直角三角形的射影定理教案Word格式.doc
《直角三角形的射影定理教案Word格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直角三角形的射影定理教案Word格式.doc（6页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
点和线段的正射影简称为射影
（让学生复习并挖掘下图中的基本性质.）
已知：
如图，∠ACB=90°
，CD⊥AB于D.
（1）图中有几条线段?
（答：
6条，分别记为AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.）
（2）图中有几个锐角?
数量有何关系?
（3）图中有几对相似三角形?
可写出几组比例式?
由图中ΔACD∽ΔCBD∽ΔABC，可分别写出三组比例式：
（ΔACD∽ΔCDB）;
（ΔCBD∽ΔABC）;
（ΔACD∽ΔABC）.
（4）观察第（3）题的结果，有几个带有比例中项的比例式?
如何用一句话概括叙述这几个比例
中项的表达式?
只有三个比例中项的表达式，，，
（5）由上可得到哪些等积式?
CD2=AD·
BD，BC2=BD·
BA，AC2=AD·
AB
（二）直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；
两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。
请同学们自己写出已知条件并证明。
在RT△ABC中，∠ABC=90。
，CD⊥AB于D。
求证：
CD2=AD*BDBC2=BD*ABAC2=AD*AB
证明：
在RT△ABC中，因为∠ABC=90。
CD⊥AB
∠B+∠DCB=90º
∠ACD+∠DCB=90º
所以∠B=∠ACD，故△CBD∽△ACD
所以
在RT△ACB与RT△BDC中，为公共角，
∽
同理，由∽，
讨论：
用勾股定理能证明射影定理吗？
写出你的想法.
二、当堂训练
1、如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D。
求
解：
是半圆上的圆周角，
即ΔABC是直角三角形。
又射影定理可得
2、如图，ΔABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且。
ΔABC是直角三角形。
在ΔCDA和ΔBDC中，
三、课堂小结与反思
四、课后检测
1．如图1—4—1中，∠ACB=90°
，CD⊥AB于D，AD=3，BD=2，则AC：
BC的值是（C）
A．3：
2 B．9：
4
C．：
D．：
2．在Rt△ACB中，∠C=90°
，CD⊥AB于D，若BD：
AD=1：
4，则tan∠BCD的值是（C）
A. B. C. D.2
3．下列命题中，正确的有（B）
①两个直角三角形是相似三角形；
②等边三角形都是相似三角形；
③锐角三角形都是相似三角形；
④两个等腰直角三角形是相似三角形．
A．1个 B.2个 C.3个 D．4个
4．已知直角△ABC中，斜边AB=5cm，BC=2cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于E，且AD=3.2cm，则DE=（C）
A．1.24cm B．1.26cm
C．1.28cm D．1.3cm
5．如图1—4—2，在△ABC中，∠BAC=90°
，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E。
试说明：
图1—4—2
（1）AB·
AC=AD·
BC；
（2）AD3=BC·
BE·
CF。
解：
（1）在Rt△ABC中，AD⊥BC，
∴S△ABC=AB·
AC=BC·
AD
∴AB·
AD。
（2）在Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理得BD2=BE·
AB．
同理CD2=CF·
AC，
∴BD2·
CD2=BE·
AB·
CF·
AC．*
又在Rt△BAC中，AD⊥BC
∴AD2=BD·
DC，
∴*式化为AD4=BE·
AC，即AD3=BE·
AC·
由
（1）知AB·
AD，代入上式得AD3=BE·
BC．
应用射影定理证明比例线段
6．如图1—4—3，已知：
BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H=∠BCF。
GD2=GF·
GH。
∵∠H=∠BCE，∠B=∠B，CE⊥BH，
∴△BCE∽△BHG
∴∠BGH=∠BEC=90°
，∴HG⊥BC
∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得，GD2=BG·
CG①
∵∠GFC=∠EFH，
∴△FCG∽△FHE，∴∠FGC=∠FEH，
∴∠FGC=∠BGH
∴△FCG∽△BHG，∴
∴BG·
GC=GH·
FG． ②
由①②得，GD2=GH·
FG．
7．如图1—4—4，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
AE·
AB=AF·
AC。
∵AD⊥BC，∴∠BAD+∠B=90°
又∵DE⊥AB，∴∠BAD+∠EDA=90°
．
∴∠B=∠EDA，又∠BAD=∠DAE，
∴△ABD∽△ADE（两角相等的两个三角形相似）．
∴，即AD2=AB·
AE
同理可证：
AD2=AF·
∴AE·
AC．
综合·
拓展练 综合运用，拓展知能
8．在Rt△ABC中，∠BAC=90°
，AD⊥BC于点D，若，则（C）
A. B. C. D.
9．如图1—4—5，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，在图中的六条线段中，你认为只要知道（B）条线段的长，就可以求其他线段的长。
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图1—4—6，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，垂足为E，
∠ABC=45°
，过E作AD的垂线交AD于F，交BC于G，过E作AD的平行线交AB于H。
FG2=AF·
DF+BG·
CG+AH·
BH。
因为EF2=AF·
FD，EG2=BG·
CG，
所以FG2=（EF+EG）2=EF2+2EF·
EG+EG2
=AF·
FD+BG·
CG+2EF·
EG．
因为∠ABC=45°
，
所以2（EF+EG）2=（AH+BH）2
而EF=AHsin45°
AH，
EG=BHsin45°
=BH．
2EF2=AH2，2EG2=BH2
所以2EF·
EG=AH·
BH．
所以FG2=AF·
11．△ABC中，若角A、B、C所对的边分别为a、b、c，试用余弦定理证明以下射影公式。
（1）c=acosB+bcosA；
（2）a=bcosC+ccosB；
（3）b=ccosA+acosC。
（1）由余弦定理得
a=bcosC+ccosB；
b=ccosA+acosC
高考·
模拟练 体验高考，模拟实战
12．在△ABC中，∠ACB=90°
，CD⊥AB于D，AD：
BD=2：
3，则△ACD与△CBD的相似比为（）
A．2：
3 B．4：
9 C．：
3 D．不确定
13．Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AD=4，sin∠ACD=，则BC=_______________，CD=________________。
答案解析
C
解析：
如图D—1—23，在Rt△ACB中，CD⊥AB
由射影定理得：
BD，即
又∵∠ADC=∠BDC=90°
∴△ACD∽△CBD．
又∵AD：
3
令AD=2x，BD=3x（x>
0）
易知△ACD与△CBD的相似比为
即相似比为
13.，3
解析：
由
由射影定理知
∴
又
四、预习提纲
1、圆周角定理及证明
2、圆心角定理及证明
3、圆心角定理的推论
第6页共6页
升级会员 