高考数学二轮复习压轴题突破练 直线与圆锥曲线Word格式.docx

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＝·

＝.

（3）在y＝k（x－1）中，令x＝0，则y＝－k，

所以P（0，－k），

从而＝（－x1，－k－y1），＝（x2－1，y2）．

因为＝，所以－x1＝（x2－1），

即x1＋x2＝.

由

（2）知，

由

解得x1＝，x2＝.

因为x1x2＝，

所以×

＝，

整理得50k4－83k2－34＝0，

解得k2＝2或k2＝－（舍）．

又因为k>

0，所以k＝.

2．（2017·

福建省福州第一中学质检）已知圆C：

（x－1）2＋y2＝16，F（－1,0），M是圆C上的一个动点，线段MF的垂直平分线与线段MC相交于点P.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）记点P的轨迹为C1，A，B是直线x＝－2上的两点，满足AF⊥BF，曲线C1上过A，B的两条切线（异于x＝－2）交于点Q，求四边形AQBF面积的取值范围．

解　

（1）依题意得圆心C（1,0），半径r＝4，

由于|PF|＋|PC|＝r＝4>

|CF|＝2，

所以点P的轨迹方程是以C，F为焦点，长轴长为4的椭圆，即

a＝2，c＝1，则b2＝22－1＝3，

所以点P的轨迹方程是＋＝1.

（2）依题意，直线AF的斜率存在且不为零，

设y＝k（x＋1），令x＝－2，得A（－2，－k），

同理B.

设过点A的切线为y＝k1（x＋2）－k，

代入＋＝1，

得（3＋4k）x2＋8k1（2k1－k）x＋4（2k1－k）2－12＝0.

由Δ＝64k（2k1－k）2－16（3＋4k）[（2k1－k）2－3]＝0，

解得k1＝，同理过点B的切线的斜率

k2＝＝.

联立两条切线

解得x＝－4.

S四边形AQBF＝|AB||xF－xQ|＝≥3，

当且仅当k＝±

1时等号成立，

所以四边形AQBF面积的取值范围是[3，＋∞）．

3．在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到定点F（1,0）的距离与到定直线x＝3的距离之比为.

（1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）已知P为定直线x＝3上一点．

①过点F作FP的垂线交轨迹C于点G（G不在y轴上），求证：

直线PG与OG的斜率之积是定值；

②若点P的坐标为（3,3），过点P作动直线l交轨迹C于不同的两点R，T，线段RT上的点H满足＝，求证：

点H恒在一条定直线上．

（1）解　设M（x，y），则|MF|＝，

点M到直线x＝3的距离d＝|x－3|，

由＝，得＝，

化简得＋＝1，

即动点M的轨迹C的方程为＋＝1.

（2）证明　因为P为直线x＝3上的一点，

所以令P的坐标为（3，t）．

①令G（x0，y0），由FG⊥FP，得·

＝0，

即（x0－1，y0）·

（2，t）＝0，即ty0＝2－2x0，

又因为点G（x0，y0）在椭圆＋＝1上，

所以y＝2－，

而PG，OG的斜率分别为

kPG＝，kOG＝，

于是kPG·

kOG＝＝

＝

＝＝－，

即直线PG与OG的斜率之积为定值－.

②令＝＝λ（λ>

0），

则＝λ，＝λ，

令点H（x，y），R（x1，y1），T（x2，y2），

则

即

由①×

③，②×

④，得

因为R（x1，y1），T（x2，y2）在椭圆＋＝1上，

⑤×

2＋⑥×

3，得

6x＋9y＝

＝＝＝6，

即2x＋3y－2＝0，

所以点H在定直线2x＋3y－2＝0上．

4．（2017届辽宁省锦州市质检）已知椭圆C：

＋＝1（a>

b>

1）的左焦点F与抛物线y2＝－4x的焦点重合，直线x－y＋＝0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．

（1）求该椭圆C的方程；

（2）过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2.问：

是否存在直线AB，使得S1＝S2，若存在，求直线AB的方程，若不存在，说明理由．

解　

（1）由题意，得c＝1，e＝＝，

即＝，∴a＝2，b＝，

∴所求椭圆C的方程为＋＝1.

（2）假设存在直线AB使S1＝S2，显然直线AB不能与x轴，y轴垂直，

∴直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k（x＋1）（k≠0），

将其代入＋＝1，

整理得（4k2＋3）x2＋8k2x＋4k2－12＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＋x2＝，

y1＋y2＝k（x1＋1）＋k（x2＋1）＝，

∴G.

∵DG⊥AB，∴×

k＝－1，

解得xD＝，即D.

∵△GFD∽△OED，∴＝，

∴·

＝2，

即＝2.又∵S1＝S2，∴|GD|＝|OD|，

∴＝，

整理得8k2＋9＝0，

∵此方程无解，

∴不存在直线AB满足S1＝S2.

5．（2017届浙江省嘉兴一中适应性测试）如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为（，0），是椭圆上的一个点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的上、下顶点分别为A，B，P（x0，y0）（x0≠0）是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l：

y＝－1于点C，N为线段BC的中点，如果△MON的面积为，求y0的值．

解　

（1）设椭圆标准方程为＋＝1，

由题意，得c＝.

因为a2－c2＝b2，所以b2＝a2－3.

又是椭圆上的一个点，

所以＋＝1，解得a2＝4或a2＝（舍去），

从而椭圆的标准方程为＋y2＝1.

（2）因为P（x0，y0），x0≠0，则Q（0，y0），

且＋y＝1.因为M为线段PQ的中点，

所以M.

又A（0,1），所以直线AM的方程为y＝x＋1.

因为x0≠0，所以y0≠1，令y＝－1，

得C.又B（0，－1），

N为线段BC的中点，则N.

所以＝.

因此，·

＝＋y0·

（y0＋1）

＝－＋y＋y0

＝－＋y0

＝1－（1＋y0）＋y0＝0.

从而OM⊥MN.

因为|OM|＝＝1，

|ON|＝＝＝，

所以在Rt△MON中，|MN|＝，

因此S△MON＝|OM||MN|＝.

从而有＝，解得y0＝.

6．（2017届江西省重点中学盟校联考）已知椭圆C：

0，b>

0）的右顶点为A（2,0），离心率e＝.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设B为椭圆上顶点，P是椭圆C在第一象限上的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，问△PMN与△PAB面积之差是否为定值？

说明理由．

解　

（1）依题意得

解得

则椭圆C的方程为＋y2＝1.

（2）设P（x0，y0）（x0>

0，y0>

0），则x＋4y＝4，

直线PA：

y＝（x－2），

令x＝0，得yM＝，

则|BM|＝|1－yM|＝yM－1＝－1－.

直线PB：

y＝x＋1，

令y＝0，得xN＝，

则|AN|＝|2－xN|＝xN－2＝－2－，

∴S△PMN－S△PAB＝|AN|·

（|OM|－|OB|）

＝|AN|·

|BM|

＝2.

7．（2017·

山西省实验中学模拟）已知椭圆E：

＋＝1（a>

0）过点（0，－2），F1，F2分别为其左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，PF1⊥x轴，且△OPF1的面积为.

（1）求椭圆E的离心率和方程；

（2）设A，B是椭圆上两动点，若直线AB的斜率为－，求△OAB面积的最大值．

解　

（1）因为椭圆E：

0）过点（0，－2），所以b＝2，由PF1⊥x轴，且△OPF1的面积为，

得×

c×

所以＝，即离心率e＝.

因为a2＝b2＋c2，所以a2－c2＝4，

由解得（舍负），

故椭圆E的方程为＋＝1.

（2）设直线AB的方程为y＝－x＋t，

与x2＋2y2＝8联立，

消去y，整理得x2－tx＋2t2－8＝0，

由Δ＝（－t）2－4×

（2t2－8）＝－8t2＋36>

0，

得－<

t<

，

x1＋x2＝，x1x2＝（2t2－8），

故|AB|＝|x1－x2|

＝×

易知点O到直线AB的距离为d＝，

则△OAB的面积S＝×

×

≤×

当且仅当2t2＝9－2t2，即t＝±

时取“＝”，经检验，满足要求，故△OAB面积的最大值为2.

8．（2017·

湖南省长沙市长郡中学临考冲刺训练）在平面直角坐标系xOy中，点F1（－，0），圆F2：

x2＋y2－2x－13＝0，以动点P为圆心的圆经过点F1，且圆P与圆F2内切．

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）若直线l过点（1,0），且与曲线E交于A，B两点，则在x轴上是否存在一点D（t,0）（t≠0），使得x轴平分∠ADB？

若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由．

解　

（1）圆F2的方程可化为（x－）2＋y2＝16，

故圆心F2（，0），半径r＝4，

而|F1F2|＝2<

4，所以点F1在圆F2内．

又由已知得圆P的半径R＝|PF1|，

由圆P与圆F2内切，可得圆P内切于圆F2，

即|PF2|＝4－|PF1|，

所以|PF1|＋|PF2|＝4>

|F1F2|，

故点P的轨迹即曲线E是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆．

显然c＝，a＝2，所以b2＝＝1，

故曲线E的方程为＋y2＝1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

当直线AB的斜率不为0且存在时，设直线l：

x＝ny＋1，

代入x2＋4y2－4＝0，得（n2＋4）y2＋2ny－3＝0，

Δ＝16（n2＋3）>

0恒成立．

由根与系数的关系，可得y1＋y2＝，y1y2＝，

设直线DA，DB的斜率分别为k1，k2，

则由∠ODA＝∠ODB，得

k1＋k2＝＋

＝＝0.

所以2ny1y2＋（1－t）（y1＋y2）＝0，

将y1＋y2＝，y1y2＝

代入得－6n－2n＋2nt＝0，

因此n（t－4）＝0，故存在t＝4满足题意．

当直线AB的斜率为0时，直线为x轴，取A（－2,0），B（2，0），满足∠ODA＝∠ODB，

当直线AB的斜率不存在时，取A，B，满足∠ODA＝∠ODB.

综上，在x轴上存在一点D（4,0），使得x轴平分∠ADB.