数学分析课程教学大纲.docx

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数学分析课程教学大纲

《数学分析》课程教学大纲

【课程编号】：

16114021

【英文译名】：

MathematicalAnalysis

【适用专业】：

数学与应用数学专业本科生，信息与计算专业本科生，光信息专业本科生

【学分数】：

【总学时】：

98+98+48=244

【实践学时】：

一、本课程教学目的和课程性质

数学分析是高等理工院校数学专业和对数学要求较高专业的极为重要的数学基础课之一，本课程既是进一步学习数值分析、微分方程、复变函数、微分几何、概率论、实变函数与泛函分析等后继课程的阶梯，又与中学数学中的实数系，函数方程、不等式、极值、面积、弧长等内容有密切联系。

能够培养学生运用数学分析的方法去观察问题、思考问题、分析问题和解决问题的能力，为进一步学习现代数学科学和应用科学打下牢固的数学基础。

《数学分析》课程是高师和综合性大学数学类专业本、专科的一门重要基础课，是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变函数与泛函分析等后继课程的阶梯，是考取数学类硕士研究生的必考基础课之一。

本课程内容包括极限论、微分学、积分学、无穷级数等方面的系统知识，用现代数学工具即极限的思想与方法研究函数的分析特性即连续性、可微性、可积性。

《数学分析》课程在大学低年级开设，它集科学性、严密性与连贯性于一体，系统性与逻辑性强，是连接初等数学与高等数学的桥梁，也是区分初等数学与高等数学的标志。

对于刚上大学的大学生来说，在从初等数学（用非极限方法研究常量数学）到高等数学（用极限方法研究变量数学）的转变过程中，本课程的学习起着关键的作用。

通过本课程的学习，学生可以对近代应用数学的发展有一个初步的了解，进而提高学习数学的兴趣，提高应用所学数学知识解决实际问题的能力与意识。

通过本课程的讲授，可以引导学生了解当前数学领域的最新发展状况，培养学生探索新知识的意识和能力。

二、本课程的基本要求

本课程分三学期讲授，第一学期讲授98学时，第二学期讲授98学时，第三学期讲授48学时，主要讲授一元微积分学、多元微积分学、级数理论与实数理论等知识结构系统。

课程的目的和要求：

1.使学生正确理解数学分析的基本概念，掌握基本定理、基本原理、基本方法，掌握数学分析中的分析、推理、论证和基本应用方法，提高抽象思维和逻辑推理的专业素质，获得较熟练的演算技能、证明推导和初步应用的能力，为进一步学习其它学科（数值分析、微分方程、复变函数、微分几何、概率论、实变函数与泛函数分析等后继课程）打下基础；

2.使学生获得实数理论，极限论，一元函数微积分，无穷级数和多元函数微积分学等到方面的系统知识和体系结构，深刻认识极限的思想和方法，弄清不变与变，有限和无限，特殊与一般的内在关系；

3.使学生对中学数学中的有关内容有深刻的了解，以较高的观点分析和处理好这些内容。

三、本课程与其他课程的关系

本课程是学习数值分析、微分方程、复变函数、微分几何、概率论、实变函数与泛函数分析等后继课程与物理课程的基础。

四、课程内容及要求

第一章、实数集与函数7学时

主要内容:

1．实数、区间与邻域；

2．有界集，确界与确界原理；

3．函数概念，函数的表示法，函数的四则运算，复合函数,反函数，初等函数；

4．具有某些特性的函数：

有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

基本要求和教学重点：

1．掌握有关实数绝对值的性质与运算；

2．深刻理解确界概念与确界原理，并能运用有关命题进行运算与证明；

3．深刻理解函数概念，进一步了解函数概念，进一步了解函数的几种表示法和几种具有某些特性的函数。

第二章、数列极限11学时

主要内容:

1．数列，数列极限的ε-N定义，无穷小数列；

2．收敛数列的性质（唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则），子列；

3．数列极限的单调有界定理，柯西收敛准则。

基本要求和教学重点：

1．正确理解数列极限的ε-N定义并用它证明给定的数列极限；

2．掌握数列极限的性质，并能运用它证明或计算给定的数列极限；

3．掌握数列极限存在的充要条件与充分条件，并能运用这些条件判断或证明数列极限的存在性；

4．熟练掌握重要极根，并能运用它来计算某些数列极限。

第三章、函数极限15学时

主要内容:

1．函数极限ε-N定义，ε-δ定义，单侧极限；

2．函数极限的性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则）；

3．函数极限的存在条件：

归结原则，函数极限的单调有界定理和柯西准则；

4．两个重要极限；

5．无穷小量及其阶的比较，无穷大量。

基本要求和教学重点：

1．深刻理解各类函数极限的定义并能定义验证给定的函数极限；

2．掌握函数极限的性质，并能用它证明或计算给定的函数极限；

3．掌握函数极限的归结原则，柯西准则，了解单极限的单调有界定理，并学会运用上述原则的定理；

4．熟练掌握两个重要极限并运用来计算有关函数极限；

5．掌握各种类型的无穷小量与无穷大量的定义及基本性质以及阶的比较。

第四章、函数的连续性11学时

主要内容:

1．函数在一点的连续性，单侧连续，间断点及其分类，区间上的连续函数；

2．连续函数的性质：

连续函数的局部性质（局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数的连续性），闭区间上连续函数的基本性质（最大最小值定理、有界性定理、介值定理、根的存在性定理）反函数的连续性，一致连续与一致连续性定理；

3．初等函数的连续性。

基本要求和教学重点：

1．深刻理解函数连续性概念及其分类；

2．掌握连续函数的局部有界性，局部保号性以及复合函数和反函数的连续性；

3．牢记闭区间上连续函数的性质并能运用这些性质解决一些有关问题。

第五章、导数与微分12学时

主要内容:

1．导数的定义，单侧导数，导数和几何意义，导函数；

2．求导法则，基本求导公式和初等函数的导数；

3．微分概念，微分的几何意义，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性；微分在近似计算和误差估计中的应用；

4．高阶导数与高阶微分；

5．由对数方程所确定的函数的导数；

6．导数的经济学意义，边际、弹性概念。

基本要求和教学重点：

1．深刻理解和掌握导数，微分的概念，熟记基本求导公式；

2．掌握求导和微分法则，能熟练计算初等函数的各阶导数和微分；

3．理解导数在几何、物理、经济上意义。

第六章、微分学基本定理与不定式极限11学时

主要内容:

1．费马定理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；

2．不定式极限；

3．泰勒公式。

基本要求和教学重点：

1．掌握中值定理与泰勒公式；

2．理解中值定理的几何意义，运用中值定理证明一些命题；

3．熟练地利用罗比塔法则求不定式极限。

第七章、运用导数研究函数性态6学时

主要内容:

1．函数单调性与极限值，最大值与最小值；

2．函数的凸性与曲线的拐点；

3．函数图像的讨论。

基本要求和教学重点：

1．理解函数的单调性，凸性与极值的概念；

2．能熟练地利用导数讨论函数的单调性、极值、凸性、并应用这些特性作函数图象，证明某些不等式。

第八章、极限与连续性7学时

主要内容:

1．实数完备性的基本定理：

单调有界定理，区间套定理，数列的柯西收敛准则，聚点定理，有限复盖定理及有关实数完备性基本定理的等价性；

2．闭区间上连续函数性质的证明；

3．上极限与下极限。

基本要求和教学重点：

1.熟悉实数基本定理及了解它们的等价性，学习应用它们去证明其它命题的方法；

2.掌握闭区间上连续函数的性质和有关命题的证明技巧。

第九章、不定积分11学时

主要内容:

1．原函数与不定积分概念，基本积分表，线性运算法则；

2．换元积分法与分部积分法；

3．有理函数积分法，三角函数有理式的积分，某些无理函数的积分。

基本要求和教学重点：

1．深刻理解原函数与不定积分的概念和性质；

2．熟练应用换元积分法，分部积分法以及有理函数，三角函数有理式和积分法求不定积分。

第十章、定积分17学时

主要内容:

1．定积分定义，定积分的几何意义；

2．可积的必要条件，上和，下和的定义及其性质，可积的充要条件，可积函数类；

3．定积分的性质；

4．微积分学基本定理，牛顿----莱布尼兹公式，换元积分法与分部积分法，泰勒公式的积分型余项；

基本要求和教学重点：

1．深刻理解定积分概念，深入领会可积的必要条件，充要条件、充分条件以及上，下和的概念及其性质；初步掌握判断函数是否可积的基本方法；

2．熟练定积分性质，并能应用这些性质证明其它命题；

3．掌握变限积分函数表示形式下的分析论证与运用能力；

4．熟练应用牛顿----莱布尼兹公式及其它计算定积分的技巧。

第十一章、定积分应用7学时

主要内容:

1．平面图形的面积；

2．由截面面积求立体体积；

3．曲线的弧长与曲率；

4．旋转曲面积；

5．定积分在物理上和经济上的某些应用（可视情况略讲）。

基本要求和教学重点：

1．熟练上述定积分在几何方面的应用公式及基本思想；

2．掌握上述。

第十二章、非正常积分与数项级数17学时

主要内容:

1．无穷限非正常积分概念，柯西收敛准则，绝对收敛与条件收敛，无穷限非正常积分判别法，无界函数非正常积分概念，无界函数非正常积分收敛性判别法；

2．级数收敛与发散概念，柯西收敛准则，收敛级数的基本性质；

3．正向级数收敛性判别法（比较原则、比式判别法与根式判别法、积分判别法、拉贝判别法）；

4．一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数及其莱布尼兹判别法，绝对收敛级数的性质（不证），阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

基本要求和教学重点：

1．掌握非正常积分收敛、绝对收敛、条件收敛概念，并能应用判别法判定非正常积分的敛散性；

2．掌握级数收敛，绝对收敛与条件收敛的概念；

3．掌握级数收敛性的一些判别法，并熟练应用适当的判别法判定级数的收敛性；

4．了解绝对收敛级数的性质。

第十三章、函数列与函数项级数13学时

主要内容:

1．函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则，函数项级数的一致收敛性判别法；

2．一致收敛函数列、极限函数与函数项级数的性质（和函数的连续性、逐项可积与逐项可微性）。

基本要求和教学重点：

1．深刻理解函数列与函数项级数的收敛性概念，特别是一致收敛概念；

2．掌握函数项级数优级数判别法，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法；

3．掌握连续函数列（连续函数项级数）的极限函数（和函数）在一致收敛条件下的连续性、可积性与可微性；

4．理解一致收敛性在推导极限函数（和函数）的性质中所起的本质作用，会用一致收敛函数项级数的逐项可微和可积性求级数的和。

第十四章、幂级数9学时

主要内容:

1．幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数性质（内闭一致收敛性、连续性、逐项可积与逐项可微性），幂级数的四则运算；

2．函数的幂级数展开，泰勒级数，初等函数的幂级数展开。

基本要求和教学重点：

1．掌握幂级数收敛区间的概念和收敛半径的求法；

2．理解幂级数在其收敛区间内的一致收敛性，逐项可积与逐项可微性，能应用这些性质对有关问题进行说明或计算，熟悉幂级数的四则运算；

3．掌握函数在一点的泰勒展开的概念和公式，必要条件和充分条件；掌握求函数的泰勒展开式的基本方法。

第十五章、傅里叶级数7学时

主要内容:

1．以2π为周期的函数的傅里叶级数，收敛定理；

2．以2L为周期的函数傅里叶级数，奇函数与偶函数的傅里叶级数。

基本要求和教学重点：

1．掌握傅里叶级数，傅里叶系数的概念以及计算公式；

2．熟悉傅里叶级数收敛定理，并能应用它来判断傅里叶级数的收敛性；

3．能熟练地将函数展开为傅里叶级数（特别是展开成正弦级数和余弦级数）。

第十六章、多元函数的极限和连续性13学时

主要内容:

1．平面点集（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等）概念，上的完备性定理；区域套定理，聚点定理，有限覆盖定理（不证），二元函数和多元函数的概念；

2．二重极限和累次极限；

3．二元函数的连续性，复合函数的连续性，有界闭区域上连续函数的性质（不证）。

基本要求和教学重点：

1．掌握平面点集和多元函数的有关概念；

2．理解二重极限与累次极限之间的区别和联系；

3．深刻理解二元函数的连续性，熟悉有界闭区域上连续函数的性质。

第十七章、多元函数的微积分17学时

主要内容:

1．可微性与全微分，偏导数及其几何意义，全微分存在的充分条件，全微分的几何意义；

2．复合函数的偏导数与全微分；

3．方向导数与梯度；

4．高阶偏导数，二元函数的中值定理和泰勒公式，二元函数的极值。

基本要求和教学重点：

1．理解并掌握偏导数、全微分、方向导数和梯度等概念，理解偏导数与全微分的几何意义；

2．熟练计算多元函数的偏导数和全微分，连续三者之间的关系；

3．弄清多元函数的偏导数存在、可微、连续三者之间的关系；

4．记住混合偏导数与求导顺序无关的意义，能求简单的二元函数的泰勒展开式；

5．会求二元函数的极值。

第十八章、隐函数定理及其应用9学时

主要内容:

1．隐函数概念，隐函数定理（不证），隐函数求导；

2．隐函数组概念，隐函数组定理（不证），隐函数组求导，反函数组与坐标变换；

3．几何应用（空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线）；

4．条件极值与拉格朗日乘数法。

基本要求和教学重点：

1．理解隐函数和隐函数组的概念，掌握隐函数（组）存在定理条件和结论；

2．会求空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线；

3．会用拉格朗日乘法求函数的条件极值。

第十九章、重积分17学时

主要内容:

1．二重积分的概念和性质，可积的条件；

2．二重积分计算（化二重积分为累次积分），二重积分的换元法（极坐标变换），一般变换（不证），含参数积分的导数；

3．三重积分定义与计算，三重积分的换元法（柱坐标变换、球坐标变换、一般坐标变换（不证））；

4．重积分的应用。

基本要求和教学重点：

1．掌握二重积分与三重积分的定义和性质；

2．能够熟练应用累次积分法计算二重积分与三重积分，并能根据积分区域和被积函数的特征进行适当的换元，特别是二重积分的极坐标变换，三重积分的柱面坐标变换和球面变换；

3．熟悉重积分在几何方面的应用。

第二十章、含参量非正常积分6学时

主要内容:

1．含参量非正常积分的收敛与一致收敛，一致收敛的柯西准则，维尔斯特拉斯判别法；

2．含参量非正常积分的性质（连续性、可微性和可积性）；

3．Γ函数与B函数。

基本要求和教学重点：

1．弄清含参量非正常积分的一致收敛性的定义，熟悉判别参量非正常积分的一致收敛性的基本方法；

2．掌握含参量非正常积分的连续性，可积性和可微性定理及其应用；

3．了解Γ函数与B函数概念和它们之间的联系。

第二十一章、曲线积分与曲面积分21学时

主要内容:

1．第一型曲线积分和第一型曲面积分概念和计算；

2．第二型曲线积分概念和计算；

3．格林公式，曲线积分与路线的无关性；

4．第二型曲面积分概念和计算；

5．高斯公式与斯托克斯公式；

6．场论初步（场的概念、梯度场、散度场、旋度场、管量场与有势场）。

基本要求和教学重点：

1．掌握第一型、第二型曲线、曲面积分概念和计算方法；

2．掌握格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及曲面积分与路线无关的条件和它们的应用；

3．了解场论的初步知识。

五、考核方式

闭卷考试

六、选用教材及主要参考书（名称、编著者、出版社、出版时间）

1、教材

《数学分析》（第二版）上、下册华东师范大学数学系编高等教育出版社2001年6月第三版（全国第一届高等院校优秀教材优秀奖）

2、参考书

1．《数学分析》（全国高等院校优秀教材一等奖）上、下册陈继修等编高等教育出版社出版。

2．《数学分析》上、下册复旦大学数学系陈传璋等编人民教育出版社出版。

3．PrinciplesofMathematicalAnalysis,WalterRudin,ThirdEdition,McGraw-Hill,inc.

4．《微积分》上、下册斯皮瓦克著人民教育出版社出版。

5．《数学分析讲义》刘玉琏等编高等教育出版社出版。

6．《数学分析习题集》吉米多维奇编人民教育出版社出版。

七、学时分配

本课程教学总时数98+98+48=244学时，分三个学期完成教学任务。

第一学期98学时,主要讲解极限理论初步、一元微分学及其应用、一元积分学及其应用。

第一学期98学时,主要讲解级数理论、多元微分学及其应用、多元积分学及其应用。

第一学期48学时,数学分析续论，主要讲解实数理论（确界概念、确界定理、连续统的六个等价定理）、一元定积分学中的数学分析部分（达布和理论）。

数学发展的历史。

[附:

数学史教学内容及要求:

本课程旨在讲述数学发展的历史，介绍数学发展进程中的重大事件和重要数学家的贡献，使学生了解数学概念的形成，数学思想、数学方法的发展及其产生的背景，以至达到对数学实质的理解。

作为未来的中学数学教师，不分需要通过数学史的学习来扩大眼界，加深对大、中学数学概念的理解，而且需要为在教学中提高大、中学生学习数学的兴趣和便于开展课外活动积累资料。

]

八、每章学时分配

课程内容

讲课

实验

大作业

第一章、实数集与函数

7学时

第二章、数列极限

11学时

第三章、函数极限

15学时

第四章、函数的连续性

11学时

第五章、导数与微分

12学时

第六章、微分学基本定理与不定式极限

11学时

第七章、运用导数研究函数性态

6学时

第八章、极限与连续性

7学时

第九章、不定积分

11学时

第十章、定积分

17学时

第十一章、定积分应用

7学时

第十二章、非正常积分与数项级数

17学时

第十三章、函数列与函数项级数

13学时

第十四章、幂级数

9学时

第十五章、傅里叶级数

7学时

第十六章、多元函数的极限和连续性

13学时

第十七章、多元函数的微积分

17学时

第十八章、隐函数定理及其应用

9学时

第十九章、重积分

17学时

第二十章、含参量非正常积分

6学时

第二十一章、曲线积分与曲面积分

21学时

合计

244学时

732

编写负责人：

杨汉生审核人：

郭春香部门主管领导：

周自刚

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