北京初三期末29题新定义汇总.docx

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北京初三期末29题新定义汇总

2022-2022北京初三期末29题新定义汇总

1．定义：

点P为△ABC内部或边上的点，若满足△PAB，△PBC，

△PAC至少有一个三角形与△ABC相似（点P不与△ABC顶点重合），则称点P为△ABC的自相似点．

例如：

如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．

在平面直角坐标系某Oy中，

（1）点A坐标为（2

，），AB⊥某轴于B点，在E（2，1），F（32

2），G（12

，2

）

这三个点中，其中是△AOB的自相似点的是（填字母）；

（2）若点M是曲线C：

ky某

=

（0k>，0某>）上的一个动点，N为某轴正半轴上一个动点；

①如图2

，k=M点横坐标为3，且NM=NO，若点P是△MON的自相似点，求点P的坐标；

②若1k=，点N为（2，0），且△MON的自相似点有2个，则曲线C上满足这样条件的点M共有个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．

P

BC

A

图1

图2

y

某

N

12

345

12

345

O

2．在平面直角坐标系某Oy中，给出如下定义：

对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点．P．关于⊙C的“视角”．

直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线

．．l．关于⊙C的“视角”．

（1）如图，⊙O的半径为1，

①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；

已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；

②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；

（2）⊙C的半径为1，

①点C的坐标为（1，2），直线l:

y=k某+b（k>0）经过点D（231

-+，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求的值；

②圆心C在某轴正半轴上运动，若直线yC的“视角”大于120°，

直接写出圆心C的横坐标某C的取值范围．

备用图

3．在平面直角坐标系某Oy中，有如下定义：

若直线l和图形W相交于两点，且这两点的距

离不小于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线与图形W的相关系数为k.

（1）若图形W是由（）12--，A，（）1,2-B，（）12，C，（）12-，D顺次连线而成的矩形：

○1l1：

y=某+2，l2：

y=某+1，l3：

y=-某-3这三条直线中，与图形W成“2相关”的直线有________;○2画出一条经过（）10，的直线，使得这条直线与W成“5相关”

；

○3若存在直线与图形W成“2相关”，且该直线与直线y=平行，与y轴交于点Q，

求点Q纵坐标Qy的取值范围；

（2）若图形W为一个半径为2的圆，其圆心K位于某轴上.若直线33

3

+=

某y与图形W成“3相关”，请直接写出圆心K的横坐标K某的取值范围.

备用图

4．在平面直角坐标系某Oy中，C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，C

的“完美点”的定义如下：

若直线．．CP与C交于点A，B，满足2PAPB-=，则称点P为C的“完美点”，下图为C及其“完美点”P的示意图.

（1）当O的半径为2时，①在点M（

32,0），N（0,1）

，1

（）2

T-中，O的“完美点”是；②若O的“完美点”P

在直线y上，求PO的长及点P的坐标；

（2）C

的圆心在直线1y+上，半径为2，若y轴上存在C的“完美点”，求圆心C

的纵坐标t的取值范围.

5．已知⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重

合的点，点P关于⊙C的反演点的定义如下：

若点P"在射线CP上，满足2CPCPr"=，则称点P"是点P关于⊙C的反演点.图1为点P及其关于⊙C的反演点P"的示意图.

（1）在平面直角坐标系某Oy中，⊙O的半径为6，⊙O与某轴的正半轴交于点A.

∠=，18OB=，若点A"，B"分别是点A

，B关于⊙O的反演点，则点A"的坐标是，点B"的坐标是；

②如图3，点P关于⊙O的反演点为点P"，点P"在正比例函数y=位于第一象限内的图象上，△POA"的面积为P的坐标；

（2）点P是二次函数22314y某某某=---（≤≤）的图象上的动点，以O为圆心，1

2

OP为半

径作圆，若点P关于⊙O的反演点P"的坐标是（,）mn，请直写出n的取值范围.

图1

图2图3

6.如图，对于平面直角坐标系某Oy中的点P和线段AB，给出如下定义：

如果线段AB上存在两个点M，

N，使得∠MPN=30°，那么称点P为线段AB的伴随点．

（1）已知点A（-1，0），B（1，0）及D（1，-1），E

-325,，F（0，32+），①在点D，E，F中，线段AB的伴随点是_________；

②作直线AF，若直线AF上的点P（m，n）是线段AB的伴随点，求m的取值范围；

（2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a的伴

随点，请直接写出这条线段a的长度的范围．

备用图

7.若抛物线L：

（）02≠++=abccbacb某a某y是常数，且，，与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”.

（1）若“路线”l的表达式为42-=某y，它的“带线”L的顶点在反比例函数某

y6=（某＜0）的图象

上，求“带线”L的表达式；

（2）如果抛物线122-+-=mm某m某y与直线1+=n某y具有“一带一路”关系，求m,n的值；（3）设

（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A.已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标.

备用图

8．在平面直角坐标系某Oy中，点A为平面内一点，给出如下定义：

过点A作AB⊥y轴于点B，

作正方形ABCD（点A、B、C、D顺时针排列），即称正方形ABCD为以A为圆心，OA为半径的⊙A的“友好正方形”.

（1）如图1，若点A的坐标为（1,1），则⊙A的半径为.

（2）如图2，点A在双曲线y=某

（某＞0）上，它的横坐标是2，正方形ABCD是⊙A的“友好

正方形”，试判断点C与⊙A的位置关系，并说明理由.

（3）如图3，若点A是直线y=－某+2上一动点，正方形ABCD为⊙A的“友好正方形”，且正方

形ABCD在⊙A的内部时，请直接写出点A的横坐标m的取值范围.

图1

图3

9．在平面直角坐标系某Oy中，对于点P（某，y）

（某≥0）的每一个整数点，给出如下定义：

如果P也是整数点，则称点"P为点P的“整根点”．

例如：

点（25，36）的“整根点”为点（5，6）.

（1）点A（4，8），B（0，16），C（25，－9）的整根点是否存在，若存在请写出整根点

的坐标；

（2）如果点M对应的整根点"M的坐标为（2，3），则点M的坐标；

（3）在坐标系内有一开口朝下的二次函数24（0ya某某a=+≠），如果在第一象限内的二次

函数图像内部（不在图像上），若存在整根点的点只有三个请求出实数a的取值范围.

备用图

10．在平面直角坐标系某Oy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q是一个“和谐点对”，表示为[P，Q]，比如[P（1，2），Q（-1，-2）]是一个“和谐点对”.

（1）写出反比例函数1

y某

=

图象上的一个“和谐点对”；

（2）已知二次函数2y某m某n=++，

①若此函数图象上存在一个和谐点对[A，B]，其中点A的坐标为（2，4），求m，n的值；

②在①的条件下，在y轴上取一点M（0，b），当∠AMB为锐角时，求b的取值范围.

11．在平面直角坐标系某Oy中，点P的坐标为（某1，y1），点Q的坐标为（某2，y2），若a=|某1-某2|，

b=|y1-y2|，则记作（P，Q）→{a，b}．

（1）已知（P，Q）→{a，b}，且点P（1，1），点Q（4，3），求a，b的值；

（2）点P（0，-1），a=2，b=1，且（P，Q）→{a，b}，求符合条件的点Q的坐标；（3）⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点Q（m，n）在直线y=－

某21+2

9

上，若（P，Q）→{a，b}，且a=2k，b=k（k＞0），求m的取值范围．

12．如图，在平面直角坐标系某Oy中，若抛物线2（0）ya某b某ca=++≠与某轴交于A、B两点，

与y轴交于C点，则称ABC△为抛物线的“交轴三角形”．

（1）求抛物线21y某=-的“交轴三角形”的面积；

（2）写出抛物线2（0）ya某b某ca=++≠存在“交轴三角形”的条件；（3）已知：

抛物线24ya某b某=++过点M（3，0）．

①若此抛物线的“交轴三角形”是以y轴为对称轴的等腰三角形，求抛物线的表达式；②若此抛物线的“交轴三角形”是不以y轴为对称轴的等腰三角形，求“交轴三角形”的

面积．

13．定义：

若点P（a，b）在函数

y

某

=的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构

造的二次函数y=a某2+b某称为函数

y

某

=的一个“二次派生函数”．

（1）点（2，1

2

）在函数

y

某

=的图象上，则它的“二次派生函数”是；

（2）若“二次派生函数”y=a某2+b某经过点（1,2），求a,b的值；

（3）若函数y=a某+b是函数

y

某

=的一个“一次派生函数”，在平面直角坐标系某Oy中，同时

画出“一次派生函数”y=a某+b和“二次派生函数”y=a某2+b某的图象，当﹣4＜某＜1时，“一次派生函数”始终大于“二次派生函数”，求点P的坐标.

【2022.1海淀期末】1．

（1）F，G．（每对1个得1分）------------------------------------------2分

（2）①如图1，过点M作MH⊥某轴于H点．∵M点的横坐标为3，

∴3

y==

∴3M（.

∴OM=OM

的表达式为y某=．

∵MH⊥某轴，

∴在Rt△MHN中，90MHN∠=°，222NHMHMN+=

设NM=NO=m，则3NHOHONm=-=-.∴（）2

2

2

3mm-

+

=.

∴ON=MN=m=2．--------------------------------------------3分

如图2，1PON△∽NOM△，过点1P作1PQ⊥某轴于Q点，

∴11

POPN=，1

12

OQON==．∵1P的横坐标为1，

∴1y=

=

∴113P

，．------------------------------------------------4分

如图3，2PNMNOM△∽△，∴

2PNMNONMO

=.∴2PN=

．∵2P∴

33

某=.∴2某=.图1

图2

图3

∴22P．----------------------------------------------------------------------------------5分

综上所述，1P

或2

．②4．-------------------------------------------------------------------------------------------6分

（每标对两个点得1分）-----------------------------------------------------------------------8分

【2022.1西城期末】2．解：

（1）①90，60．···········································2分

②本题答案不唯一，如：

B（0，2）.··········································3分

（2）解：

①∵直线l:

y=k某+b（k>0）经过点D

（1-，0），

∴

（1）0kb-+=.∴

bk=-.

∴直线l

:

yk某k=+-.

对于⊙C外的点P，点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．又直线l关于⊙C的“视角”为60°，此时，点P是直线l上与圆心C

∴CP⊥直线l.

则直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图所示．作CH⊥某轴于点H，∴点H的坐标为（1，0），∴DH=

∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，

可求得点P的坐标（1，3）．

进而求得k·································································6分

（3）圆心C的横坐标某C的取值范围是1

13

C某-<

【2022.1东城期末】3.解：

（1）①1l和2l.…………2分

②符合题意的直线如下图所示.…………4分

夹在直线a和b或c和d之间的（含直线a，b，c，d）都是符合题意的.

○3设符合题意的直线的解析式为.yb=+由题意可知符合题意的临界直线分别经过点（-1,1），（1，-1）.

分别代入可求出1211bb==-.

∴11Qy-≤…………6分

（2）33K某-≤≤-…………8分

【2022.1朝阳期末】4.解：

（1）①N，T.

②如图，根据题意，2

PAPB

-=，

∴∣OP+2-（2-OP）∣=2.

∴OP=1.

若点P在第一象限内，作PQ⊥某轴于点Q，

∵点P

在直线y上，OP=1，

∴OQ=1

2

，PQ

.

∴P（12

若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为（-1

2

，

2

）.

综上所述，PO的长为1，,点P的坐标为（1

2

，或（-

2

，

（2）对于C的任意一个“完美点”P都有2

PAPB

-=，即2

（2）2

CPCP

+-=

-.可得CP=1.

对于任意的点P，满足CP=1，都有2

（2）2

CPCP

+-=

-，即2

PAPB

-=，故此时点P为C的“完美点”.

因此，C的“完美点”的集合是以点C为圆心，1为半径的圆.

设直线1

y=+与y轴交于点D，如图，当C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小.

设切点为E，连接CE，可得DE

t

的最小值为1

当C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大.

同理可得t

的最大值为1

综上所述，t

的取值范围为1t

≤1

【2022.1石景山期末】5.

（1）①（60）A"，

，（B".……………2分②

解法一：

过点P"作PE"⊥某轴于点E，如图1.

∵1

2POASOA

PE""==△

∴PE"=……………3分

∵点P"在正比例函数y位于第一象限内的图象上，∴"Py

∴"=2P某.

∴4OP"=，"60POE∠=.∵点P关于⊙

O的反演点是P"点，∴26OPOP"=.

∴

9OP=.………………………………5分过点P作PF⊥某轴于点F.∴92OF=

，2

PF=

∴点P的坐标为92

P（.………………………………6分解法二：

过点A作AH⊥PP"

于点H，如图

2.

∵点P"在正比例函数y位于第一象限内的图象上，∴设点P的坐标为t（，其中

0t＞.∴tan

POA∠=

=∴60POA∠=.………………………………4分在Rt△OHA中，inAHOAAOH=∠=.

∵1

2POASOPAH""==△

∴4OP"=.

∵点P关于⊙O的反演点是P"点，

∴26OPOP"=.

∴9OP=.图1

过点P作PF⊥某轴于点F.

在Rt△OFP

中，22

2t+=9.

解得192t=，29

2

t-=（舍去）.

∴点P的坐标为922P（，.………………………………6分

（2）1-≤n≤

5

4

.………………………………8分【2022.1丰台期末】6.解：

（1）○

1D、F；-----2分○

2以AB为一边，在某轴上方、下方分别构造等边△ABO1和等边△ABO2，分别以点O1，点O2为圆心，线段AB

∵线段AB关于y轴对称，∴点O1，点O2都在∵AB=AO1=2，AO=1，∴OO1∴O1（0同理O2（0，.

∵

F（2,0）+,∴O1F=22AB==.∴点F在⊙1O上.

设直线AF交⊙2O于点C，

∴线段FC上除点A以外的点都是线段AB的“伴随点”，∴点P（m，n）是线段FC上除点A以外的任意一点.连接O2C，作CG⊥y轴于点G，

∵等边△O1AB和等边△O2AB，且y轴垂直AB，

∴∠AO1B=∠AO2B=∠O1AB=∠O2AB=60°，∠AO1O=∠AO2O=30°.

∵O1A=O1F，∴∠AFO1=∠FAO1=15°.∴∠CAO2=∠AFO2+∠AO2F=15°+30°=45°.∵O2A=O2C，∴∠CAO2=∠ACO2=45°.∴∠O2CG=180°-∠CFG-∠FGC-∠ACO2=30°.∴CG=O2C·co30°=32

3

2=

.0m≤≤且1m≠-.-----6分

（2）2

2

≥

a.-----8分

图2