圆锥曲线二轮复习全部题型总结Word文件下载.doc
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例1：
一条线段AB的长等于,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点M的轨迹方程？
二：
定义法
已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C为动点，且满足求点C的轨迹。
2:
一动圆与圆O：
外切，而与圆C：
内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：
A：
抛物线B：
圆C：
椭圆D：
双曲线一支
三：
参数法
此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。
注意参数的取值范围。
例1．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
四：
代入法
例1.点B是椭圆上的动点，为定点，求线段的中点的轨迹方程.
五、点差法
例1直线（是参数）与抛物线的相交弦是，求弦的中点轨迹方程.
三、方程识别
1、平面直角坐标方程
2、参数方程
（1）圆
（2）椭圆（3）双曲线（4）抛物线
经典例题
例1、当m,n满足什么条件时，方程分别表示圆、椭圆、双曲线？
【做】例2、（2013年上海徐汇区一模18）
【理】对于直角坐标平面内的点（不是原点）,的“对偶点”是指：
满足且在射线上的那个点.若是在同一直线上的四个不同的点（都不是原点）,则它们的“对偶点”（）
．一定共线；
．一定共圆；
．要么共线，要么共圆；
．既不共线，也不共圆．
四、圆锥曲线的概念与几何性质
注：
与共渐近线的双曲线方程－（）;
例1．椭圆的一个焦点是（0，2），那么k=。
变式：
1．与椭圆共焦点，且过点（3，-2）的椭圆标准方程是。
2．双曲线的渐近线为;
两渐近线夹角为。
3．过点（-6，3）且和双曲线x2-2y2=2有相同的渐近线的双曲线方程为
4.若双曲线的一个焦点是（0，3），则k的值是。
例2.给出问题：
F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的
距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：
双曲线的实轴长为8，由
||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？
若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，
将正确的结果填在下面空格内. .
五、点与圆锥曲线位置关系、最值问题
1、位置关系
①几何方法②代数方法③利用进行范围锁定
2、最值问题
①一定一动（动点在圆锥曲线上）：
利用两点间的距离公式.（圆可用加减半径求解）
②两定一动（其中一定为焦点、动点在圆锥曲线上）：
利用焦点转化（抛物线利用焦点与准线转换）
例1.某海域内有一孤岛.岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为、短轴长为的椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上.现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为，那么船只已进入该浅水区的判别条件是
例2.已知M是椭圆上的动点，N是圆的动点，求|MN|的最小值
例3.
（1）是椭圆上一点，是椭圆右焦点，，求的范围.
（2）是双曲线上一点，是双曲线右焦点，,求的最小值.
（3）是椭圆上一点，是椭圆右焦点，，求的最小值
六、直线与圆锥曲线位置关系、交点个数
方法一是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.方程解的个数为交点个数。
方法二是几何的观点（以双曲线为例）
直线与双曲线的位置关系：
区域①：
无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：
即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：
2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：
即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域⑤：
即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：
过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
例1.已知直线y=kx-1与双曲线,试列出实数k需满足的不等式组,使直线与双曲线交同支于两点。
例2.过点P（3,4）与双曲线只有一个交点的直线的条数为（）
A．4B.3C.2D.1
例3．若对任意kÎ
R，直线与双曲线总有公共点，则b范围。
1.过原点与双曲线交于两点的直线斜率的取值范围是
2．若方程x+k-=0只有一个解，则实数k的取值范围是_。
4.曲线与直线有公共点的充要条件是（）
．；
．；
．．
5.已知两点M（—5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|—|PN|=6，则称该直线为“B型直线”。
给出下列直线：
①；
②；
③；
④其中为“B型直线”的是（填上所有正确的序号）
6.已知双曲线方程为与点P（1,2）,
（1）求过点P（1，2）的直线的斜率的取值范围，使直线与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。
七、直线与圆锥曲线的最值、弦长以及面积
1、到定直线的距离最值：
方法一：
作定直线的平行线与圆锥曲线相切，两平行线之间的距离为最值。
方法二：
直接利用参数方程，用点到直线的距离公式来进行解决。
2、弦长问题
若直线与二次曲线的交点为A（）和B（）
联立直线与二次曲线方程求出两交点两点间距离
方法二：
利用弦长公式：
=
=
方法三：
（半弦长）2=（半径）2-（圆心到直线距离）2（—只适用于圆）
注意：
椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦
3、面积
（1）、普通三角形：
（注意）
注意：
有时需要将三角形拆成两个三角形.
（2）、焦点三角形：
椭圆：
，双曲线：
例1．椭圆上的点到直线l:
的距离的最小值为___________．
1、设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值等于．
例2.经过双曲线的右焦点作直线交双曲线与、两点，若|AB|=4,
则这样的直线存在的条数为 （ ）
（A）４；
（B）3；
（C）2；
（D）１
1.一直线过椭圆的左焦点，被椭圆截得的弦长为2，则直线的方程为；
2.若、为双曲线:
的左、右焦点，点在双曲线上，∠=，则到轴的距离为（）
．；
．；
．；
．．
八、几何意义
常涉及距离和斜率以及截距，另外方程解的问题也会涉及，通常结合圆锥曲线的图像，但要注意变量的范围。
例1.如果实数满足方程，那么的最大值为（）
（A）（B）（C）（D）
1若方程x+k-=0只有一个解，则实数k的取值范围是__。
2.若关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿.
九、角的大小、垂直问题
1、角：
借助向量，转化为坐标运算。
2、垂直问题：
（1）斜率乘积为-1
（2）向量数量积为0.
3、与向量有关问题：
转化为坐标运算
例1．设、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
1.直线的右支交于不同的两点A、B.
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？
若存在，求出k的值；
若不存在，说明理由.
【做】2.倾角为的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于A、B两点，点C是抛物线
F
A
B
C
O
准线上的动点.
（1）△ABC能否为正三角形？
（2）若△ABC是钝角三角形，求点C纵坐标的取值范围.
十、弦中点问题以及对称问题
弦中点问题：
1、韦达定理；
2、点差法.
对称问题：
垂直、平分。
2、点差法。
例1、如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是；
1、已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：
x－2y=0上，则此椭圆中为_______
例2、若抛物线上总存在关于直线对称的两点，求的范围
1.若直线L过M（-2,1）,交椭圆于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线L的方程．
十一、存在性问题
1、正面求解：
存在或存在几个的问题
2、反面求解：
假设存在，再加以计算或证明.
【做】例1.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点，这样的正三角形有（）
A．0个B．2个C．4个D．1个
（2012.奉贤.文.18.）两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点，这样的正三角形有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
例2.已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；
（3）记，，（A、B、是
（2）中的点），问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由．
进一步思考问题：
若上述问题中直线、点、曲线C：
，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断（填写“不正确”或“正确”）（限于时间，这里不需要举反例，或证明）．
1.已知双曲线方程为与点P（1,2）,
（3）是否存在直线，使Q（1，1）为被双曲线所截弦的中点？
若存在，
求出直线的方程；
若不存在，请说明理由。
2.已知的三个顶点在抛物线:
上运动，
1.求的焦点坐标；
2.若点在坐标原点，且，点在上，且，
求点的轨迹方程；
3.试研究:
是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形，若存在，求出这个正三角形的边长，若不存在，说明理由.
3.对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、.
（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；
（2）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求动点的轨迹方程；
（3）过双曲线的左焦点，且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求证：
对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得.
十二、圆锥曲线定点、定值问题
例1.（2012杨浦区二模文22）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上一动点，求直线的中点的轨迹方程；
（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，探究：
直线是否过定点，并说明理由．
例2.在平面直角坐标系中，已知双曲线.
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成
的三角形的面积；
（4分）
（2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：
OP⊥OQ；
（6分）
（3）设椭圆.若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，
求证：
O到直线MN的距离是定值.（6分）
1.（2012普陀区二模理23）以椭圆：
的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，．
（1）求椭圆及其“准圆”的方程；
（2）若椭圆的“准圆”的一条弦与椭圆交于、两点，试证明：
当时，弦的长为定值；
（3）对于给定的椭圆，若点是下列三点之一时，是否存在以为一个顶点的“准圆”的内接矩形，使椭圆完全落在该矩形所围成的区域内（包括边界）？
若存在，请写出作图方法，并予以证明；
说明：
对于下列三点只需选做一种，满分分别是①2分，②5分，③7分；
若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
①；
②；
③射线与椭圆的“准圆”的交点．
2.（2013年上海宝山区理科一模23）（本题18分，第
（1）小题6分；
第
（2）小题12分）
如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于两点，△的周长为8，且面积最大时，为正三角形．
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．试探究：
①以为直径的圆与轴的位置关系？
y
x
F1
F2
②在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？
若存在，求出的坐标；
若不存在，说明理由．
【做】3.（2014闵行二模理22）（本题满分16分）本题共有3个小题，第
（1）小题满分4分，第
（2）、（3）小题满分各6分．
D
F0
第22题图
设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在轴上，过的焦点F作直线，与交于A、B两点，在、上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
（1）求，的标准方程；
（2）若与交于C、D两点，为的左焦点，求的最小值；
（3）点是上的两点，且，求证：
为定值；
反之，当为此定值时，是否成立？
请说明理由.
十三、圆锥曲线性质的类比及思考
（1）圆中
①若在圆上，则过的圆的切线方程是.
②若在圆外，则过作圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是.
③是圆的不平行于x,y轴的弦，为的中点，则，即.
④已知圆，直线交圆于，两点，点是圆上异于，的任一点，且，均存在，则.
（2）椭圆中
①若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
②若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是.
③椭圆（）的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.
④是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即.
⑤已知椭圆，直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的任一点，且，均存在，则.
（3）双曲线中
①若在双曲线（）上，则过的双曲线的切线方程是.
②若在双曲线（）外，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是.
③双曲线（）的左右焦点分别为，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.
④是双曲线（）的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即.
⑤已知双曲线，直线交双曲线于，两点，点是双曲线上异于，的任一点，且，均存在，则.
例1.设、分别为椭圆：
的左右两个焦点。
（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆的方程和焦点坐标；
（2）已知椭圆具有性质：
若是椭圆：
上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，且直线的斜率都存在，并记为，那么与的乘积是与点位置无关的定值。
试对双曲线写出类似的性质，并加以证明。
1.（2013年上海青浦区一模22）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分,第3小题满分2分.
设直线交椭圆于两点，交直线于点．
（1）若为的中点，求证:
；
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；
（3）请你类比椭圆中
（1）、
（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．
2.是的两条弦，直线相交于点，则
与椭圆进行类比：
是椭圆的两条弦，直线相交于点，且直线的倾斜角互补，则
十五、向量以及极坐标与圆锥曲线（*）
【做】例1.已知椭圆的焦点，过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为，过作直线l与椭圆交于A、B两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求的面积；
（3）是否存在实数使，若存在，求的值和直线的方程；
若不存在，说明理由．
例2.已知椭圆的方程为，点P的坐标为（）.
（1）若直角坐标平面上的点、满足，求点的坐标；
[来源:
学.科.网]
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：
为的中点；
（理）（3）对于椭圆上的点，如果椭圆上存在不同的两个交点、满足，写出求作点、的步骤，并求出使、存在的的取值范围.
（文）（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？
令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标．
o
3
例3.
（1）设椭圆：
与双曲线：
有相同的焦点，是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为，求椭圆的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.
（2）如图，已知“盾圆”的方程为.设“盾圆”
上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，
为定值；
（3）由抛物线弧：
（）与第
（1）小题椭圆弧：
（）所合成的封闭曲线为“盾圆”.设过点的直线与“盾圆”交于两点，，且（），试用表示；
并求的取值范围.
十五、其他题型
一、探索性问题
1.（松江区2013届高三一模理科）14．定义变换将平面内的点变换到平面内的点．若曲线经变换后得到曲线，曲线经变换后得到曲线，依次类推，曲线经变换后得到曲线，当时，记曲线与、轴正半轴的交点为和．某同学研究后认为曲线具有如下性质：
①对任意的，曲线都关于原点对称；
②对任意的，曲线恒过点；
③对任意的，曲线均在矩形（含边界）的内部，其中的坐标为；
④记矩形的面积为，则
其中所有正确结论的序号是．
2.（2013闸北二模理15（倒数第3题））
和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．在空间直角坐标系中，空间曲面的方程是一个三元方程．
设、为空间中的两个定点，，我们将曲面定义为满足
的动点的轨迹．
（1）试建立一个适当的空间直角坐标系，求曲面的方程；
（2）指出和证明曲面的对称性，并画出曲面的直观图．
二、新定义问题
1、（2011上海高考理23）（18分）已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。
⑴求点到线段的距离；
⑵设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；
⑶写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，
是下列三组点中的一组。
对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；
①。
②。
③。
2、（2012.奉贤.文理.23.）出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创立的。
在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样。
直角坐标系内任意两点定义它们之间的一种“距离”：
，请解决以下问题：
1、（理）求线段上一点的距离到原点的“距离”；
（文）求点、的“距离”；
2、（理）定义:
“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，
求“圆周”上的所有点到点的“距离”均为的“圆”方程；
（文）求线段上一点的距离到原点的“距离”；
3、（理）点、，写出线段的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图像．
（文）定义:
“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，点、，，求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图像；
（说明所给图形小正方形的单位是1）
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