新高一暑期课程第一讲至第八讲Word文件下载.doc
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等式成立
【例1】计算：
解：
原式＝
说明：
多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．
【公式2】
（立方和公式）
证明:
说明:
请同学用文字语言表述公式2.
【例2】计算：
解：
我们得到：
【公式3】
（立方差公式）
请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．
【例3】计算：
（1）
（2）
（3） （4）
（1）原式＝
（2）原式＝
（3）原式＝
（4）原式＝
说明：
（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．
（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．
【例4】已知，求的值．
本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．
【例5】已知，求的值．
原式＝
①
②，把②代入①得原式＝
注意字母的整体代换技巧的应用．
引申：
同学可以探求并证明：
二、根式
式子叫做二次根式，其性质如下：
（1）
（2）
（3） （4）
【例6】化简下列各式：
（1）
（2）
（1）原式＝
（2）原式＝
请注意性质的使用：
当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．
【例7】计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）：
（1）
（2） （3）
（3）原式＝
（1）二次根式的化简结果应满足：
①被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
（2）二次根式的化简常见类型有下列两种：
①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；
②分母中有根式（如）或被开方数有分母（如）．这时可将其化为形式（如可化为），转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．（如化为，其中与叫做互为有理化因式）．
【例8】计算：
有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．
【例9】设，求的值．
有关代数式的求值问题：
（1）先化简后求值；
（2）当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．
三、分式
当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：
（1）利用除法法则；
（2）利用分式的基本性质．
【例10】化简
解法一：
原式
＝
解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．
【例11】化简（题目有错）
（1）分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；
（2）分式的计算结果应是最简分式或整式．
课后自我检测
A组
1．二次根式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．是任意实数
2．若，则的值是（ ）
A．－3 B．3 C．－9 D．9
3．计算：
（1）
（2）
（3） （4）
4．化简（下列的取值范围均使根式有意义）：
（1）
（2）
（3） （4）
5．化简：
（1）
（2）
B组
1．若，则的值为（ ）：
A． B． C． D．
2．计算：
（1）
（2）
3．设，求代数式的值．
4．当，求的值．
5．设、为实数，且，求的值．
6．已知，求代数式的值．
7．设，求的值．
8．展开
9．计算
10．计算
11．化简或计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
课后自我检测参考答案
A组
1．C2．A
3．
（1）
（2）
（3） （4）
4．
5．
B组
1．D2．3．
4． 5． 6．3 7．
8．
9．
10．
11．
第二讲因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．
一、公式法（立方和、立方差公式）
在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：
（立方和公式）
（立方差公式）
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）．
运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．
【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：
分析：
（1）中，，
（2）中．
（1）
（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；
（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．
【例2】分解因式：
（1）
（2）
分析：
（1）中应先提取公因式再进一步分解；
（2）中提取公因式后，括号内出现，可看着是或．
（1）．
二、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
1．分组后能提取公因式
【例3】把分解因式．
把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式．
用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．
【例4】把分解因式．
按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．
由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．
2．分组后能直接运用公式
【例5】把分解因式．
把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；
把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是.
【例6】把分解因式．
先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．
从例5、例6可以看出：
如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．
三、十字相乘法
1．型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数之积；
（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．
因此，
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
【例7】把下列各式因式分解：
．
此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．
【例8】把下列各式因式分解：
此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．
【例9】把下列各式因式分解：
（1）把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数．
（2）由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．
2．一般二次三项式型的因式分解
大家知道，．
反过来，就得到：
我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
【例10】把下列各式因式分解：
（1）
（2）
用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
四、其它因式分解的方法
1．配方法
【例11】分解因式
这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．
2．拆、添项法
【例12】分解因式
此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．
本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将拆成，将多项式分成两组和．
五、双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f），我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x2－7xy－22y2－5x＋35y－3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2－（5＋7y）x－（22y2－35y＋3），可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
即－22y2＋35y－3＝（2y－3）（－11y＋1）．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以原式＝［x＋（2y－3）］［2x＋（－11y＋1）］＝（x＋2y－3）（2x－11y＋1）．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
（x＋2y）（2x－11y）＝2x2－7xy－22y2；
（x－3）（2x＋1）＝2x2－5x－3；
（2y－3）（－11y＋1）＝－22y2＋35y－3．
这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f进行因式分解的步骤是：
（1）用十字相乘法分解ax2＋bxy＋cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；
（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例1分解因式：
（1）x2－3xy－10y2＋x＋9y－2；
（2）x2－y2＋5x＋3y＋4；
（3）xy＋y2＋x－y－2；
（4）6x2－7xy－3y2－xz＋7yz－2z2．
解
（1）
原式＝（x－5y＋2）（x＋2y－1）．
（2）
原式＝（x＋y＋1）（x－y＋4）．
（3）原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．
原式＝（y＋1）（x＋y－2）．
（4）
原式＝（2x－3y＋z）（3x＋y－2z）．
说明（4）中有三个字母，解法仍与前面的类似．
一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：
（1）如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法（如十字相乘法）来分解；
（4）分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
A组
1．把下列各式分解因式：
（1）
（2） （3）
（4） （5） （6）
2．把下列各式分解因式：
（1）
（2）
3．把下列各式分解因式：
（1）
（2） （3）
（4） （5） （6）
4．把下列各式分解因式：
（1）
（2） （3）
（7） （8）
5．把下列各式分解因式：
（1）
（2） （3）
（4）（5）（6）
（7） （8）
（1）
（2）
（3） （4） （5）
2．已知，求代数式的值．
3．证明：
当为大于2的整数时，能被120整除．
4．已知，求证：
．
A组
1．
2．
3．
4．5．
B组
．
2．
第三讲一元二次方程根与系数的关系
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．
一、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程，用配方法将其变形为：
（1）当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
（2）当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：
（3）当时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
（1）
（2） （3）
（1），∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）原方程可化为：
，∴原方程有两个相等的实数根．
（3）原方程可化为：
，∴原方程没有实数根．
在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．
【例2】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根
（3）方程有实数根；
（4）方程无实数根．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【例3】已知实数、满足，试求、的值．
可以把所给方程看作为关于的方程，整理得：
由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：
，
代入原方程得：
综上知：
二、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的两个根为：
所以：
定理：
如果一元二次方程的两个根为，那么：
一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”．上述定理成立的前提是．
【例4】若是方程的两个根，试求下列各式的值：
（2）；
本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．
由题意，根据根与系数的关系得：
（2）
（3）
（4）
利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
，，，
，，
等等．韦达定理体现了整体思想．
【例5】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．
（1）方程两实根的积为5；
（2）方程的两实根满足．
（1）由韦达定理即可求之；
（2）有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论．
（1）∵方程两实根的积为5
∴
所以，当时，方程两实根的积为5．
（2）由得知：
①当时，，所以方程有两相等实数根，故；
②当时，，由于
，故不合题意，舍去．
综上可得，时，方程的两实根满足．
根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．
【例6】已知是一元二次方程的两个实数根．
（1）是否存在实数，使成立？
若存在，求出的值；
若不存在，请您说明理由．
（2）求使的值为整数的实数的整数值．
（1）假设存在实数，使成立．
∵一元二次方程的两个实数根
∴，
又是一元二次方程的两个实数根
∴
，但．
∴不存在实数，使成立．
（2）∵
∴要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，
要使的值为整数的实数的整数值为．
（1）存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．
（2）本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法．
1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是（ ）
A． B． C． D．大小关系不能确定
5．若实数，且满足，则代数式的值为（ ）
6．如果方程的两根相等，则之间的关系是______
7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_______．
8．若方程的两根之差为1，则的值是_____．
9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则＝_____，＝_____．
10．已知实数满足，则＝_____，＝_____，＝_____．
11．对于二次三项式，小明得出如下结论：
无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？
请您说明理由．
12．若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值．
13．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：
不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为，且满足，求的值．
14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长．
（1）取何值时，方程存在两个正实数根？
（2）当矩形的对角线长是时，求的值．
B组
1．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？
如果存在，求出的值；
如果不存在，请您说明理由．
2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：
关于的方程有实数根．
3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的值．
1．B 2．A 3．A 4．A 5．A
6．
7．3 8．9或 9．
10． 11．正确 12．4
13．
14．
1．
（2）不存在
2．
（1）当时，方程为，有实根；
（2）当时，也有实根．
3．
（1） ；
（2）．
第四讲不等式
初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识．
一、一
升级会员 