率．

在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门，

同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为：

=15，

乙丙两名同学7门学科中任选3门，基本事件总数n=，

乙丙两名同学都选物理，包含的基本事件个数m=，

∴乙丙两名同学都选物理的概率是p===．

15，．

【点评】本题考查排列组合的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

15．（6分）（2017•温州模拟）在等差数列{an}中，若a22+2a2a8+a6a10=16，则a4a6=　4　．

【分析】利用等差数列的性质，即可得出结论．

∵等差数列{an}中，a22+2a2a8+a6a10=16，

∴a22+a2（a6+a10）+a6a10=16，

∴（a2+a6）（a2+a10）=16，

∴2a4•2a6=16，

∴a4a6=4，

故答案为4．

【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．

16．（6分）（2017•温州模拟）过抛物线C：

y2=2px（p＞0）的焦点F直线交该抛物线与A，B两点，若|AF|=8|OF|（O为坐标原点），则　7　．

【分析】由题意，|AF|=4p，设|BF|=x，由抛物线的定义，可得，求出x，即可得出结论．

由题意，|AF|=4p，设|BF|=x，则

由抛物线的定义，可得，解得x=p，

∴=7，

故答案为7．

【点评】本题考查抛物线的定义，考查方程思想，正确转化是关键．

17．（2017•温州模拟）已知a，b，c∈R，若|acos2x+bsinx+c|≤1对x∈R成立，则|asinx+b|的最大值为　2　．

【分析】由题意，设t=sinx，t∈[﹣1，1]，则|at2﹣bt﹣a﹣c|≤1恒成立，不妨设t=1，则|b+c|≤1；

t=0，则|a+c|≤1，t=﹣1，则|b﹣c|≤1，再分类讨论，利用绝对值不等式，即可得出结论．

由题意，设t=sinx，t∈[﹣1，1]，则|at2﹣bt﹣a﹣c|≤1恒成立，

不妨设t=1，则|b+c|≤1；

t=0，则|a+c|≤1，t=﹣1，则|b﹣c|≤1

若a，b同号，则|asinx+b|的最大值为|a+b|=|a+c+b﹣c|≤|a+c|+|b﹣c|≤2；

若a，b异号，则|asinx+b|的最大值为|a﹣b|=|a+c﹣b﹣c|≤|a+c|+|b+c|≤2；

综上所述，|asinx+b|的最大值为2，

故答案为2．

【点评】本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

18．（14分）（2017•温州模拟）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x

【分析】

（I）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．

（II）由条件求得sin（2α+）的值以及2α+的范围，可得cos（2α+）的值，再根据sin2α=sin（2α+﹣），利用两角差的正弦公式，求得sin2α的值．

（I）∵函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，

∴函数f（x）的最小正周期为=π．

（II）若﹣＜α＜0，则2α+∈（﹣，），

∴f（α）=sin（2α+）+=，∴sin（2α+）=，∴2α+∈（0，），

∴cos（2α+）==，

∴sin2α=sin（2α+﹣）=sin（2α+）cos﹣cos（2α+）sin=﹣=．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于中档题．

19．（15分）（2017•温州模拟）在四菱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．

（I）取CD的中点E，连接AE，PE，则AE⊥CD，PE⊥CD，证明PA⊥平面ABCD，即可证明：

（II）求出A到平面PCD的距离，即可求直线AD与平面PCD所成角的大小．

【解答】

（I）证明：

取CD的中点E，连接AE，PE，则AE⊥CD，PE⊥CD，

∵AE∩PE=E，∴CD⊥平面PAE．

∵PA⊂平面PAE，∴CD⊥PA，

∵PA⊥AD，AD∩CD=D，

∴PA⊥平面ABCD，

∵AB⊂平面ABCD，

∴PA⊥AB；

（II）解：

由题意，AD=PE=．

设A到平面PCD的距离为h，则由等体积可得=，

∴h=

∴直线AD与平面PCD所成角的正弦值为=，大小为30°

．

【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

20．（15分）（2017•温州模拟）设函数f（x）=，证明：

（Ⅰ）原不等式等价于xf（x）﹣x＞0，构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可证明，

（Ⅱ）当0＜x＜ln（1+a）时，f（x）﹣1＜a，等价于ex﹣1﹣（a+1）x＜0，构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可证明，同理可证﹣ln（1+a）＜x＜0，问题得以证明

（Ⅰ）∵当x＜0时，f（x）＜1，等价于xf（x）＞x，即xf（x）﹣x＞0，

设g（x）=xf（x）﹣x=ex﹣1﹣x

∴g′（x）=ex﹣1＜0，在（﹣∞，0）上恒成立，

∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，

∴g（x）＞g（0）=1﹣1﹣0=0，

∴xf（x）﹣x＞0恒成立，

∴x＜0时，f（x）＜1，

（Ⅱ）要证明当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a，

即整0＜x＜ln（1+a）时，f（x）﹣1＜a，

即证＜a+1，

即证ex﹣1＜（a+1）x

即证ex﹣1﹣（a+1）x＜0，

令h（x）=ex﹣1﹣（a+1）x，

∴h′（x）=ex﹣（a+1）＜eln（a+1）﹣（a+1）=0，

∴h（x）单调递减，

∴h（x）＜h（0）=0，

同理可证当x＜0时，结论成立

∴对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a

【点评】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，考查学生的计算能力．

21．（15分）（2017•温州模拟）已知直线l：

（I）联立直线与椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式为0，再将P的坐标代入椭圆方程，解方程可得m，n，进而得到椭圆方程；

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线y=b﹣x和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0，韦达定理，再由A，B在直线上，代入直线方程，由垂直的条件，运用向量的数量积为0，化简整理，解方程可得b的值．

（I）联立直线l：

mx2+ny2=1（n＞m＞0），

可得（m+n）x2﹣6nx+9n﹣1=0，

由题意可得△=36n2﹣4（m+n）（9n﹣1）=0，即为9mn=m+n，

又P在椭圆上，可得4m+n=1，

解方程可得m=，n=，

即有椭圆方程为+=1；

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立直线y=b﹣x和椭圆方程，可得3x2﹣4bx+2b2﹣6